1、第4章 非线性方程求根迭代法第1页第1页 本章重点简介求解非线性方程 几种常见和有效数值办法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对典型解析办法突破性开拓和补充,许多问题求解,在解析办法无能为力时,数值办法则能够借助于计算机出色完毕.第2页第2页nf(x)=0某个区间上也许有奇数重根或者有偶数重根，都能够转换为讨论单根情形（详细数学细节不多加解释）。因此此节我们考察单根情形。第3页第3页4.1二分法求非线性方程 拟定方程有根区间 计算根近似值根办法分为两步：第4页第4页n首先拟定有限区间：依据零点定理。设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。假如 在 上恒正或恒负，则此根唯一。
2、第5页第5页等步长扫描法求有根区间 n用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定步长，取 ，若 则扫描成功；不然令 ，继续上述办法，直到成功。假如 则扫描失败。再将h 缩小，继续以上环节。第6页第6页等步长扫描算法（理解）n算法：（求方程 有根区间）(1)输入 ；(2)；(3)，若 输出失败信息，停机。(4)若 。输出 ，已算出方程一个根，停机。第7页第7页等步长扫描算法(5)若 。输出 为有根区间，停机(6)，转 3）n注：假如对足够小步长h扫描失败。阐明：在 内无根在 内有偶重根第8页第8页nQustion:有无更直观办法呢？第9页第9页二分法 n用二分法(将区间对平分)求解。令 若
3、，则 为有根区间，不然 为有根区间 记新有根区间为 ，则 且 第10页第10页二分法n对 重复上述做法得n且 第11页第11页二分法 设 所求根为 ，则 即 取 为 近似解 第12页第12页n二分法特点：（1）条件简朴，只需要满足连续性即可。（2）收敛速度慢，精度要求比较高时，时间花费比较大。第13页第13页例题n例1 设方程 第14页第14页4.2 基本迭代法n迭代法及收敛性 对于 有时能够写成 形式 如：第15页第15页迭代法及收敛性 考察方程 。不能直接求出它根，但假如给出根某个猜想值 ，代入 中右端得到 ，再以 为一个猜想值，代入 右端得 重复迭代得第16页第16页迭代法及收敛性 若
4、收敛，即 则得 是 一个根第17页第17页基本迭代法 上述办法称为 基本迭代法将 变为另一个等价形式 。选取 某一近似值 ，则按递推关系 产生迭代序列 。这种办法算为简朴迭代法。第18页第18页 若 收敛，即 称迭代法收敛，不然称迭代法发散第19页第19页迭代法几何意义n 交点横坐标 y=x第20页第20页例题 例 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内实根。解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3.计算结果下列:第21页第21页第22页第22页例题n准确到小数点后五位第23页第23页例题n但假如由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ，显然结果越来越大，是发散序列第24页第24页n下面考虑下列两个问
5、题：n什么时候收敛？n收敛速度怎么刻画？第25页第25页迭代法收敛性n定理（压缩映像原理）（理解）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即 有且 。第26页第26页压缩映像原理则 在 上存在 唯一解 ，且对 ，由 产生序列 收敛于 。第27页第27页关于压缩映像，教材上有另外一个形式Th4.2.1 则基本迭代格式收敛充要条件是：第28页第28页例题n例例 证实函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。n证实：第29页第29页例题 第30页第30页例题n若取迭代函数 ，不满足压缩映像原理，故不能必定 收敛到方程根。第31页第31页简朴迭代收敛情况几何解释第32页第32页
6、是否取到适当初值，是否结构适当迭代格式，对于是否收敛是关键。对于初值，实际操作时，能够先画出函数图形，然后，观测根大约在什么地方。对于迭代格式，能够对 求导，看看 是否小于1第33页第33页 n迭代法收敛阶迭代法收敛阶 定义定义 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得 其中，则称该序列是p 阶收敛，第34页第34页迭代法收敛阶迭代法收敛阶当p=1时，称为线性收敛；当p1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。第35页第35页n误差预计 n若 满足定理条件，则n 第36页第36页下面定理给出判别迭代收敛阶一个办法第37页第37页n定理：记 是 根，设 在 附近连续，若对
7、，有则基本迭代法 是P阶连续。第38页第38页基本迭代法matlab实现nfunction k,piancha,xk=diedai1(x0,k)n%输入量-x0是初始值,k是迭代次数nx(1)=x0;nfor i=1:kn x(i+1)=fun1(x(i);%程序中调用fun1.m为函数y=(x)n piancha=abs(x(i+1)-x(i);ni=i+1;xk=x(i);(i-1)piancha xknendMatlab中与或非，分别是：&|与或非 第39页第39页nif(piancha 1)&(k3)n disp(请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新迭代公式)n return;n
8、endn if(piancha 3)n disp(祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快)n return;n endnp=(i-1)piancha xk;第40页第40页关于程序里面fun1,能够下列类似定义nfunction y1=fun1(x)y1=(10-x2)/2;第41页第41页作业：1.编程求方程 在区间(1，2)内实根。2.习题4.4（P104）第42页第42页4.3 Newton迭代法n设x*是方程f(x)=0根，又x0 为x*附近一个值，将f(x)在x0附近做泰勒展式 令 ，则 第43页第43页Newton迭代法即以x1代替x0重复以上过程，继续下去得：第44页第44页Ne
9、wton迭代法以此产生序列Xn得到f(x)=0近似解，称为Newton法，又叫切线法。第45页第45页Newton迭代法几何解释n几何意义第46页第46页例题例 用Newton法求 近似解。解：由零点定理。第47页第47页例题第48页第48页例题n例 用Newton法计算 。解：第49页第49页Newton迭代法算法第50页第50页Newton迭代法收敛性定理4.3.1给定方程 ，若满足条件：（1）在根附近，f(x)二次连续可微。（2）则Newton迭代法是局部二阶收敛。（即初值取根附近值时，是二阶收敛）第51页第51页n定理告诉我们：定理告诉我们：单根附近是二阶收敛单根附近是二阶收敛第52页
10、第52页Newton法matlab实现nfunction k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0;第53页第53页Newton法matlab实现nfor i=1:gxmaxn x(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i);n xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;nxk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)xk yk piancha xdpianchanif(abs(yk)ftol)&
11、(pianchatol)|(xdpianchagxmaxn disp(请注意：迭代次数超出给定最大值gxmax。)n k=i-1;xk=x(i);(i-1)xk yk piancha xdpianchan return;nendn(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha;第55页第55页重根情形Newton 迭代重根时仅有线性收敛速度，经修改后能够有二阶收敛性。设重数为m.（1）m已知时，迭代公式修改为：第56页第56页n（2）m未知时，在根附近 有单根，对 结构newton迭代公式：第57页第57页求重根matlab实现n（一）（一）已知方程根重数已知方程根重数n供名为供名
12、为newtonxz.mM文献：文献：nfunction k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0;nfor i=1:gxmaxnx(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps);npiancha=abs(x(i+1)-x(i);nxdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;nxk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)piancha xdpiancha xk yk;n if(pianchatol)|(xdpiancha tol)&(abs
13、(yk)gxmaxn disp(请注意：迭代次数超出给定最大值请注意：迭代次数超出给定最大值gxmax.)n k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);n(i-1)piancha xdpiancha xk yk;nreturn;nend第58页第58页求重根matlab实现n（二）（二）未知方程根重数未知方程根重数nfunction k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0;nfor i=1:gxmaxnu(i)=fnq(x(i)/dfnq(x(i);ndu(i)=1-fnq(x(i)*ddfnq(x
14、(i)/(dfnq(x(i)2+eps);nx(i+1)=x(i)-u(i)/du(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i);nxdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);n if(pianchatol)|(xdpiancha tol)&(abs(yk)gxmaxn disp(请注意：迭代次数超出给定最大值gxmax.)nk=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)piancha xdpiancha xk yk;nreturn;nend第59页第59页n例例 用牛顿切线法求方程 在 附近
15、近似根，要求精度 .n解解 n在MATLAB工作窗口输入程序k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)n k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)第60页第60页nfunction k=fnq(x)n k=2*x3-3*x2+1;n%计算x处函数值第61页第61页nfunction k=dfnq(x)nk=6*x2-6*x;n%计算x处一阶导数值第62页第62页作业1：求 ，要求精度为 .要求（1）写出牛顿迭代格式，并分析其收敛速度（可仿照p97例4.3
16、.1）（2）写出matlab实现程序（写清程序newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)中各参数，另外自己写程序fnq,dfnq)作业2 习题4.5 习题 4.8 第63页第63页弦截法牛顿迭代法需要计算 ，有时候是件很麻烦事情，比如f(x)仅给出离散形式，可用一阶差商 代替 ，于是有弦截法迭代公式：第64页第64页n弦截法是超线性收敛第65页第65页例题例 弦截法求方程在区间（1，2）内实根。第66页第66页弦截法matlab实现nfunction k,piancha,xdpiancha,xk,yk=gexian(x01,x02,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x01;
17、x(2)=x02;nfor i=2:gxmaxn u(i)=fnq(x(i)*(x(i)-x(i-1);v(i)=fnq(x(i)-fnq(x(i-1);n x(i+1)=x(i)-u(i)/(v(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i);n xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);nyk=fnq(x(i);(i-2)piancha xdpiancha xk ykn if(abs(yk)ftol)&(piancha tol)|(xdpianchagxmaxndisp(请注意：迭代次数超出给定最大值gxmax.)nk=i-2;xk=x(i);yk=fnq(x(i);n return;nend第67页第67页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
