2011年广东高考（文科）数学试题及答案.doc

绝密★启用前 试卷类型：B
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．
线性回归方程中系数计算公式，，
样本数据的标准差，，
其中，表示样本均值．
是正整数，则．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数满足，其中为虚数单位，则
A． B． C． D．
【解析】A.由题得所以选A.
2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】C.方法一：由题得，，所以选C.
方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
3．已知向量．若为实数，∥，则
A． B． C．1 D．2
【解析】B.，
所以选B.
4．函数的定义域是
A． B． C． D．
【解析】C.由题得所以选C.
5．不等式的解集是
A． B． C． D．
【解析】D由题得或，则不等式的解集为
6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点 的坐标为，则的最大值为
A．3 B．4 C． D．
【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。
,所以，所以选择B

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条
8．设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【解析】A.设圆C圆心C，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.

正视图
图1
侧视图
图2
2
俯视图

图3
9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．

【解析】C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.

10．设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；，则下列等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【解析】B.对A选项
，故排除A
对B选项
，故选B
对C选项

，故排除C
对D选项
，故排除D
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
11．已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比 ．
【解析】2．
或
∵是递增的等比数列，∴
12．设函数．若，则 ．
【解析】
，即，
则
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：
时间
1
2
3
4
5
命中率
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为___________．
【解析】．
表示椭圆，表示抛物线
图4

或（舍去），
又因为，所以它们的交点坐标为
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，∥，
，，分别为上的点，且，
∥，则梯形与梯形的面积比为________．

【解析】 如图，延长，
∵，∴
∵，∴
∴

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．
【解析】（1）
（2），即
，即
∵，
∴，
∴
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
【解析】（1），解得
标准差
（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为，且
则基本事件有，，，，，，，，，共10种
这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中
设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”
则A中的基本事件有、、、共4种，则
18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,
,的中点．
（1）证明：四点共面；
（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．

图5

【解析】证明：（1）连接
依题意得是圆柱底面圆的圆心
∴是圆柱底面圆的直径
∵分别为,,的中点
∴
∴∥
∵，四边形是平行四边形
∴∥
∴∥
∴四点共面
（2）延长到，使得，连接
∵
∴，四边形是平行四边形
∴∥
∵，，
∴面
∴面，面
∴
易知四边形是正方形，且边长
∵，
∴
∴
∴
易知，四边形是平行四边形
∴∥
∴，
∴平面．
19．（本小题满分14分）
设，讨论函数的单调性．
【解析】解：函数的定义域为

令

① 当时，，令，解得
则当或时，
当时，
则在，上单调递增，
在上单调递减
② 当时，，，则在上单调递增
③ 当时，，令，解得
∵，∴
则当时，
当时，
则在上单调递增，在上单调递减
20．（本小题满分14分）
设，数列满足，≥．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，≤．
【解析】（1）解：∵
∴
∴
① 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列
∴，即
② 当且时，
当时，
∴是以为首项，为公比的等比数列
∴
∴
∴
综上所述
（2）证明：① 当时，；
② 当且时，
要证，只需证，
即证
即证
即证
即证
∵

，∴原不等式成立
∴对于一切正整数，≤．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．
（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；
（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

【解析】解：（1）如图所示，连接，则
∵，
∴动点满足或在的负半轴上，设
① 当时，，
，化简得
② 当在的负半轴上时，
综上所述，点的轨迹的方程为或
（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴
① 若是抛物线上的动点，过作于
由于是抛物线

的准线，根据抛物线的定义有
则
当三点共线时，有最小值
求得此时的坐标为
② 若是的负半轴上的动点
显然有

综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为
（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率
∵点在抛物线内部，
∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点
则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：
① 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点
② 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点
③ 当时，直线与轨迹有且只有一个交点
④ 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点
综上所述，直线的斜率的取值范围是