自动控制原理第三版习题答案.doc

《自动控制理论》习题参考答案
第二章
2-1 (a)
(b)
2-2 (a)
(b)
(c)
2-3 设激磁磁通恒定

2-4
2-5
2-8 (a)
(b)
2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。

图A-2-1 题2-9框图化简中间结果

2-10
2-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。

图A-2-2 题2-11系统信号流程图

2-12 (a)
(b)
2-13 由选加原理,可得

第三章
3-1 分三种情况讨论
(a) 当时

(b) 当时

(c) 当时

设系统为单位反馈系统,有

系统对单位斜坡输入的稳态误差为

3-2 (1)
(2)
(3)
(4)
3-3 首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

(1) ，此时有，于是稳态误差级数为
，
(2) ，此时有，于是稳态误差级数为
，
(3) ，此时有，，于是稳态误差级数为
，
3-4 首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

稳态误差级数为

3-5 按技术条件（1）~（4）确定的二阶系统极点在s平面上的区域如图A-3-1 (a) ~ (d)的阴影区域。

图A-3-1 二阶系统极点在s平面上的分布区域

3-6 系统在单位斜坡输入下的稳态误差为

加入比例—微分环节后

可见取，可使
3-7
3-8
3-9 按照条件（2）可写出系统的特征方程

将上式与比较，可得系统的开环传递函数

根据条件（1），可得

解得，于是由系统的开环传递函数为

3-10
，过阻尼系统，无超调。
3-11 （1）当a = 0时，。
（2）不变，要求，求得a = 0.25
3-12 1. 单位脉冲响应
(a) 无零点时

（b）有零点时

比较上述两种情况，可见有零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为。
2．单位阶跃响应
(a) 无零点时

（b）有零点时

加了的零点之后，超调量和超调时间都小于没有零点的情况。
3-13 系统中存在比例-积分环节，当误差信号时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，直到出现时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。
3-14 在为常量的情况下，考虑扰动对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

根据终值定理，可求得为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 。
从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。
3-15 （1）系统稳定。
（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
（3）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。
（4）系统处于稳定的临界状态，由辅助方程可求得系统的两对共轭虚数极点。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的。
3-16 （1）K>-1时,系统稳定。
（2）K>0时，系统稳定。
（3）-1.5<K时，系统稳定。
3-17 系统的特征方程为

列写劳斯表，得出系统稳定应满足的条件

由此得到和应满足的不等式和条件

2
3
4
5
9
15
30
100

6
4
3.3
3
2.5
2.28
2.13
2.04
根据列表数据可绘制为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域
3-18 根据单位反馈系统的开环传递函数

得到特征方程，列写劳斯表

根据劳斯判据可得系统稳定的值范围

当时系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益。
根据劳斯表列写时的辅助方程

解得系统的一对共轭虚数极点为，系统的无阻尼振荡频率即为。

第四章

4-1 系统（1）~（4）的大致根轨迹如图A-4-1所示。

图A-4-1 题4-1系统大致根轨迹
4-2（1）
分离点()，与虚轴交点。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹
（2）
分离点，与虚轴交点。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹
4-3（1）
分离点为；常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当便有二个闭环极点位于右半平面。所以无论取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹
（2）
分离点为；常规根轨迹如图A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点后，无论取何值，系统都是稳定的。
4-4 系统的根轨迹族如图A-4-6所示。

图A-4-6 题4-4系统的根轨迹族
4-5 系统的根轨迹族如图A-4-7所示。

图A-4-7 题4-5系统的根轨迹族
4-7 系统特征方程为

以为可变参数，可将特征方程改写为

从而得到等效开环传递函数

根据绘制常规根轨迹的方法，可求得分离点为，出射角为。参数根轨迹如图A-4-8所示。

图A-4-8 题4-7系统参数根轨迹
（1） 无局部反馈时，单位速度输入信号作用下的稳态误差为；阻尼比为；调节时间为
（2） 时，，，
比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。
（3） 当时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点。
4-9 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的值范围是。

图A-4-9 题4-9系统主根轨迹
4-10
主根轨迹分离点；与虚轴交点，临界值。主根轨迹如图A-4-10所示。

图A-4-10 题4-10系统主根轨迹
4-11（1）的根轨迹如图A-4-11所示。

图A-4-11 根轨迹
（2）
分离点；会合点；与虚轴交点；临界稳定值为。根轨迹如图A-4-12所示。

图A-4-12 根轨迹
（3）
分离点，根轨迹如图A-4-13所示。

图A-4-13 根轨迹
讨论：当较小时，且在某一范围内时，可取近似式。若较大，取上述近似式误差就大，此时应取近似式。
4-12 系统的根轨迹如图A-4-14所示。

图A-4-14 题4-12系统的根轨迹
4-13 当时，有两个分离点，当时，有一个分离点，当时，没有分离点。系统的根轨迹族如图A-4-15所示。

图A-4-15 题4-13系统的根轨迹族

第五章
5-1 (1)

0.5
1.0
1.5
2.0
5.0
10.0

1.79
0.707
0.37
0.224
0.039
0.0095

-116.6
-135
-146.3
-153.4
-168.7
-174.2
系统的极坐标图如图A-5-1所示。

图A-5-1 题5-1系统（1）极坐标图
(2)

0
0.2
0.5
0.8
1.0
2.0
5.0

1
0.91
0.63
0.414
0.317
0.172
0.0195

0
-15.6
-71.6
-96.7
-108.4
-139.4
-162.96
系统的极坐标图如图A-5-2所示。

图A-5-2 题5-1系统（2）极坐标图
(3)

0.2
0.3
0.5
1
2
5

4.55
2.74
1.27
0.317
0.054
0.0039

-105.6
-137.6
-161
-198.4
-229.4
-253
系统的极坐标图如图A-5-3所示。

图A-5-3 题5-1系统（3）极坐标图
(4)

0.2
0.25
0.3
0.5
0.6
0.8
1

22.75
13.8
7.86
2.52
0.53
0.65
0.317

-195.6
-220.6
-227.6
-251.6
-261.6
-276.7
-288.4
系统的极坐标图如图A-5-4所示。

图A-5-4 题5-1系统（4）极坐标图
5-2 (1)
系统的伯德图如图A-5-5所示。

图A-5-5 题5-2系统（1）伯德图
(2)
系统的伯德图如图A-5-6所示。

图A-5-6 题5-2系统（2）伯德图
(3)
系统的伯德图如图A-5-7所示。

图A-5-7 题5-2系统（3）伯德图
(4)
系统的伯德图如图A-5-8所示。

图A-5-8 题5-2系统（4）伯德图
5-3

0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
5.0
10.0

17.3
8.9
5.3
3.5
1.77
0.67
0.24

-106.89
-122.3
-135.4
-146.3
-163
-184.76
-213.7
系统的极坐标图如图A-5-9所示。

图A-5-9 题5-3系统极坐标图
系统的伯德图如图A-5-10所示。

图A-5-10 题5-3系统伯德图
相角裕度,增益裕量
5-4 （1），此为非最小相位环节，其幅频、相频特性表达式为

该环节的伯德图如图A-5-11所示。

图A-5-11 题5-4伯德图
（2）惯性环节是最小相位的，其幅频、相频特性表达式为

该环节的伯德图如图A-5-11点划线所示。由图可见，两个环节具有相同的幅频特性，相频特性有根本区别。
5-7 (a) ，系统的相频特性曲线如图A-5-12所示。

图A-5-12 题5-7相频特性曲线
(b) ，系统的相频特性曲线如图A-5-13所示。

图A-5-13 题5-7相频特性曲线
(c) ，系统的相频特性曲线如图A-5-14所示。

图A-5-14 题5-7相频特性曲线
5-8 (a) 闭环系统不稳定。
(b) 闭环系统稳定。
(c) 闭环系统稳定。
(d) 闭环系统稳定。
5-9
时，经误差修正后的伯德图如图A-5-15所示。从伯德图可见系统的剪切频率，在剪切频率处系统的相角为

由上式，滞后环节在剪切频处最大率可有的相角滞后，即

解得。因此使系统稳定的最大值范围为。

图A-5-15 题5-9系统伯德图
5-10 由知两个转折频率。令，可绘制系统伯德图如图A-5-16所示。

图A-5-16 题5-10系统伯德图
确定所对应的角频率。由相频特性表达式

可得
解出
在图A-5-16中找到，也即对数幅频特性提高，系统将处于稳定的临界状态。因此
为闭环系统稳定的临界增益值。
5-11 由知；
由知是惯性环节由的转折频率；
从1增大到10，下降约，可确定斜率为，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振荡环节。
由和知系统有一串联纯滞后环节。系统的开环传递函数为

由解得。可确定系统的传递函数为

5-12 系统的开环传递函数为

系统稳定的增益范围。

第六章
6-1 (a) ，超前网络的伯德图如图A-6-1所示。

图A-6-1 题6-1超前网络伯德图
(b) ，滞后网络的伯德图如图A-6-2所示。

图A-6-2 题6-1滞后网络伯德图
6-2 (1) 无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。
（2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。
(3) 利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度，从而改善系统的暂态性能。
(4) 当减小，相频特性朝方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。
(5) 可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。
6-3
（1）校正前；
（2）串联超前校正，；
（3）串联滞后校正，。
（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。
在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。
6-4
校正前
加串联超前校正装置后，。
经超前校正，提高了系统的稳定裕度。系统校正前、后伯德图如图A-6-3所示。

图A-6-3 题6-4系统校正前、后伯德图
6-5
校正前系统伯德图如图A-6-4所示， 。取新的剪切频率为

图A-6-4 题6-5系统校正前伯德图

滞后校正装置传递函数为，校正后系统伯德图如图A-6-5所示。

图A-6-5 题6-5系统校正后伯德图
6-7 ，超前校正装置，校正后系统的开环增益为，满足设计要求。
6-8
校正之前，取处的为新的剪切频率，该处增益为，故取，则，滞后校正装置传递函数为，校正后系统开环传递函数为
，
满足要求。系统校正前、后伯德图如图A-6-6所示。

图A-6-6 题6-8系统校正前、后伯德图
6-9 未采用反馈校正时，，带宽为。采用反馈校正后，调整，使，此时。带宽为。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图A-6-7所示。

图A-6-7 题6-9系统反馈校正前、后伯德图

第七章
7-1 (a)
其中

(b)
其中

7-3 时绘制的系统线性部分的极坐标图和非线性环节的负倒幅特性如图A-7-1所示，与无交点，故系统稳定。

图A-7-1 题7-3系统的稳定性分析
令=-180，可求得，将代入=1，可得，当时，系统不会产生自持振荡。
7-4，系统线性部分的极坐标图和非线性环节的负倒幅特性如图A-7-2所示，其中是实轴上从到的直线。

图A-7-2 题7-4系统的稳定性分析
与有交点，系统将出现自持振荡，振荡频率为，振幅为1.7。
7-6 令得

即有

用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-3所示，奇点为稳定焦点。

图A-7-3 题7-6系统的相平面图
7-8 以下结果可和仿真结果比较。

相平面分为三个区：
I区
II区
III区
用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-4所示。

图A-7-4 题7-8系统相平面图
根据图A-7-4，系统有一个稳定的极限环，且自持振荡的振幅为0.2。进一步可用谐波平衡法确定自持振荡的频率。由图A-7-5中与的交点可确定自持振荡的频率为。

图A-7-5 题7-8系统极坐标图和负倒幅特性
7-9

相平面分为三个区：
I区
II区
III区
用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-6所示。

图A-7-6 题7-9系统相平面图
根据系统的相轨迹，可知系统奇点的类型是稳定焦点，系统响应是衰减振荡的。
7-10 对题7-9系统加入微分负反馈后，令非线性环节的输入变量为E，输出变量为y。

相平面分为三个区：
I区
II区
III区
取，用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-7所示。

图A-7-7 题7-10系统相平面图
与未加速度反馈的情形比较，系统将在较短的时间内到达平衡点（调整时间短），奇点为稳定节点，其响应具有单调衰减的性质。

7-13 系统的各变量名如图A-7-8所示。

图A-7-8 题7-13系统框图及变量名
(1)

用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-9所示。

图A-7-9 题7-13系统（1）的相平面图
(2) 。

用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-10所示。

图A-7-10 题7-13系统（2）的相平面图

第八章
8-1 (1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
(5) ，
8-2 （1），
（2），
（3），
（4），
8-3 (1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
8-4 (a)
(b)
(c)
8-5 系统的开环脉冲传递函数；
闭环脉冲传递函数；
差分方程
8-6 (1)

令

可得系统稳定的条件。
(2) ，采样系统的根轨迹如图A-8-1所示。

图A-8-1 题8-6采样系统根轨迹
8-7
特征方程为
令

根据劳斯判据,要使系统稳定，应有。
所以采样系统的临界稳定的值为2.165。
8-10

采样系统在输入时的稳态误差终值为。
8-12 系统的开环脉冲传递函数；
实轴上的根轨迹；
分离点；
和虚轴交点；采样系统的根轨迹如图A-8-2所示。

图A-8-2 采样系统根轨迹
8-13

由，可求得，将，代入，得

采样系统域的伯德图如图A-8-3所示。剪切频率为，相角裕量为13.6。

图A-8-3 采样系统域伯德图
选用相位超前校正，取，则
取幅值为处的频率为新的剪切频率。校正装置传函为

校正后，系统的相角裕量为
将代入，可得校正装置的脉冲传递函数

第九章
9-1 解

9-2 解 给定误差传递函数
扰动误差传递函数
给定控制随机信号的谱密度
=
=2
=
扰动随机信号的谱密度
系统的均方误差
=

9-3 解 给定误差传递函数
扰动误差传递函数
=
=

上式对求一阶导数并令其等于零解得，当时，有最小值。
9-4 解 输入到输出的传递函数为

等效带宽为