2020-2021备战中考数学平行四边形(大题培优-易错-难题)及详细答案.doc

2020-2021备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及详细答案一、平行四边形1如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转（090），过点 B作BFMN于点F如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 （请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）AF+BF=2OE,证明见解析;AFBF=2OE 证明见解析;BFAF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）过点B作BHOE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；过点B作BHOE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBH，然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；同的方法可证试题解析：（1）AC，BD是正方形的对角线，OA=OC=OB，BAD=ABC=90，OEAB，OE=AB，AB=2OE，（2）AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BHOE于点HBHE=BHO=90OEMN，BFMNBFE=OEF=90四边形EFBH为矩形BF=EH，EF=BH四边形ABCD为正方形OA=OB，AOB=90AOE+HOB=OBH+HOB=90AOE=OBHAEOOHB（AAS）AE=OH，OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OEAFBF=2OE 证明：如图3，延长OE，过点B作BHOE于点HEHB=90OEMN，BFMNAEO=HEF=BFE=90四边形HBFE为矩形BF=HE，EF=BH四边形ABCD是正方形OA=OB，AOB=90AOE+BOH=OBH+BOHAOE=OBHAOEOBH（AAS）AE=OH，OE=BH，AFBF=AE+EFHE=OHHE+OE=OE+OE=2OEBFAF=2OE，如图4，作OGBF于G，则四边形EFGO是矩形，EF=GO，GF=EO，GOE=90，AOE+AOG=90在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，AOG+BOG=90，AOE=BOGOGBF，OEAE，AEO=BGO=90AOEBOG（AAS），OE=OG，AE=BG，AEEF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，BFAF=BG+GF（AEEF）=AE+OEAE+EF=OE+OE=2OE，BFAF=2OE2如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）AEC=105；（3）边BC的长为2或.【解析】试题分析：（1）过A作AHBC于H，得到四边形ADCH为矩形在BAH中，由勾股定理即可得出结论（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，解ABH即可得到结论当CAE=90时，易知CDABCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析：解：（1）过A作AHBC于H由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=， 则（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，则在ABH中，B=60，AHB=90，AB=2，得BH=1，于是BC=2当CAE=90时，易知CDABCA，又，则（舍负）易知ACE90，所以边BC的长为综上所述：边BC的长为2或点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法3如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BFAE，垂足为G交AD于F（1）求证：AFDE；（2）连接DG，若DG平分EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CGCD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CGCD，见解析【解析】【分析】（1）证明BAFADE（ASA）即可解决问题（2）过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N想办法证明AFDF，即可解决问题（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BCCP即可【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，ABAD，BADD90o，2+390又BFAE，AGB901+290，13在BAF与ADE中，1=3 BA=AD BAF=D，BAFADE（ASA）AFDE（2）证明：过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N由（1）得13，BGAAND90，ABADBAGADN（AAS）AGDN， 又DG平分EGF，DMGF，DNGE，DMDN，DMAG，又AFGDFM，AGFDMFAFGDFM（AAS），AFDFDEADCD，即点E是CD的中点（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，ADEECP90，DEACEP，ADEPCE（ASA）AEPE，又CEAB，BCPC，在RtBGP中，BCPC，CGBPBC，CGCD【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题4（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论试题解析：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+15正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE(1)如图1，连EF，若EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF的周长；(2)如图2，若AFAB，过点F作FGAC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH若EAH45，求证：ECHG+FC【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，得出ACAB4，求出AF3，CFACAF，求出CEF是等腰直角三角形，得出EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理求出AE，即可得出AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则CGM和CFG是等腰直角三角形，得出CMCG，CGCF，证出BMDG，证明RtAFGRtADG得出FGDG，BMFG，再证明ABEAFH，得出BEFH，即可得出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，ACAB4，4AF3AC12，AF3，CFACAF，EFAC，CEF是等腰直角三角形，EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理得：AE，AEF的周长AE+EF+AF；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则CGM和CFG是等腰直角三角形，CMCG，CGCF，BMDG，AFAB，AFAD，在RtAFG和RtADG中，RtAFGRtADG（HL），FGDG，BMFG，BACEAH45，BAEFAH，FGAC，AFH90，在ABE和AFH中，ABEAFH（ASA），BEFH，BMBE+EM，FGFH+HG，EMHG，ECEM+CM，CMCGCF，ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键6在中，于点，点为边的中点，过点作，交的延长线于点，连接如图，求证：四边形是矩形；如图，当时，取的中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形）【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【解析】【分析】（1）由AEFCED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明ADC=90，即可推出四边形ADCF是矩形（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形【详解】证明：，是中点，在和中，四边形是平行四边形，四边形是矩形线段、线段、线段都是的中位线，又，四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.7（感知）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形可知BE=DG（拓展）如图，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且A=F求证：BE=DG（应用）如图，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上若AE=2ED，A=F，EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得BCEDCG，则可得BE=DG；应用：由ADBC，BE=DG，可得SABE+SCDE=SBEC=SCDG=8，又由AE=3ED，可求得CDE的面积，继而求得答案试题解析：探究：四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，BC=CD，CE=CG，BCD=A，ECG=FA=F，BCD=ECGBCD-ECD=ECG-ECD，即BCE=DCG在BCE和DCG中， BCEDCG（SAS），BE=DG应用：四边形ABCD为菱形，ADBC，BE=DG，SABE+SCDE=SBEC=SCDG=8，AE=3ED，SCDE= ,SECG=SCDE+SCDG=10S菱形CEFG=2SECG=20.8如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示.(1)图中= ，= ，图中= .(2)当=1秒时，试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:(3)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=、5、.【解析】【分析】（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=22=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=20即可；（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出OM=AP=3，求出ON=MN-OM=5圆O的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，由勾股定理求出AF=6，得出AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；当点P在BC边上，A落在BC边上时，由折叠的性质得：AP=AP，证出APQ=AQP，得出AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA=6，得出AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】（1）点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=22=4，AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=104=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下： 当t=1时，PE=2，AP=AE+PE=4+2=6，四边形ABCD是矩形，A=90，PQ=，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，O为PQ的中点， OM是APQ的中位线，OM=AP=3，ON=MN-OM=5，以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，四边形ABCD是矩形，A=B=BCD=D=90，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，AF=6，AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=；当点P在BC边上，A落在BC边上时，连接AA，如图3所示：由折叠的性质得：AP=AP，APQ=APQ，ADBC，AQP=APQ，APQ=AQP，AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理得：BP=6， 又BP=2t-4，2t-4=6，解得：t=5；当点P在BC边上，A落在CD边上时，连接AP、AP，如图4所示：由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA=6，AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，AP2=22+（22-2t）2，82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得OEF30时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明【答案】（1）OEOF理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OEOF仍然成立；（3）CFOE+AE或CFOEAE【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定，得出OE=OF；（2）先延长EO交CF于点G，通过判定，得出OG=OE，再根据中，即可得到OE=OF；（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可【详解】（1）OE=OF理由如下：如图1四边形ABCD是矩形， OA=OC，在和中， OE=OF；（2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立证明如下：延长EO交CF于点G， AE/CF，又点O为AC的中点， AO=CO在和中， OG=OE，中， OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE证明如下：如图2，当点P在线段OA上时，由（2）可得：OF=OG，是等边三角形， FG=OF=OE，由（2）可得：， CG=AE又 CF=GF+CG， CF=OE+AE；如图3，当点P在线段OA延长线上时，同理可得：是等边三角形， FG=OF=OE，同理可得：， CG=AE又 CF=GF-CG， CF=OE-AE【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决10如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EFCE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H（1）如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=； （2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围【答案】（1）， ，5， ；（2）EBG是直角三角形，理由详见解析；（3） ；（4）S=x2x+48（0x）【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明DCEBCG，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）如图2中，在RtBAD中，BD=10，SBCD=CDBC=BDCE，CE=CG=BE=如图3中，过点E作MNAM交AB于N，交CD于MDE=BE，CE=BD=5，CMEENF，CG=EF=，（2）结论：EBG是直角三角形理由：如图1中，连接BH在RtBCF中，FH=CH，BH=FH=CH，四边形EFGC是矩形，EH=HG=HF=HC，BH=EH=HG，EBG是直角三角形（3）F如图1中，HE=HC=HG=HB=HF，C、E、F、B、G五点共圆，EF=CG，CBG=EBF，CDAB，EBF=CDE，CBG=CDE，DCB=ECG=90，DCE=BCG，DCEBCG，（4）由（3）可知：，矩形CEFG矩形ABCD，CE2=（-x）2+）2，S矩形ABCD=48，S矩形CEFG= （-x）2+（）2.矩形CEFG的面积S=x2-x+48（0x）【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题11如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结CE，过顶点C作CFCE，交AD延长线于F求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，B=CDF，BCD=90，再由垂直的性质得到BCE=DCF，然后根据“ASA”证明BCEBCE即可得到BE=DF详解：证明：CFCE，ECF=90，又BCG=90，BCE+ECD =DCF+ECDBCE=DCF，在BCE与DCF中，BCE=DCF，BC=CD，CDF=EBC，BCEBCE（ASA），BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键12在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动（1）如图，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图若AD=2，试求出线段CP的最小值【答案】（1）AE=DF，AEDF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QCQP=【解析】试题分析：（1）AE=DF，AEDF先证得ADEDCF由全等三角形的性质得AE=DF，DAE=CDF，再由等角的余角相等可得AEDF；（2）是四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，ADE=DCF=90，DE=CF，所以ADEDCF，于是AE=DF，DAE=CDF，因为CDF+ADF=90，DAE+ADF=90，所以AEDF；（3）成立由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AEDF；（4）由于点P在运动中保持APD=90，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可试题解析：（1）AE=DF，AEDF理由：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=C=90在ADE和DCF中，ADEDCF（SAS）AE=DF，DAE=CDF，由于CDF+ADF=90，DAE+ADF=90AEDF；（2）是；（3）成立理由：由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF延长FD交AE于点G，则CDF+ADG=90，ADG+DAE=90AEDF；（4）如图：由于点P在运动中保持APD=90，点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在RtQDC中，QC=，CP=QCQP=考点：四边形的综合知识13如图，在ABC中，AB=7，tanA=，B=45点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQAB交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求t的值（3）求S与t之间的函数关系式（4）如图，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0S1S2），直接写出当S23S1时t的取值范围【答案】(1) PQ=7-t(2) t=(3) 当0t时，S=当t4，当4t7时，（4）或或【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；（3）当0t时，当t4，当4t7时；（4）或或试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t当点Q在线段BC上时，PQ=7-t（2）当点M落在边BC上时，如图，由题意得：t+t+t=7，解得：t=当点M落在边BC上时，求t的值为（3）当0t时，如图，S=当t4，如图，当4t7时，如图，（4）或或考点：四边形综合题.14倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90-45=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120，则点F、D、E不共线，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180，知F、D、E共线，因此有EF=DE+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=120，EAF=60时，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+2=60，B=ADC=60，把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，2+3=60，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，ADE+ADC=120，即点F、D、E不共线，DE+DFEFBE+DFEF；（2）当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF成立理由如下：如图（3），AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，B+D=180，ADE+D=180，点F、D、E共线，EAF=BAD，1+2=BAD，2+3=BAD，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，EF=