114第一类曲面积分.pptx

一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结一、对面积的曲面积分的概念和性质一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式式抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面上各所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面点处都有切平面,且当点在曲且当点在曲面上连续移动时面上连续移动时,切平面也连切平面也连续转动续转动.1、概念的引入、概念的引入1、概念的引入、概念的引入实例实例分割分割取近似取近似求和求和取极限取极限2.2.对面积的曲面积分的对面积的曲面积分的定义定义积分曲面积分曲面据此定义据此定义,曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为即即 S SdSzyxf),(iiiniiSfD D ),(lim10z zh hx xl l 被积函数被积函数3.3.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质设曲面的方程为：设曲面的方程为：三、三、对面积的对面积的曲面积分的计算曲面积分的计算-化为二重积分化为二重积分则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：按照曲面的不同情况分别按照曲面的不同情况分别化为二重积分的计算公式化为二重积分的计算公式则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：注：注：（1）这里积分曲面的方程必须是）这里积分曲面的方程必须是单值显函数单值显函数，否则，否则可利用可加性，分块计算，结果相加；可利用可加性，分块计算，结果相加；（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式；即方程的表达形式；（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数；积函数化为二元函数；（4）切记任何时候都要换面积元。）切记任何时候都要换面积元。简述为：简述为：一代、二换、三投影一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数；代：将曲面的方程代入被积函数；换：换面积元换：换面积元 ;投影：将曲面投影到坐标面得投影区域。投影：将曲面投影到坐标面得投影区域。即即特别特别，2.2.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 3.3.若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式则则则有则有且且1.1.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有同理，曲面投影到其它坐标平面也有如下类似的结论。同理，曲面投影到其它坐标平面也有如下类似的结论。例例1 1解解 z h(0ha)截出的顶部截出的顶部Dxy 为圆形闭区域：为圆形闭区域：x2 y2 a 2 h 2于是于是又又DxyhxyzO例例2 2计算曲面积分计算曲面积分 S SdSz1，其中，其中S S是球面是球面x2 y2 z2 a2被平面被平面例例3 计算计算与平面与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面.解解oxyz例例3 计算计算与平面与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面。所围成的区域的整个边界曲面。解解例例4 4 解解如图如图从而从而例例5 5 计算计算 z=0 与与 z=H 之间的圆柱面之间的圆柱面解解由对称性，有由对称性，有另解：另解：其中其中为柱面为柱面被平面被平面所截的部分所截的部分.例例5 5 计算计算注注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对称于对称于xoy（或（或yoz ，或，或 zox）坐标面）坐标面若若 f（x,y,z)关于关于z（或（或 x ，或，或 y）是奇函数）是奇函数若若 f（x,y,z)关于关于z（或（或 x ，或，或 y）是偶函数）是偶函数完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性练习练习 计算积分计算积分:其中其中是上半球面是上半球面略解：略解：所以所以例例6 6解解例例7 7.已知曲面壳已知曲面壳求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M.解解:在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 故故例例8 求均匀曲面求均匀曲面的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性故故 重心坐标为重心坐标为例例9 9 解解内容小结内容小结1.第一类曲面积分的概念第一类曲面积分的概念定义定义物理意义物理意义:若曲面状物质若曲面状物质的密度为的密度为则该物质质量为则该物质质量为几何意义几何意义:曲面曲面的面积的面积内容小结内容小结1.第一类曲面积分的概念第一类曲面积分的概念2.第一类曲面积分的计算方法第一类曲面积分的计算方法若曲面若曲面它在它在面上面上的投影为的投影为则则