2001年北京高考理科数学真题及答案.doc

2001年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题 60分）注意事项：1 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长台体的体积公式其中、分别表示上、下底面积，表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 若，则在（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第一、四象限 （D）第二、四象限（2）过点且圆心在直线上的圆的方程是（A） （B）（C） （D）（3）设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A）1 （B）2 （C）4 （D）6（4）若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是（A）（0，） （B）（0， （C）（，+） （D）（0，+）(5)极坐标方程的图形是（A） （B） （C） （D）（6）函数的反函数是（A） （B）（C） （D）（7）若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为（A） （B） （C） （D）（8）若，则（A） （B） （C） （D）（9）在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（A）60 （B）90 （C）105 （D）75（10）设都是单调函数，有如下四个命题：若单调递增，单调递增，则单调递增；若单调递增，单调递减，则单调递增；若单调递减，单调递增，则单调递减；若单调递减，单调递减，则单调递减；其中，正确的命题是（A） （B） （C） （D）（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为.若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（A）（B）（C）（D）（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为 （A）26 （B）24（C）20 （D）19第II卷（非选择题 90分）注意事项：1 第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。二填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个椭圆的侧面积是 （14）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上.若，则点到x轴的距离为 .（15）设是公比为的等比数列，是它的前n项和.若是等差数列，则 .（16）圆周上有2n个等分点（），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，面，.()求四棱锥的体积；()求面与面所成的二面角的正切值.(18) (本小题满分12分)已知复数.()求及；()当复数满足，求的最大值.（19）(本小题满分12分)设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于两点. 点在抛物线的准线上，且x轴. 证明直线经过原点.（20）(本小题满分12分)已知是正整数，且.()证明 ；()证明 .(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. ()设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元. 写出的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?(22) (本小题满分14分)设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且.()求及;()证明是周期函数；()记，求. 普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一.选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）2 （14） （15）1 （16）2n (n1) 三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分12分解：（）直角梯形ABCD的面积是M底面， 2分 四棱锥SABCD的体积是 M底面 4分（）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱 6分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交线，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 10分 ，BC =1，BCSB， tanBSC 即所求二面角的正切值为 12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力满分12分解：（）z1 = i (1i) 3 = 22i， 将z1化为三角形式，得， ， 6分 （）设z = cos i sin ，则zz1 = ( cos 2)(sin 2) i，()， 9分当sin() = 1时，取得最大值从而得到的最大值为 12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力满分12分证明一：因为抛物线y2 =2px (p0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为； 4分代入抛物线方程得y2 2pmyp2 = 0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2 = p2 8分因为BCx轴，且点c在准线x = 上，所以点c的坐标为（，y2），故直线CO的斜率为即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 12分证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则ADFEBC 2分连结AC，与EF相交于点N，则， 6分根据抛物线的几何性质， 8分 ，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O 12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分12分（）证明： 对于1im有 = m(mi1)， 同理 ， 4分 由于 mn，对整数k = 1，2，i1，有，所以 ，即 6分（）证明由二项式定理有， ， 8分由 ()知(1imn，而 ， 10分所以， (1imn因此，又 ， 即 (1m)n(1n)m 12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力满分12分解：（）第1年投入为800万元，第2年投入为800（1）万元，第n年投入为800（1）n1万元所以，n年内的总投入为an = 800800（1）800（1）n1 = 40001()n； 3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1）万元，第n年旅游业收入为400（1）n1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn = 400400（1）400（1）n1 = 1600 ()n1 6分（）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即 1600（）n 140001（）n0化简得 5（）n2（）n 70， 9分设（）n，代入上式得5x27x20，解此不等式，得，x1(舍去)即 （）n，由此得 n5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力满分14分（）解：因为对x1，x20，都有f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以 f () f ()0，x0，1 f () = f () f () = f ()2， f ()f () = f () f () = f ()2 3分， f ()，f () 6分（）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，故 f (x) = f (11x)，即f (x) = f (2x)，xR 8分又由f (x)是偶函数知f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f (2x) ，xR，将上式中x以x代换，得f (x) = f (x2)，xR这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期 10分（）解：由（）知f (x)0，x0，1 f ()= f (n ) = f (（n1）) = f () f (（n1）) = f () f () f () = f ()n， f () = ， f () = f (x)的一个周期是2， f (2n) = f ()，因此an = ， 12分 () = 0 14分