七年级初一数学数学第五章-相交线与平行线的专项培优练习题(及答案.doc

七年级初一数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(及答案

一、选择题
1．下列命题是真命题的有（ ）个
①对顶角相等，邻补角互补
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．0 B．1 C．2 D．3
2．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　）

A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确
3．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（　　）

A．∠B与∠2是同旁内角 B．∠A与∠1是同位角
C．∠3与∠A是同旁内角 D．∠3与∠4是内错角
4．在如图所示的四个汽车标识图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④.其中正确的结论是(　　)

A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
7．如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，将三角形沿方向平移得到三角形若，则的长为（ ）

A． B．
C． D．
9．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　）

A．61° B．58° C．48° D．41°
10．下面命题中是真命题的有（　　）
①相等的角是对顶角
②直角三角形两锐角互余
③三角形内角和等于180°
④两直线平行内错角相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．

12．如图，AB∥CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，则∠EGF=__________________°．

13．如图，，，垂足为点，与交于点，若，则______．

14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，将△ABC沿直线CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．

15．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．

16．如图，两直线AB、CD平行，则__________．

17．如图，已知AB∥CD,∠EAF =∠EAB,∠ECF=∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________

18．如图，直线a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝_______．

19．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．

20．观察下列图形：已知在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：_________度．

三、解答题
21．已知，点E、F分别在、上，点G为平面内一点，连接、．
（1）如图，当点G在、之间时，请直接写出、与之间的数量关系__________．

（2）如图，当点G在上方时，且， 求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，过点E作直线交直线于K， FT平分交于点T，延长、交于点R，若，请你判断与的位置关系，并证明． （不可以直接用三角形内角和180°）

22．如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
(1)已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；
(2)求证： FH平分∠GFD．
(3)在(1)的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行?

23．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．

24．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D

证明如下：过E点作EF∥AB．

∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）
又AB∥CD(已知）
CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）
∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
即：∠E=∠B+∠D
[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．

[创新应用]：
(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．
(2)．如图二，将一个长方形ABCD按如图的虚线剪下，使∠1=120，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．

25．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
26．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【详解】
解：对顶角相等，邻补角互补，故①是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故②是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题；
故正确的个数只有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行的公理和应用，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．C
解析：C
【分析】
利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．
【详解】
∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3．B
解析：B
【分析】
根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．
【详解】
解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；
C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．D
解析：D
【分析】
根据平移作图是一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图设计出的图案进行分析即可．
【详解】
解：A、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
B、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
C、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项正确；
D、能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用平移设计图案，解题关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．
5．D
解析：D
【分析】
根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.
【详解】
E点有4中情况，分四种情况讨论如下：
由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α
过点E2作AB的平行线，由AB∥CD，
可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β
∴∠AE2C=α+β
由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β
由AB∥CD，可得
∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β
∴∠AEC的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.

【点睛】
此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.
6．A
解析：A
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．
【详解】
∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-25°=65°，
∴∠COD=180°-65°=115°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
由平移性质可得：BC=EF，CF=可得EC=EF-CF．
【详解】
因为将三角形沿方向平移得到三角形
所以EF=，CF=
所以EC=5-3=2(cm)
故选：A
【点睛】
考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
【详解】
如图，

∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．
∵水中的两条折射光线平行，
∴∠2＝∠3＝58°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；
②直角三角形两锐角互余，故符合题意；
③三角形内角和等于180°，故符合题意；
④两直线平行内错角相等，故符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，难度不大．
二、填空题

11．46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．

【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
12．【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵
解析：【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD=×64°=32°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD=32°．
故答案为：32．
考点：平行线的性质．
13．120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠N
解析：120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠NOA
∵
∴∠NOA=90゜
∴∠OFP=90゜
∵AB//CD
∴CD//PT
∴∠DGF=∠GFP
∵∠DGF=∠1=30゜
∴∠GFP=30゜
∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜
故答案为：120゜
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．
14．【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，

依题意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED
解析：
【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，

依题意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED的面积，
∴，
解得；
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．
15．24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示

观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和
解析：24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示

观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.
故答案是：24.
【点睛】
本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键.
16．【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．
【详解】
分别过F点，G点，H点作，，平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角，
解析：
【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．
【详解】
分别过F点，G点，H点作，，平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角，
．
故答案为．

【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线是解题关键．
17．4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，

故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．78°
【解析】
解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．

点睛：此题考查了平行线的性质：两直线
解析：78°
【解析】
解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．

点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．
19．120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，

由平行线的性质可得∠GEC=90°，
解析：120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，

由平行线的性质可得∠GEC=90°，
所以∠GEB=90°﹣30°=60°，
因为EG∥AB，
所以∠ABE=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
20．（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18
解析：（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，

∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题

21．（1）∠G=∠AEG+∠CFG；（2）见解析；（3）FR⊥HK，理由见解析
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）过点作，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；
（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．
【详解】
解：（1）如图：过点作，
∵，
∴，
∴，，

、与之间的数量关系为．
故答案为：．

（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
．

（3）与的位置关系为垂直．理由如下：
平分交于点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
∴与的位置关系是垂直．

【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
22．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°
【分析】
(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=∠EFD=35°；
(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；
(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．
【详解】
解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB=∠BFD=∠EFD=35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°；
(2)∵FH⊥FB，
∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°
∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，
∴∠DFH＝∠GFH．
∴FH平分∠GFD．
(3)分类讨论：
情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：

当为图1时：
∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，
∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，
当为图4时：
此时∠HFB=∠H=60°，
旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；
情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：

此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；
情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：

此时∠3=∠Q=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，
综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．
故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=∠ABC+∠ADC；（2）∠BED=180º-∠ABC+∠ADC，理由见解析．
【分析】
（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．

∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=∠ABC=，
∠EDC=∠ADC=，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=∠ABC，∠EDC=∠DEF=∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =∠ABC+∠ADC
∴∠BED=∠ABC+∠ADC
（2）如图2，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠EDC=∠DEF，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠ABC，∠DEF=∠ADC，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-∠ABC+∠ADC．

【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
24．类比探究：见解析；
创新应用：(1)：
创新应用：(2)：
【分析】
[类比探究]：如图，过作 结合已知条件得利用平行线的性质可得答案，
[创新应用]：
(1)：由题意得： 过作 得到利用平行线的性质可得答案，
(2)：由题意得： 过作得到 利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：类比探究：如图，过作

[创新应用]：(1)：由题意得： 过作

(2)：由题意得： 过作

，
∠1=120，∠FEQ=90°，

【点睛】
本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．
25．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，再由根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵
∴
又∵，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,,
由翻折可知：∵, ,
∴, ,
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
26．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．
【解析】
【分析】
(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；
(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；
(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.
【详解】
(1)如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
(2)如图2所示：

∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∴∠PA1D1＝150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
(3)如图3所示：

过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E＝∠2＝15°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.