城市居民食品分类及零售价格预测数学建模复习过程.docx

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文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛
承 诺 书

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我们的竞赛编号为： 10487050

我们的选择题号为： A

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评阅编号：

城市居民食品分类及零售价格预测

摘要
本文首先对2010.3~2011.4的武汉市居民食品零售价格数据利用光滑样条曲线进行图像化，更直观的表现出价格的变动，了解各种食品的价格变化波动性的大小，考虑到有些食品波动性很大，为了达到较长时间的预测，将数据月平均化。分别拟合出各种食品的价格走势经验模型，按照食品的特性进行分类，分别拟合出各类食品的价格走势图。尝试对不同类食品的相关性和替代性进行分析，得到趋势。

对于问题一，将食品分为食用油类、肉禽蛋类、水产类、蔬菜类、水果类和副食品类，根据最小二乘及置信区间的合理收敛程度拟合的原则，拟合出各类的价格趋势走向图，曲线拟合采用的各项指标为SSE、R-square、Adjusted R-square、RMSE，其中部分拟合曲线不尽如人意，部分曲线明显没有可预测的趋势因而没有拟合的必要。

对于问题二，关键在于如何处理海量的数据。利用Matlab的cftool工具箱预测出2011年4、5月份各类食品的价格并计算出同比增长率，同时发现同类食品之间呈现一定的互补效应，各类食品之间并不表现出某种关联。

在问题三中，根据问题一与问题二得到的结果结合相关经济学知识对相关部门提出了若干建议。

关键词:拟合、最小二乘、cftool、互补效应

一、问题重述

消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。

城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，权威机构研究认为粮食生产、流通成本上涨一定会带动农产品价格总体上涨，特别是2011年异常的气候情况，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布3月份的CPI增幅达5.4%，创32个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强。

问题1：根据附录建立数学模型，将所涉及食品适当分类，并分析每类食品的特点；得到各类食品价格的波动性，为问题二的建模提供指导。

问题2：以问题一的分析为基础，根据附录建立数学模型，预测2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势；

问题3：根据问题一与问题二得到的结论，写一篇城市居民食品零售价格情况分析和对有关部门建议的文章。

二、问题分析

2.1 问题背景分析
当前，我国物价上涨的原因是多方面的，包括需求增加、成本上涨以及通货膨胀惯性等因素，本文着眼于实际数据(尽管官方公布的数据通常令人对它是否被加工过产生怀疑)，本着让数据说话、让曲线证明的的基本原则，力求体现出食品价格变化的整体走势。

2.2过程分析
本问题的难点在于找出合适的拟合函数来拟合海量的数据，保证数据点的残差值最小并且易于作出短期内的预测，

2.3 问题的分解和整合
（1）首先，以问题三为指导，了解关于CPI的相关知识，初步确定解决问题一与问题二的重点。
（2）问题一是对数据的初步处理阶段，分析得到各类食品的价格特点，关注价格的波动性，为问题二选择合适的拟合方法奠定基础。
（3）以问题二所得到的经验模型，预测价格走势，提出一些合理的建议。

三、模型假设

基于问题实际，本文提出以下合理假设：
（1）在得到各种食品的价格光滑样条曲线时，实际数据当中的时间间距有9，10，11不等，其中以10天居多，为方便处理，设时间间距一律为10天。
（2）在得到各种食品月平均价格变化趋势图时，以每月的三个采样数据平均来替代当月的平均价格。
（3）在对同类食品进行整合以得到一类食品的价格趋势当中，将同类中的各种食品的权重设为一致。

四、符号说明

符号
解释说明
SSE

Sum of Squares for Error 即误差项平方和。反映每个样本各观测值的离散状况，又称为组内平方和或残差平方和。
R-square

决定系数,R-square越大拟合度越好
Adjusted R-square

校正后的决定系数
RMSE

Root-Mean-Square Error 均方根误差亦称标准误差

五、问题一的模型建立与求解
5.1 模型建立
将食品进行如下分类：
类别
食品
食用油类
菜籽油、大豆油、花生油、大豆调和油
肉禽蛋类
鲜猪肉（精瘦）、鲜猪肉（肋条）、鲜牛肉、鲜羊肉（去骨）、鲜羊肉（带骨）、活鸡、鸡肉、鸡蛋
水产类
带鱼、草鱼、鲤鱼
蔬菜类
芹菜、大白菜、油菜、黄瓜、萝卜、茄子、西红柿、土豆、青椒、胡萝卜、尖椒、圆白菜、豆角、蒜苔、韭菜
水果类
芦柑、苹果、香蕉、西瓜、
副食品类
豆腐、食用盐、绵白糖、白砂糖、红糖、酱油、醋、鲜牛奶

5.2 模型求解
说明：在以下的图表中，以1,2,3…替代2010-3-5,2010-30-15，2010-3-25…
图表为价格—时间光滑样条曲线，借助MATLAB的cftool实现。

5.2.1 食用油类

结论：
（1）.食用油类价格波动性较小，除在2010年10月下旬，11月上旬有大幅度升高以外，其余时段变化较为平稳。
（2）.在最近一段时间内，食用油价格保持平稳，有持续保持的可能性。

5.2.2 肉禽蛋类：

结论：
（1）.肉禽蛋类总体而言波动较为厉害，其中羊肉相对较为平稳而猪肉的价格这波动性很大。
（2）.在最近的一段时间内，羊肉价格保持平稳，活鸡波动较小，其余的肉禽蛋食品波动较大。

5.2.3 水产类：

结论：
（1）.水产品类价格波动性大。其中鲤鱼的价格变化相对而言较为平稳。
（2）.在最近一段时间内，水产品价格呈下降趋势，其中草鱼有望回升。

5.2.4 蔬菜类：

结论：
（1）.蔬菜类由于其自身的特点即季节性较强，价格波动很大。一些反季节菜的价格上升趋势明显，而随着季节的变迁，逐渐进入夏天，像韭菜，黄瓜，茄子等夏季蔬菜的价格有下降趋势。

5.2.5水果类：

结论：
（1）.水果类当中，大多数是呈上升趋势，但是苹果却逆势而下而且下降幅度比较大。
（2）.其他三种水果较为典型，具有季节性。香蕉、西瓜随着进入生产季节都趋于平稳，而芦柑则随着远离生产季节，价格在不断上升。

5.2.6副食品类：

结论：
（1）.副食品类在近期比较平稳，相对来讲糖类的波动性最大，总体呈上升趋势。
（2）.食用盐由于是国家管制食品，价格在这个测量期间内未发生变化。
（3）.豆腐仅有一次价格波动，近期没有变动。

六、问题二的模型建立与求解
6.1.模型建立
考虑到该问题的实质在于拟合出恰当的经验模型，故问题的核心在于选取对拟合效果进行评价的依据，然后拟合出合理的模型。
在拟合的过程当中，以SSE、R-square、Adjusted R-square、RMSE取最优值为原则，借助MATLAB的cftool拟合功能拟合出经验模型。
以问题二的波动性分析为基础，食品总体而言波动性较大，拟合出的曲线不稳定，对数据的变化敏感，达不到较长时间预测的结果。考虑到要求预测4,5月份的价格趋势，时间较长，为达到准确预测的目的， 以每月的平均数据作为基本数据以减少数据数量，达到所需要的效果。

6.2.模型求解
6.2.1 各种食品拟合曲线及2011年4,5月平均价格预测

图解：（1）横坐标相对测量次数，例如：2010年3月为第一次，横坐标为1，10年4月为2，其他的依次类推。
（2）图中的两条虚线表示走势线在真实价格落在虚线范围内有95%的可信度。

SSE: 0.00205
R-square: 0.9994
Adjusted R-square: 0.9982
RMSE: 0.02264
预测4月： 5.79
5月： 5.51

SSE: 0.08074
R-square: 0.9775
Adjusted R-square: 0.9615
RMSE: 0.1074
预测4月： 5.38
5月： 5.15

SSE: 5.87
R-square: 0.993
Adjusted R-square: 0.9791
RMSE: 1.211
预测4月： 113.92
5月： 109.42

SSE: 3.252
R-square: 0.9925
Adjusted R-square: 0.9774
RMSE: 0.9016
预测4月： 55.80
5月： 41.22

SSE: 0.3184
R-square: 0.9812
Adjusted R-square: 0.9437
RMSE: 0.2821
预测4月： 12.88
5月： 12.36

SSE: 1.829
R-square: 0.903
Adjusted R-square: 0.8707
RMSE: 0.4508
预测 4月： 9.16
5月： 8.29

SSE: 0.7331
R-square: 0.8887
Adjusted R-square: 0.8091
RMSE: 0.3236
预测4月： 19.49
5月： 20.19

SSE: 1.429
R-square: 0.9734
Adjusted R-square: 0.9545
RMSE: 0.4519
预测4月： 19.50
5月： 17.54

SSE: 0.1231
R-square: 0.9968
Adjusted R-square: 0.9904
RMSE: 0.1754
预测4月： 18.38
5月： 16.77

SSE: 0.07603
R-square: 0.9924
Adjusted R-square: 0.9772
RMSE: 0.1379
预测4月： 11.93
5月： 11.76

SSE: 0.3103
R-square: 0.9436
Adjusted R-square: 0.8646
RMSE: 0.249
预测4月： 8.73
5月： 9.24

SSE: 0.1238
R-square: 0.9709
Adjusted R-square: 0.9302
RMSE: 0.1574
预测4月： 3.70
5月： 3.38

SSE: 0.1422
R-square: 0.9936
Adjusted R-square: 0.9847
RMSE: 0.1686
预测4月： 11.68
5月： 13.02

SSE: 0.1166
R-square: 0.9403
Adjusted R-square: 0.8568
RMSE: 0.1527
预测4月： 5.10
5月： 4.98

SSE: 0.03558
R-square: 0.9427
Adjusted R-square: 0.9236
RMSE: 0.06288
预测4月： 5.85
5月： 5.74

SSE: 0.6161
R-square: 0.8334
Adjusted R-square: 0.7144
RMSE: 0.2967
预测 4月： 2.66
5月： 2.20

SSE: 0.4634
R-square: 0.7445
Adjusted R-square: 0.5619
RMSE: 0.2573
预测4月： 0.97
5月： 1.22

SSE: 0.5624
R-square: 0.9049
Adjusted R-square: 0.7718
RMSE: 0.3354
预测4月： 2.18
5月： 1.93

SSE: 0.08143
R-square: 0.9814
Adjusted R-square: 0.9554
RMSE: 0.1276
预测4月： 2.05
5月： 1.34

SSE: 0.04037
R-square: 0.901
Adjusted R-square: 0.7624
RMSE: 0.08985
预测4月： 0.73
5月： 0.74

SSE: 1.198
R-square: 0.8175
Adjusted R-square: 0.6872
RMSE: 0.4138
预测4月： 3.04
5月： 2.46

SSE: 0.03513
R-square: 0.9881
Adjusted R-square: 0.9525
RMSE: 0.1082
预测4月： 2.64
5月： 2.79

SSE: 0.01266
R-square: 0.9903
Adjusted R-square: 0.9612
RMSE: 0.06496
预测4月： 1.73
5月： 1.70

SSE: 0.01207
R-square: 0.9575
Adjusted R-square: 0.4898
RMSE: 0.1099
预测4月： 1.73
5月： 1.89

SSE: 0.1078
R-square: 0.9792
Adjusted R-square: 0.9169
RMSE: 0.1896
预测4月： 3.24
5月： 2.69

SSE: 0.0216
R-square: 0.9977
Adjusted R-square: 0.9726
RMSE: 0.147
预测4月： 4.07
5月： 1.56

SSE: 0.3468
R-square: 0.7059
Adjusted R-square: 0.5589
RMSE: 0.2082
预测4月： 1.10
5月： 1.03

SSE: 0.2172
R-square: 0.9878
Adjusted R-square: 0.9708
RMSE: 0.2084
预测4月： 5.55
5月： 4.11

SSE: 2.031
R-square: 0.8066
Adjusted R-square: 0.7422
RMSE: 0.475
预测4月： 5.98
5月： 5.14

SSE: 0.01232
R-square: 0.9951
Adjusted R-square: 0.9802
RMSE: 0.06409
预测4月： 2.43
5月： 2.30

SSE: 0.07647
R-square: 0.9802
Adjusted R-square: 0.9209
RMSE: 0.1597
预测4月： 2.79
5月： 2.14

SSE: 0.145
R-square: 0.9559
Adjusted R-square: 0.9412
RMSE: 0.1269
预测4月： 5.22
5月： 5.10

SSE: 0.1755
R-square: 0.6618
Adjusted R-square: 0.549
RMSE: 0.1397
预测4月： 3.31
5月： 3.45
.

SSE: 0.3341
R-square: 0.8999
Adjusted R-square: 0.8665
RMSE: 0.1927
预测4月： 2.43
5月： 2.12

SSE: 0.2389
R-square: 0.9589
Adjusted R-square: 0.9452
RMSE: 0.1629
预测4月： 2.25
5月： 2.25

SSE: 0
R-square: 1
Adjusted R-square: 1
RMSE: 0
预测4月： 1.3
5月： 1.3

SSE: 0.2389
R-square: 0.9589
Adjusted R-square: 0.9452
RMSE: 0.1629
预测4月： 8.78
5月： 8.68

SSE: 0.6876
R-square: 0.8962
Adjusted R-square: 0.8617
RMSE: 0.2764
预测4月： 5.99
5月: 6.14

SSE: 0.3247
R-square: 0.9245
Adjusted R-square: 0.8993
RMSE: 0.1899
预测4月： 6.09
5月： 5.86

SSE: 0.008324
R-square: 0.6473
Adjusted R-square: 0.5297
RMSE: 0.03041
预测4月： 5.21
5月： 5.17

SSE: 0.1972
R-square: 0.6613
Adjusted R-square: 0.5483
RMSE: 0.148
预测4月： 3.78
5月： 3.67

SSE: 0.004227
R-square: 0.9349
Adjusted R-square: 0.9023
RMSE: 0.02299
预测4月： 3.49
5月： 3.41

6.2.2 同类食品的价格走势曲线
图解：下图中纵坐标的得到是采取如下方法,首先将每个测量期的价格除以总的平均，除去了本身价格的因素，然后将同一时期各个食品的价格变化因子相加，得到整一类的价格变化因子暴露出其价格变化因子，以便来分析整一类的价格走势。

6.2.3 不同种类食品价格的相关性研究。
（1） 从各类食品的价格走势来看，并没有明显的相关性。
（2）虽然蔬菜与水果同为季节性食品，但两者也并没有太大的关联。
（3）综合（1），（2），得到的结论是不同种类食品之间的相关性小。

6.2.4 预测最终结果

各种食品的2011年4，5月价格的环比增长率及相对2010年同期增长率
商品名称
4月预测
5月预测
4月同比增长
4月环比增长
5月同比增长
5月环比增长
　菜籽油
5.79
5.51
20.63%
-2.36%
16.41%
-4.84%
　大豆油
5.38
5.15
24.25%
-3.58%
20.70%
-4.28%
　花生油
113.92
109.42
19.16%
-2.51%
14.40%
-3.95%
大豆调和油
55.81
41.23
10.91%
-10.56%
-17.20%
-26.12%
　鲜猪肉
12.89
12.37
21.11%
-2.86%
13.42%
-4.03%
　鲜猪肉
9.17
8.3
38.38%
-6.21%
24.19%
-9.49%
　鲜牛肉
19.5
20.2
21.12%
5.41%
27.18%
3.59%
　鲜羊肉
19.51
17.54
15.24%
-9.47%
5.79%
-10.10%
　鲜羊肉
18.38
16.77
20.97%
-4.27%
12.85%
-8.76%
　活鸡
11.93
11.77
28.60%
-0.25%
25.61%
-1.34%
　鸡肉
8.73
9.24
-7.06%
4.84%
7.73%
5.84%
　鸡蛋
3.7
3.39
13.50%
-13.95%
4.95%
-8.38%
　带鱼
11.68
13.02
7.68%
8.79%
45.31%
11.47%
　草鱼
5.11
4.98
-1.73%
-3.95%
-1.06%
-2.54%
　鲤鱼
5.86
5.75
4.64%
-0.45%
5.12%
-1.88%
　芹菜
2.66
2.21
13.03%
-10.34%
6.25%
-16.92%
　大白菜
0.97
1.22
-49.13%
37.91%
2.23%
25.77%
　油菜
2.18
1.93
10.85%
45.01%
29.82%
-11.47%
　黄瓜
2.06
1.34
-18.47%
-30.80%
-25.56%
-34.95%
　萝卜
0.73
0.74
-8.75%
-17.98%
-3.48%
1.37%
　茄子
3.04
2.46
-32.49%
-15.71%
-28.21%
-19.08%
　西红柿
2.64
2.79
-16.19%
-17.07%
1.09%
5.68%
　土豆
1.73
1.69
-23.00%
-26.59%
-14.07%
-2.31%
　胡萝卜
1.73
1.89
-11.73%
-14.21%
-2.74%
9.25%
　青椒
3.24
2.69
-3.86%
-22.73%
-9.22%
-16.98%
　尖椒
4.07
1.56
-17.11%
-38.61%
-67.18%
-61.67%
　圆白菜
1.1
1.03
-7.30%
-11.53%
4.39%
-6.36%
　豆角
5.54
4.11
20.00%
-16.36%
14.17%
-25.81%
　蒜苔
5.98
5.14
28.42%
-4.42%
22.09%
-14.05%
　韭菜
2.43
2.3
5.81%
-26.06%
0.29%
-5.35%
　芦柑
2.8
2.14
31.46%
-19.23%
0.47%
-23.57%
　苹果
5.22
5.1
34.19%
-0.63%
36.61%
-2.30%
　香蕉
3.12
3.45
9.35%
-7.33%
28.25%
10.58%
　西瓜
2.27
2.10
-1.73%
-3.95%
-7.30%
-11.53%
　豆腐
2.3
2.3
0
0
0.00%
0.00%
　食用盐
1.3
1.3
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
　绵白糖
8.78
8.68
25.25%
-0.57%
13.12%
-1.14%
　白砂糖
5.99
6.14
62.92%
3.57%
52.36%
2.50%
　红糖
6.09
5.87
23.95%
-4.99%
4.95%
-3.61%
　酱油
5.55
5.17
6.32%
5.11%
-1.27%
-6.85%
　醋
3.78
3.67
0.80%
-1.31%
-2.13%
-2.91%
　鲜牛奶
3.49
3.41
4.80%
-0.29%
2.40%
-2.29%
分析：
（1） 食用油价格下降
（2） 肉禽蛋类以降为主
（3） 水产类以降为主
（4） 蔬菜类以降为主
（5） 水果类价格下降
（6） 副食品有升有降

七、问题三的模型建立与求解
7.1 分析
根据问题一和问题二所建模型得出的食品价格普遍将呈现下降的趋势与居民实际生活感受不甚相符，考虑到所建模型的复杂程度和准确程度都不够，对2011年4、5月份的食品价格的预测的可靠性不强，选取各拟合曲线时依据的标准也值得讨论，对同类食品采取价格权重一致的做法也有待商榷。模型的优点在于直观地反映了各食品零售价格走势。
7.2 建议
针对以上模型所得出的数据，仅仅对于本模型得出的数据，我们从中可以看到物价指数并不会像之前那样有大幅度的上升，甚至有可能有一定的下降。因此本小组给出如下建议：
1、 政府不需要采取过多的干预政策，毕竟市场有其内在的规律，若强加干预，有可能得到相反的效果。
2、 政府在遵循市场规律的前提下，适当采取干预，例如保证市场供应，避免因认为因素导致食品价格的波动。鼓励从事与食品生产相关的行业，以保证市场的正常流通。
3、 重点关注蔬菜类，水果类的价格变动，从以上模型中我们可以看到蔬菜类，水果类由于其本身季节性较强，价格的波动较为剧烈，政府要根据这个特点，特别在蔬菜、水果等换季上市时，及时调查相关价格的变动，尽早的向社会公布，以保护百姓的利益、保持社会的稳定。
4、 类似于盐一类的国家管制食品，政府要保证其价格的稳定，以及货源的充足，从以上模型当中可以看到，盐的价格未发生变动，这不仅仅是价格的稳定表现，更是社会稳定的外在形式。

参考文献
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[2] 崔智全，赖一楠，赵韩涛，金羽，MATLAB 2009 从入门到精通，北京，中国铁道出版社，2011.2
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