1、1990年湖南高考理科数学真题及答案一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1(4分)方程=的解是()Ax=Bx=Cx=Dx=92(4分)把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是()ABiCD3(4分)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于()ABCD4(4分)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是()A1B2C3D45(4分)已知如图是函数y=2sin(x+)(|)的图象,那么()A=,=B=,=C=2,=D=2,=6(4分)函数的值域是()A2,4B2,0,4C2,0,2,4D4,2,0,47(4分)如果直线y=ax+2与直
2、线y=3xb关于直线y=x对称,那么()Aa=,b=6Ba=,b=6Ca=3,b=2Da=3,b=68(4分)极坐标方程4sin=5表示的曲线是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线9(4分)设全集I=(x,y)|x,yR,集合M=(x,y)|=1,N=(x,y)|yx+1那么等于()AB(2,3)C(2,3)D(x,y)|y=x+110(4分)(2010建德市模拟)若实数x、y满足(x+2)2+y2=3,则的最大值为()ABCD11(4分)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于()A90B60C45D3012(4分)已知
3、h0设命题甲为:两个实数a,b满足|ab|2h;命题乙为:两个实数a,b满足|a1|h且|b1|h那么()A甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C甲是乙的充分条件D甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件13(4分)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有()A24种B60种C90种D120种14(4分)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A70个B64个C58个D52个15(4分)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C又设图象C与C关于原点对称,那么C所对应的函数是
4、()Ay=arctg(x2)By=arctg(x2)Cy=arctg(x+2)Dy=arctg(x+2)二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)16(5分)双曲线的准线方程是_17(5分)(x1)(x1)2+(x1)3(x1)4+(x1)5的展开式中,x2的系数等于_18(5分)(2011上海模拟)已知an是公差不为零的等差数列,如果sn是an的前n项的和,那么等于_19(5分)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 _20(5分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=_三、
5、解答题(共6小题,满分65分)21(10分)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数22(10分)已知sina+sinB=,cosa+cosB=,求tg(a+B)的值23(10分)如图,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E又SA=AB,SB=BC求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数24(11分)设a为实数,在复数集C中解方程:z2+2|z|=a25(12分)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0)到这个椭圆上的点最远距离
6、是求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标26(12分)f(x)=lg,其中a是实数,n是任意自然数且n2()如果f(x)当x(,1时有意义,求a的取值范围;()如果a(0,1,证明2f(x)f(2x)当x0时成立参考答案一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1考点:对数的运算性质;指数式与对数式的互化 分析:根据指数式与对数式的互化可知,进而得到答案解答:解:故选A点评:本题主要考查指数式与对数式的相互转化2考点:复数代数形式的混合运算 分析:把复数1+i乘以cos()+isin(),化简为代数形式即可解答:解:复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量:(1+
7、i)cos()+isin()=(1+i)=,故选D点评:复数旋转,实际上复数乘以一个模为1的辅角为复数三角形式,注意旋转方向,本题是基础题3考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 专题:计算题分析:设圆柱高为h,推出底面半径,求出圆柱的侧面积,然后求出圆柱的体积即可得到选项解答:解:设圆柱高为h,则底面半径为由题意知,S=h2,h=,V=()2h=故选D点评:本题是基础题,考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系,考查计算能力,常考题型4考点:正弦函数的图象;函数y=Asin(x+)的图象变换 专题:计算题分析:通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx,进而推断sinx=0或cosx=,进而求出
8、x的值解答:解:sin2x=2sinxcosx=sinxsinx=0或cosx=x(0,2)x=或或故选C点评:本题主要考查了三角函数的二倍角公式属基础题5考点:由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式 专题:计算题;数形结合法分析:由图象过(0,1)及|,求出的值,函数图象过点(,0),据五点法作图的过程知+=2,求出解答:解:因为函数图象过(0,1),所以,1=2sin,sin=,|,=,故函数y=2sin(x+),又函数图象过点(,0),0=2sin(+),由五点法作图的过程知,+=2,=2,综上,=,=2,故选C点评:本题考查五点法作图的方法,在本题图中的一个完整的标准周期内,图象
9、上的五个关键点的横坐标分别为:0,26考点:函数的值域;三角函数的化简求值 专题:计算题;分类讨论分析:根据正切和余切的定义求出函数的定义域,分四种情况由三角函数值的符号,去掉绝对值求解解答:解:由题意知,函数的定义域是x|x,kZ,下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时,因所有三角函数值大于零,故y=4;当x是第二象限角时,因为只有正弦值大于零,故y=1111=2;当x是第三象限角时,因为正切值和余切值大于零,故y=11+1+1=0;当x是第四象限角时,因为只有余弦值大于零,故y=2;所以函数的值域是2,0,4故选B点评:本题主要考查了三角函数的定义以及符
10、号,根据定义求出函数的定义域,由三角函数值的符号进行化简求值7考点:反函数 分析:本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识;本题可有两种方法,其一,求出y=ax+2的反函数令其与y=3xb的对应系数相等获得,其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系,通过在图象上取特殊点求解解答:解:法一:由题意,函数y=3xb的反函数为y=,与y=ax+2对照可得a=,b=6;法二:在y=ax+2上取点(0,2),则点(2,0)在y=3xb上,故得b=6;又y=3x6上有点(0,6),则点(6,0)在y=ax+2上,代入得a=,由此可得a=,b=6答案:a=,b=6点评:本题解题思
11、路清晰,方向明确,运算量也小,属于容易题目这里提供了两种方法,比较可见各有特点,直接求反函数过程简捷,较为简单,特值代入,小巧易行,过程稍繁8考点:简单曲线的极坐标方程 分析:先在极坐标方程4sin=5的两边同乘以,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用cos=x,sin=y,2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系,再利用直角坐标方程即可进行判断解答:解:将方程4sin=5两边都乘以p得:4sin=52,化成直角坐标方程为5x2+5y24y=0它表示一个圆故选A点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进
12、行极坐标和直角坐标的互化9考点:交、并、补集的混合运算 分析:先化简集合M,再计算解答:解:M=(x,y)|y=x+1或(x,y)(2,3),又故答案选B点评:本题主要考查了集合间的交,并,补混合运算,注意弄清各集合中的元素10考点:简单线性规划 专题:计算题分析:先判断出方程表示的图形,再给赋与几何意义,作出图象,结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值解答:解:(x+2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,以为半径的圆表示圆上的点与(0,0)连线的斜率,设为k则y=kx由图知,当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知,故选A点评:本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式
13、、数形结合求最值11考点:异面直线及其所成的角 专题:计算题;压轴题分析:先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可解答:解:如图,取AC的中点D,连接DE、DF,DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2,则DE=1,DF=1,根据SABC,则EDDFDEF=45,故选C点评:本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题12考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析:巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|a+b|及必要、充分条件,可以解答本题解答:解:由|a1|h且
14、|b1|h 得|ab|=|a1+1b|a1|+|1b|2h,所以甲是乙的必要条件;不妨令h=1,a=0.5,b=0.3,|a1|=0.51,而|b1|=1.31,因而甲不是乙的充分条件故选B点评:|a|+|b|a+b|的合理运用,以及巧妙运用|a1|+|1b|的使用,是解答甲是乙的必要条件的一个关键;充分条件的推导用的是特殊值否定法13考点:排列、组合的实际应用 专题:转化思想分析:根据题意,首先计算五人并排站成一排的情况数目,进而分析可得,B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的,使用倍分法,计算可得答案解答:解:根据题意,使用倍分法,五人并排站成一排,有A55种情况,而其中B站在A的左边与
15、B站在A的右边是等可能的,则其情况数目是相等的,则B站在A的右边的情况数目为A55=60,故选B点评:本题考查排列、组合的应用,注意使用倍分法时,注意必须保证其各种情况是等可能的14考点:棱锥的结构特征 专题:压轴题;分类讨论分析:以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点,可得四面体的个数解答:解:正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有,已有的6个面,对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:7012=58个故选C点评:本题考查棱锥的结构特征,考查逻辑思维能力,是中档题15考点:函数的图象与图象变化 专题:压轴题分析:根据平移变换和
16、对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C对应的解析式即可解答:解:将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg(x2)又图象C与C关于原点对称则C对应的解析式为y=arctg(x2)=arctg(x+2)故选D点评:平移变换的口决是“左加右减,上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面,关于X轴负外面,关于原点,既负里面,又负外面”二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)16考点:双曲线的简单性质 专题:计算题分析:由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解解答:解:a=4,b=3,则c=5,双曲线的准线方程是,故答案是点评:本题
17、比较简单,解题时要注意双曲线的焦点在y轴上17考点:二项式定理的应用 专题:计算题分析:多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和,利用二项展开式的通项公式求出各个系数解答:解:展开式中含x2项的系数为1C32C42C52=13610=20故答案为20点评:本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用18考点:等差数列的性质;极限及其运算;等差数列的前n项和 分析:设an=a1+(n1)d,sn=na1+d,代入求出极限即可解答:解:设an=a1+(n1)d,sn=na1+d,代入得=2故答案为2点评:考查学生运用等差数列性质的能力,运用等差数列求和公式的能力,会求极限及运算
18、极限的能力19考点:三角函数的最值 专题:计算题;压轴题分析:利用sinx与cosx的平方关系,令sinx+cosx=t,通过换元,将三角函数转化为二次函数,求出对称轴,利用二次函数的单调性求出最值解答:解:令t=sinx+cosx=则sinxcosx=y=()对称轴t=1当t=时,y有最大值故答案为点评:本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法20考点:棱柱、棱锥、棱台的体积 专题:计算题;压轴题分析:设AEF面积为s1,ABC和A1B1C1的面积为s,三棱柱高位h;VAEFA1B1C1=V1;VBCFEB1C1=V2;总
19、体积为:V,根据棱台体积公式求V1;V2=VV1以及面积关系,求出体积之比解答:解:由题:设AEF面积为s1,ABC和A1B1C1的面积为s,三棱柱高位h;VAEFA1B1C1=V1;VBCFEB1C1=V2;总体积为:V计算体积:V1=h(s1+s+)V=sh V2=VV1由题意可知,s1=根据解方程可得:V1=sh,V2=sh;则故答案为:点评:本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,转化思想,考查空间想象能力,是基础题三、解答题(共6小题,满分65分)21考点:数列的应用 专题:计算题分析:设四个数依次为x,y,12y,16x根据等差数列和等比数列的性质知,由此能求出这四个数解答:
20、解:设四个数依次为x,y,12y,16x依题意,有由式得x=3y12将式代入式得y(163y+12)=(12y)2,整理得y213y+36=0解得y1=4,y2=9代入式得x1=0,x2=15从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用22考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用 分析:和差化积,两已知等式出现相同的因式,两式相除,约分得角的正切,用二倍角公式代入即求的结果,注意二倍角公式的符号解答:解法一:由已知得sin+sin=2sincos=,cos,两式相除得tan=,tan(+)=点评:数学课本中常见的三
21、角函数恒等式的变换,既是重点,又是难点其主要难于三角公式多,难记忆,角度变化、函数名称变化,运算符号复杂、难掌握,解题时抓住题目本质,熟记公式,才不会出错23考点:平面与平面之间的位置关系 专题:计算题分析:欲证BDDE,BDDC,先证BD面SAC,从而得到EDC是所求的二面角的平面角,利用RtSAC与RtEDC相似求出EDC即可解答:解:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE又已知SCDE,BEDE=E,SC面BDE,SCBD又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD而SCSA=S,BD面SACDE=面SAC面BDE,DC=面SAC面B
22、DC,BDDE,BDDCEDC是所求的二面角的平面角SA底面ABC,SAAB,SAAC设SA=a,则AB=a,BC=SB=aABBC,AC=,在RtSAC中tanACS=ACS=30又已知DESC,所以EDC=60,即所求的二面角等于60点评:本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题24考点:复数的基本概念;复数相等的充要条件 专题:压轴题;分类讨论分析:由于z2=a2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论当z是实数时,本题是一个关于z的一元二次方程组,解方程组即可;当z是一个纯虚数时,按照实数方程求解得到z的虚部,写出纯虚数
23、即可解答:解:设|z|=r若a0,则z2=a2|z|0,于是z为纯虚数,从而r2=2ra由于z2=a2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论解得r=(r=0,不合,舍去)故z=()i若a0,对r作如下讨论:(1)若ra,则z2=a2|z|0,于是z为实数解方程r2=a2r,得r=(r=0,不合,舍去)故z=()(2)若ra,则z2=a2|z|0,于是z为纯虚数解方程r2=2ra,得r=或r=(a1)故z=()i(a1)综上所述,原方程的解的情况如下:当a0时,解为:z=()i;当0a1时,解为:z=(),z=()i;当a1时,解为:z=()点评:本题还可以令z=x+yi(x、y
24、R)代入原方程后,由复数相等的条件将复数方程化归为关于x,y的实系数的二元方程组来求解25考点:椭圆的应用 专题:计算题;压轴题分析:由题设条件取椭圆的参数方程,其中02,根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1,a=2从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标解答:解:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中02,由可得,即a=2b设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则=如果,即,则当sin=1时,d2有最大值,由题设得,由此得,与矛盾因此必有成立,于是当时,d2有最大值,由题设得,由此可得b=1,a=2椭圆的方程是,所求椭圆的参数方程是,由可得,椭圆上的点和到点P的距离都是
25、点评:本题考查椭圆的性质及其应用,解题时要注意参数方程的合理运用26考点:对数函数图象与性质的综合应用 专题:计算题;压轴题分析:()、f(x)当x(,1时有意义的条件是1+2x+(n1)x+nxa0,x(,1,n2,即,然后由函数的单调性求实数a的取值范围()、欲证如果a(0,1,证明2f(x)f(2x)当x0时成立,只需证明n2时,1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa,a(0,1,x0即可得证解答:解:()f(x)当x(,1时有意义的条件是1+2x+(n1)x+nxa0,x(,1,n2,即,上都是增函数,在(,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值所以,等
26、价于,故a的取值范围是a|a()证明:只需证明n2时,1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa,a(0,1,x0(a1+a2+an2)2=(a12+a22+an2)+2(a1a2+a2a3+an1an)(a12+a22+an2)+(a12+a22)+(a12+an2)+(a22+a32)+(a22+an2)+(an22+an12)+(an22+an2)+(an12+an2)=n(a12+a22+an2)于是(a1+a2+an)2n(a12+a22+an2)当a1=a2=an时成立利用上面结果知,当a=1,x0时,因12x,所以有1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa,a(0,1,当0a1,x0时,因a2a,所以有1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa,即有2f(x)f(2x)a(0,1,x0点评:本题是比较难的对数函数的综合题,在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用,并且细心运算,避免不必要的错误