克莱姆法则.pptx

返回返回1(14)定理二定理二 （克莱姆法则）（克莱姆法则）设线性方程组设线性方程组的系数行列式的系数行列式一、克莱姆法则一、克莱姆法则(15)返回返回2则线性方程组则线性方程组(14)有唯一解有唯一解:(16)其中其中(第第i行行)(第第j列列)返回返回3证明证明:先验证先验证(16)是是(14)的解的解,即验证即验证:D0?按第按第1列展开列展开按第按第2列展开列展开按第按第n列展开列展开因为因为(17)返回返回4由定理一及引理由定理一及引理再证再证(14)只有一个解只有一个解.000返回返回5将以上将以上 n 个恒等式相加个恒等式相加,就有就有返回返回6根据定理一及其推论根据定理一及其推论,上式为上式为证毕证毕.返回返回7 用克莱姆法则解线性方程用克莱姆法则解线性方程 组时组时,必须具备两个必须具备两个条件条件:注意注意1.未知数个数未知数个数=方程个数方程个数;2.系数行列式系数行列式0.返回返回8齐次线性方程组齐次线性方程组:(18)定理三定理三.若齐次线性方程组若齐次线性方程组(18)有非零解有非零解,则则(18)的的系数行列式系数行列式D=0.证明证明:反证反证.若若 D0,由克莱姆法则知由克莱姆法则知(18)只有零解只有零解.矛盾矛盾!证毕证毕.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件二、齐次线性方程组有非零解的充要条件返回返回9 注注:由定理三可知由定理三可知,方程组方程组(18)的系数行列式的系数行列式 D=0是方程组是方程组(18)有非零解的必要条件有非零解的必要条件.在第四章将会看到在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组也是齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件有非零解的充要条件.齐次线性方程组齐次线性方程组(18)有非零解的有非零解的充要条件是系数行充要条件是系数行列式列式 D=0.说明说明:(1).D0(18)有唯一解有唯一解,即零解即零解.(3).(18)有非零解有非零解(有无穷多组解有无穷多组解).综合上述综合上述,得到得到:(2).(18)有零解有零解:返回返回10例例1.解线性方程组解线性方程组解解:返回返回11又因为又因为返回返回12返回返回13 例例 用用 Cramer 法则解线性方程组法则解线性方程组 解解 因为因为返回返回14所以所以返回返回15例例2.解解:其系数行列式其系数行列式返回返回16所以有唯一解所以有唯一解.又因为又因为返回返回17故所求多项式为故所求多项式为例例3.设齐次线性方程组设齐次线性方程组返回返回18解解:因为所给齐次线性方程组因为所给齐次线性方程组有非零解有非零解,所以其系数行列式所以其系数行列式返回返回19 下述齐次方程组有非零解下述齐次方程组有非零解？解解 此齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数此齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式为行列式为 0.而而返回返回20思考题思考题计算计算n阶行列式阶行列式其中其中返回返回21计算计算返回返回22下面用数学归纳法证明上式成立下面用数学归纳法证明上式成立假设假设n=k-1等式成立，即等式成立，即则当则当n=k时，将行列式按第时，将行列式按第k列展开列展开,得得综上综上,等式成立等式成立.返回返回23