资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1. 若分式|x|-1x+1的值为零，则x的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
2. 人体内某种细胞的形状可近似看做球状，它的直径是0.00000156m，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.56×10-6m B. 1.56×10-5m C. 156×10-5m D. 1.56×106m
3. 计算：（12）-1+tan30°•sin60°=（ ）
A. -32 B. 2 C. 52 D. 72
4. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差
6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A. 13 B. 223 C. 24 D. 35
7. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）
A. 62
B. 10
C. 226
D. 229
8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A. 50∘
B. 60∘
C. 80∘
D. 90∘
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A. 32 B. 32 C. 217 D. 2217
10. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=90°，以AB中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在EF上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ）
A. 面积为π-2
B. 面积为12π-1
C. 面积为2π-4
D. 面积随扇形位置的变化而变化
11. 在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）2a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）5a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（-12，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a（x+1）（x-5）=c的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2，其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13. 关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是______．
14. 若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为正数，且使关于y，不等式组y+23-y2＞13(y-a)≤0的解集为y＜-2，则符合条件的所有整数a的和为______．
15. 某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）______米．
16. 如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为______．
17. 如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，
其中正确的结论的个数是______．
18. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是______．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19. 先化简，再求值：（a-1a2-4a+4-a+2a2-2a）÷（4a-1），其中a为不等式组2a-3>07-a>2的整数解．
20. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．
（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？
（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使|AE-BE|有最大值？如果存在，请求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
22. 为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？
23. 如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CD于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG=1，BC=10，求EF的长度；
（2）求证：CE+2BE=AB．
24. 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（-1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
25. 如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵分式的值为零，
∴|x|-1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
故选：A．
直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】
解：0.00000156m，这个数据用科学记数法可表示为1.56×10-6m．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】
解：（）-1+tan30°•sin60°
=2+
=2+
=
故选：C．
根据实数的运算，即可解答．
本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．
4.【答案】B
【解析】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：B．
结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.【答案】D
【解析】
解：A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；
B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；
C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；
D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；
故选：D．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，xn，则x¯=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数；s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]进行计算即可．
此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．
6.【答案】A
【解析】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD．
又∵AE=DE=3，
∴CE=4-3=1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE==，
∴sin∠BFD=．
故选：A．
由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．
7.【答案】C
【解析】
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6，），N（，6），
∴BN=6-，BM=6-，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6-×6×-6×-×（6-）2=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′===2，
故选：C．
由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°-50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选：C．
根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°．
本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，BO=BD=2，
∵AB=，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC===
S△BAC=×AB×AC=×BC×AE，
∴×2=AE，
∴AE=，
故选：D．
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：连接CD，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴DC=BD=2，∠BDC=90°，∠B=∠DCA=45°，
∴∠BDH=∠CDG，
在△BDH和△CDG中，
，
∴△BDH≌△CDG，
∴图中阴影部分的面积=-×2×2=2π-4，
故选：C．
连接CD，证明△BDH≌△CDG，利用扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，债务扇形面积公式是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=，
①当P在OB上时，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=EF•BP=×2x×x=x2；
②当P在OD上时，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：，
∴EF=2（2-x），
∴y=EF•BP=×2（2-x）×x=-x2+2x，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．
故选：C．
分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．
此题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
12.【答案】B
【解析】
解：（1）-=2，
∴4a+b=0，
所以此选项不正确；
（2）由图象可知：当x=-3时，y＜0，
即9a-3b+c＜0，
9a+c＜3b，
所以此选项不正确；
（3）∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵4a+b=0，
∴b=-4a，
把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，
a+4a+c=0，
c=-5a，
∴5a+7b+2c=5a-7×（-4a）+2×（-5a）=-33a＞0，
∴所以此选项正确；
（4）由对称性得：点C（，y3）与（0.5，y3）对称，
∵当x＜2时，y随x的增大而增大，
且-3＜-＜0.5，
∴y1＜y2＜y3；
所以此选项正确；
（5）∵a＜0，c＞0，
∵方程a（x+1）（x-5）=c的两根为x1和x2，
故x1＞-1或x2＜5，
所以此选项不正确；
∴正确的有2个，
故选：B．
（1）根据抛物线的对称轴为直线x=-=2，则有4a+b=0；
（2）观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；
（3）由（1）得b=-4a，由图象过点（-1，0）得：c=-5a，代入5a+7b+2c中，根据a的大小可判断结果是正数还是负数，
（4）根据当x＜2时，y随x的增大而增大，进行判断；
（5）由方程a（x+1）（x-5）=c的两根为x1和x2，由图象可知：x＞-1或x＜5可得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线是轴对称图形，明确抛物线的增减性与对称轴有关，并利用数形结合的思想综合解决问题．
13.【答案】m≥0且m≠1
【解析】
解：根据题意得m-1≠0且△=（-2）2-4（m-1）×（-1）≥0．
解得m≥0且m≠1．
故答案为m≥0且m≠1．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=（-2）2-4（m-1）×（-1）≥0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
14.【答案】10
【解析】
解：分式方程+=4的解为且x≠1，
∵关于x的分式方程=4的解为正数，
∴且≠1，
∴a＜6且a≠2．
解不等式①得：y＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜-2，
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．
故答案为：10．
根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
15.【答案】93+9
【解析】
解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=3×12=36m，
∴AD=CD=18m，BD=AB•cos30°=18m，
∴BC=CD+BD=（18+18）m，
∴BH=BC•sin30°=（9+9）m．
故答案为：9+9．
作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
16.【答案】75
【解析】
解：连接OD，作EH⊥BC，如图，
∵EF为直径，
∴∠A=90°，
∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BEH=90°，
∴∠BEH=∠C，
∵直线l与⊙相切于点D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四边形EHOD为正方形，
∴EH=OD=OE=HD=5，
∴BH=BD-HD=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH==，
∴tan∠ACB=．
故答案为．
连接OD，作EH⊥BC，如图，先利用圆周角定理得到∠A=90°，再利用等角的余角相等得到∠BEH=∠C，接着根据切线的性质得到OD⊥BC，易得四边形EHOD为正方形，则EH=OD=OE=HD=5，所以BH=7，然后根据正切的定义得到tan∠BEH=，从而得到tan∠ACB的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了正切的定义．
17.【答案】①②③④
【解析】
解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故答案为：①②③④．
由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
18.【答案】5×（32）4030
【解析】
解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD=
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠A1AB=∠ADO，
∵∠AOD=∠A1BA=90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴，
∴A1B=，
∴A1B1=A1C=A1B+BC=，
同理可得，A2B2==（）2，
同理可得，A3B3=（）3，
同理可得，A2015B2015=（）2015，
∴S第2016个正方形的面积=S正方形C2015C2015B2015A2015=[（）2015]2=5×（）4030，
故答案为5×（）4030
先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出A1B=，A2B2=（）2，找出规律A2015B2015=（）2015，即可．
此题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．
19.【答案】解：原式=[a-1(a-2)2-a+2a(a-2)]÷4-aa
=4-aa(a-2)2•a4-a
=1(a-2)2，
∵不等式组的解为32＜a＜5，其整数解是2，3，4，
a不能等于0，2，4，
∴a=3，
当a=3时，原式=1(3-2)2=1．
【解析】
先算减法，把除法变成乘法，求出结果，求出不等式组的整数解，代入求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解和分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．
∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，
∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，
∴∠BCA=90°，
∵BC=12，AB=36×4060=24，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BD=BC=12，
∴时间t=1236=13小时=20分钟，
∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．
（2）∵BD=BC，BE⊥CD，
∴DE=EC，
在RT△BEC中，∵BC=12海里，∠BCE=30°，
∴BE=6海里，EC=63≈10.2海里，
∴CD=20.4海里，
∵20海里＜20.4海里＜21.5海里，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
【解析】
（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．
（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．
本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），
∴AD=6，CD=n+2．
又∵tan∠ACO=2，
∴ADCD=6n+2=2，
∴n=1，
∴点A的坐标为（1，6）．
∵点A在反比例函数y=mx(m≠0)的图象上，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
将A（1，6），C（-2，0）代入y=kx+b，得：
-2k+b=0k+b=6，解得：b=4k=2，
∴一次函数的解析式为y=2x+4．
（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，得：y=2x+4y=6x，
解得：y1=-2x1=-3，y2=6x2=1，
∴点B的坐标为（-3，-2）．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点E，此时|AE-BE|取得最大值，如图2所示．
∵点B的坐标为（-3，-2），
∴点B′的坐标为（-3，2）．
设直线AB′的解析式为y=ax+c（a≠0），
将A（1，6），B′（-3，2）代入y=ax+c，得：
-3a+c=2a+c=6，解得：c=5a=1，
∴直线AB′的解析式为y=x+5．
当y=0时，x+5=0，
解得：x=-5，
∴在x轴上存在点E（-5，0），使|AE-BE|取最大值．
【解析】
（1）过点A作AD⊥x轴于点D，由点A，C的坐标结合tan∠ACO=2可求出n的值，进而可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出反比例函数解析式，再根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点B的坐标；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点E，利用两边之差小于第三边可得出此时|AE-BE|取得最大值，由点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当|AE-BE|取得最大值时点E的坐标．
本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出点A的坐标；（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标；（3）利用三角形三边关系，确定当|AE-BE|取得最大值时点E的位置．
22.【答案】解：（1）由题意得销售量=700-20（x-45）=-20x+1600，
P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000，
∵x≥45，a=-20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（2）由题意，得-20（x-60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵每盒售价不得高于58元，
∴x2=70（舍去），
∴-20×50+1600=600（盒）．
答：如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼600盒．
【解析】
（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x（元）之间的函数关系式，然后根据利润=1盒月饼所获得的利润×销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案；
（2）先由（1）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种月饼的每盒售价不得高于58元，且每天销售月饼的利润等于6000元，求出x的值，再根据（1）中所求得的销售量与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒月饼所获得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：（1）∵CG⊥AB，
∴∠AGC=∠CGB=90°，
∵BG=1，BC=10，
∴CG=BG2+CG2=3，
∵∠ABF=45°，
∴BG=EG=1，
∴CE=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GCD=∠BGC=90°，∠EFG=∠GBE=45°，
∴CF=CE=2，
∴EF=2CE=22；
（2）如图，延长AE交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠AHB=∠HAD，
∵AE⊥AD，
∴∠AHB=∠HAD=90°，
∴∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠GAE=∠GCB，
在△BCG与△EAG中，∠AGE=∠CGB=90°∠GAE=∠GCBGE=BG，
∴△BCG≌△EAG（AAS），
∴AG=CG，
∴AB=BG+AG=CE+EG+BG，
∵BG=EG=22BE，
∴CE+2BE=AB．
【解析】
（1）根据勾股定理得到CG==3，推出BG=EG=1，得到CE=2，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，于是得到结论；
（2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠AHB=∠HAD，推出∠GAE=∠GCB，根据全等三角形的性质得到AG=CG，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：
（1）由题意可得c=3a-b+c=04a+2b+c=3，解得a=-1b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（-1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（12，32），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得12k+m=323k+m=0，解得k=-35m=95，
∴直线l的解析式为y=-35x+95，
联立直线l和抛物线解析式可得y=-35x+95y=-x2+2x+3，解得y=0x=3或x=-25y=5125，
∴F（-25，5125），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，-t2+2t+3），M（t，-35t+95），
∴PM=-t2+2t+3-（-35t+95）=-t2+135t+65，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=12PM•FN+12PM•EH=12PM•（FN+EH）=12（-t2+135t+65）（3+25）=-1710（t-1310）2+289100×1710，
∴当t=1310时，△PEF的面积最大，其最大值为289100×1710，
∴最大值的立方根为3289100×1710=1710；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=-t2+2t+3-3，即-t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=-t2+2t+3，AQ=t，KE=3-t，PQ=-t2+2t+3-3=-t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴PKAQ=KEPQ，即-t2+2t+3t=3-t-t2+2t，即t2-t-1=0，解得t=1+52或t=1-52＜-25（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或1+52．
【解析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数示的应用，在（2）中用t表示出△PEF的面积是解题的关键，在（3）中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
25.【答案】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，BE=BEBA=BD，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴GMMC=HDDC=21，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴AGNC=GMMC，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴AFCN=ABAC，
∵AB=2AG，
∴AFCN=2AGAC，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG2=AF•AC．
【解析】
（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到==，求得GM=2MC；
②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到=，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到结论．
本题考查了相似三角形的判定
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
