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中考数学勾股定理知识点总结及解析

一、选择题
1．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（　　）．

A．AF⊥AQ B．AF=AQ C．AF=AD D．
2．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（ ）

A．3 B． C． D．9
3．如图，等边的边长为，，分别是，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ）

A． B． C． D．
4．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（　　）
A．24 B．30 C．40 D．48
7．如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，若，，那么（ ）

A．9 B．5 C．53 D．45
8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A．4 B．16 C． D．4或
9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10
C．8 D．6
10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）
A．5 B．4 C． D．4或5
二、填空题
11．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________
12．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，……Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高，则B4B5的长是________，猜想Bn-1Bn的长是________．

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．

14．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．

15．如图，在中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为______．

16．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______.

17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是___________．

18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ是等边三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

19．在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．

20．如图，在中，，，为边上一动点，作如图所示的使得，且，连接，则的最小值为__________．

三、解答题
21．如图，是边上的两点，点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B沿运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ的长；
（2）求点Q在BC上运动时，出发几秒后，是等腰三角形；
（3）点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

23．如图，为边长不变的等腰直角三角形，，，在外取一点，以为直角顶点作等腰直角，其中在内部，，，当E、P、D三点共线时，．
下列结论：
①E、P、D共线时，点到直线的距离为；
②E、P、D共线时，；
；
④作点关于的对称点，在绕点旋转的过程中，的最小值为；
⑤绕点旋转,当点落在上，当点落在上时，取上一点，使得，连接，则．
其中正确结论的序号是___．

24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为.
（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？
（2）已知为优三角形，，，，

①如图1，若，，，求的值.
②如图2，若，求优比的取值范围.
（3）已知是优三角形，且，，求的面积.
25．如图，在中，，.

(1)如图1，点在边上，，，求的面积.
(2)如图2，点在边上，过点作，，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.
26．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足＋（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．

28．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，，均为等边三角形，在轴正半轴上，点，点，点在内部，点在的外部，，，与交于点，连接，，，.

（1）求点的坐标；
（2）判断与的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出的周长.
29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图1，求∠BGD的度数；
（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．

30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；
（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

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一、选择题

1．C
解析：C
【分析】
根据BD、CE分别是AC、AB边上的高，推导出；再结合题意，可证明，由此可得,；再经得，从而证明AF⊥AQ；最后由勾股定理得，从而得到，即可得到答案．
【详解】
如图，CE和BD相较于H

∵BD、CE分别是AC、AB边上的高
∴,
∴
∴
∵
∴
又∵BQ＝AC且CF＝AB
∴
∴,，故B、D结论正确；
∵
∴
∴
∴AF⊥AQ故A结论正确；
∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．
2．C
解析：C
【分析】
做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．
【详解】
过点F做交AD于点H．

∵四边形是四边形沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF=，
∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵，AB=3，BE=9-AE
∴
∴AE=4
∴DE=5
∴
∴，,
∴
∴BF=5，EH=1
∵，HF=3，EH=1
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．
【详解】
解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，
因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
4．C
解析：C
【解析】
试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．
∴BD⊥CE．本结论正确．
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本结论错误．
综上所述，正确的个数为3个．故选C．
5．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=6，
由勾股定理得，AC=，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为×6×8=24，故选A．
7．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理与正方形的性质解答．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∴S1=S2+S3．
∵S2=7，S3=2，
∴S1=7+2=9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：=；
当5是斜边长时，第三边长为：=4．
故选D．
9．B
解析：B
【分析】
已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．
【详解】
解：由翻折变换的性质可知，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．
【详解】
当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：
；
当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．
∴斜边长为或5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．
二、填空题

11．3或
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：

在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，
∴BC=3；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，
∴BC= ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3或．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．
12．
【分析】
根据等边三角形性质得出AB1＝CB1＝，∠AB1B＝∠BB1C＝90°，由勾股定理求出BB1＝，求出△ABC的面积是；求出，根据三角形的面积公式求出B1B2＝，由勾股定理求出BB2，根据代入求出B2B3＝，B3B4＝，B4B5＝，推出Bn﹣1Bn＝．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝AC，
∵BB1是△ABC的高，
∴AB1＝CB1＝，∠AB1B＝∠BB1C＝90°，
由勾股定理得：BB1＝；
∴△ABC的面积是×1×；
∴，
∴×1×B1B2，
B1B2＝，
由勾股定理得：BB2＝，
∵，
∴，
B2B3＝，
B3B4＝，
B4B5＝，
…，
Bn﹣1Bn＝．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．
13．8
【分析】
根据S△PAD＝S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝S矩形ABCD，
∴ AD•h＝AD•AB，
∴h＝AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE＝ ,
即PA+PD的最小值为8 ．
故答案8．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
14．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
15．
【分析】
先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5；
∵DE垂直平分AC，垂足为F，
∴FA=AC=，∠AFD=∠B=90°，
∵AD∥BC，∴∠A=∠C，
∴△AFD∽△CBA，
∴=，即=，解得AD=；故答案为．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16．．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×=，
即BM+MN的最小值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
17．
【分析】
连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，
【详解】
解：（1）如图，连接CD、CF.

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，
∴BD=CD=1．BC= ,
∵由翻折可知BD=DF，
∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，
∴GC=GF，
∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，
∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,
故答案为.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．
18．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴△BPQ是等边三角形，①正确.
∴PQ=BP=4，

即△PQC是直角三角形，②正确.
∵△BPQ是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠APB=∠BQC，
③正确.

即④错误.
故答案为①②③.
19．或
【分析】
通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．
【详解】
①当点D在H点上方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，

，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
；
②当点D在H点下方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，

，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
，
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．
20．
【分析】
根据已知条件，添加辅助线可得△EAC≌△DAM（SAS），进而得出当MD⊥BC时，CE的值最小，转化成求DM的最小值，通过已知值计算即可．
【详解】
解：如图所示，在AB上取AM=AC=2，
∵，，
∴∠CAB=45°，
又∵，
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，
∴∠EAC =∠DAB，
∴在△EAC与△DAB中
AE=AD，∠EAF =∠DAB，AC =AM，
∴△EAC≌△DAM（SAS）
∴CE=MD，
∴当MD⊥BC时，CE的值最小，
∵AC=BC=2，
由勾股定理可得，
∴ ，
∵∠B=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴DM=BD，
由勾股定理可得
∴DM=BD=
∴CE=DM=
故答案为：

【点睛】
本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静．
三、解答题

21．（1）出发2秒后，线段PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ和PB的长度，再由勾股定理可以求得PQ的长度；
（2）设所求时间为t，则可由题意得到关于t的方程，解方程可以得到解答；
（3）点Q在边CA上运动时，ΔBCQ为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：PQ=
∴出发2秒后，线段PQ的长为；
(2)BQ=2t，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=
∴当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC==10.
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；

②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒

③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=，
所以CE===3.6，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．(1) ；（2）或6；（3）当或时，△BCP为等腰三角形．
【分析】
（1）设存在点P，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，此时，，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在中，根据勾股定理得到，根据题意得：，当P在AC上时，为等腰三角形，得到，即，求得，当P在AB上时，为等腰三角形，若，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作于E，求得，若，即，解得，，如图3，过C作于F，由射影定理得；，列方程，即可得到结论．
【详解】
解：在中，，，
，
（1）设存在点P，使得，
此时，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，；
（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，

此时，，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，点与重合，也符合条件，
当或6时，在的角平分线上；
（3）根据题意得：，
当P在AC上时，为等腰三角形，
，即，
，
当P在AB上时，为等腰三角形，
，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作于E，

，
，即，解得：，
，即，
解得：，
，如图3，过C作于F，

，
，
由射影定理得；，
即，
解得：，
当时，为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
23．②③⑤
【分析】
①先证得，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得，利用勾股定理求出，即可求得点到直线的距离；
②根据①的结论，利用即可求得结论；
③在中，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求得；
④当共线时，最小，利用对称的性质，的长，再求得的长，即可求得结论；
⑤先证得，得到，根据条件得到，利用互余的关系即可证得结论．
【详解】
①∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
作BH⊥AE交AE的延长线于点H，

∵，，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为，故①错误；
②由①知：，，，
∴

，故②正确；
③在中，由①知：，
∴，
，
，故③正确；
④因为是定值，所以当共线时，最小，如图，连接BC，

∵关于的对称，
∴，
∴，
∴ ，
，故④错误；
⑤∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；

综上，②③⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．
24．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a的值为；②k的取值范围为；（3）的面积为或．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根据优三角形的定义列出的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB的长及面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x的值，即可得出的面积．
【详解】
（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a，恰好是第三边a的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①

根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当时，，整理得，此方程没有实数根
当时，，解得
当时，，解得，不符题意，舍去
综上，a的值为；
②由题意得：均为正数
根据优三角形的定义，分以下三种情况：（）
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
综上，k的取值范围为；
（3）如图，过点A作，则
设

是优三角形，分以下三种情况：
当时，即，解得
则
当时，即，解得
则
当时，即，整理得，此方程没有实数根
综上，的面积为或．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
25．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于，，则根据余角的性质得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根据ASA可证△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，从而△BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】
解：（1）在△ACD中，∵，，，∴，
∵，∴BC=4，BD=3，∴；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则∠CBG+∠CBH=90°，
∵，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，
∵，，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，
∵，，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，
∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，
在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），
∴BG=BH，CG=EH，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（1）见详解；（2）①t值为：s或6s；②t值为：4.5或5或．
【分析】
（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．
由运动知，AM=10-2t，AN=t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10-2t=t，
∴；
当DN∥BC时，AD=AN，
∴6=t，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为s或6s．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
∵点E是边AC的中点，
∴DE=AC=5
当DE=DM，则2t-4=5，
∴t=4.5s；
当ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=5s；
当MD=ME=2t-4，
如图，过点E作EF垂直AB于F，

∵ED=EA，
∴DF=AF=AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，
∴FM=2t-7
在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，
∴t=．
综上所述，符合要求的t值为4.5或5或．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
27．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（，）
【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵＋（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有，解得，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，

设直线CD解析式为y＝x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，

图2
∵直线EC解析式为y＝x－2，直线CF解析式为y＝－x＋，
∵×（－）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝2，CF＝2，
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线FE解析式为y＝－5x－2，
由解得，
∴点P的坐标为（）.
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口.
28．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得出点的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，即可得出；
（3）证出，求出，由全等三角形的性质得出，证出，由等边三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】
解：（1）是等边三角形，点，点，
，，，
点的坐标为，；
（2）；理由如下：
，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
；
（3），
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，