裂项相消法求和附答案.doc

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裂项相消法
利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
（1）若是{an}等差数列，则,
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）

1.已知数列的前n项和为， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
[解析] (1) ……………①
时, ……………②
①②得:
即　　     ……………………………………3分
在①中令, 有, 即，……………………………………5分
故对

2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；
[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分
∴ =．…………………………………………6分
∴ Tn=
=
=≥，…………………………………………8分
又∵ 不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，
∴ ≥，…………………………………………10分
化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分
3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列的前n项和,求T2 012的值.
[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)
解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)
故an=n+1. (6分)
(Ⅱ)==-,(8分)
∴Tn=-+-+…+-=-=. (10分)
∴T2 012=. (12分)
4.)已知数列{an}是等差数列,-=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:≤Tn<1.
[答案] (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2分)
∵-=8n+4,
∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.
当n=1时,d(2a1+d)=12;
当n=2时,d(2a1+3d)=20.
解方程组得或(4分)
经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.
∴an=2n或an=-2n. (6分)
(2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n.
∴|an|=2n.
∴Sn=n(n+1). (8分)
∴==-.
∴Tn=1-+-+…+-=1-. (10分)
∴≤Tn<1. (12分)
5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
[答案] 查看解析
[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,
所以an=2n-1.
(Ⅱ)bn=(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1)n-1.
当n为偶数时,
Tn=-+…+-
=1-
=.
当n为奇数时,
Tn=-+…-+++=1+=.
所以Tn=

6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和
(Ⅰ) 求数列和的通项公式；
(Ⅱ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？
[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，
所以，，
，
又数列是等比数列，所以，所以，
又 公比，所以，
因为，
又，所以，所以，
所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，
所以，当时，，
所以. （6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得
，（10分）
由得，满足的最小正整数为72. （12分）
7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.
（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：.
[解析] （Ⅰ）由条件得，
由此可得.
猜测. （4分）
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，
.
所以当时，结论也成立.
由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）
（Ⅱ）因为.
当时，由（Ⅰ）知.
所以

.
综上所述，原不等式成立. (12分）
8.已知数列的前项和是，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．
[解析]  （1） 当时，，由，          ……………………1分
   当时，
   ∴是以为首项，为公比的等比数列．　　         ……………………4分
   故 　　　　    …………………6分
（2）由（1）知，
  　　      ………………8分

      ，
     故使成立的最小的正整数的值.　　     ………………12分
9. 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．
   （I）求数列{an}的通项公式；
   （II）设Tn为数列的前n项和，若Tn≤¨对恒成立，求实数的最小值．
[解析] 122.  （Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分
解得，所以………………………………6分
（Ⅱ），
………………………………9分
         对恒成立，即对恒成立
          又
         ∴的最小值为……………………………………………………………12分
10. 已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.
    （Ⅰ）求数列的通项公式；
    （II）数列满足，求证：，
[解析] （Ⅰ）成等差数列, ∴，
，
当时，,
两式相减得： .
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，.  （6分）
    (Ⅱ) ，  （8分）
，

.          （12分）
11.等差数列{an}各项均为正整数, a1=3, 前n项和为Sn, 等比数列{bn}中, b1=1, 且b2S2=64, {}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ) 求an与bn;
(Ⅱ) 证明:++…+<.
[答案] (Ⅰ) 设{an}的公差为d, {bn}的公比为q, 则d为正整数,
an=3+(n-1) d, bn=qn-1.
依题意有①
由(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2, q=8.
故an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1.
(Ⅱ) 证明:Sn=3+5+…+(2n+1) =n(n+2) ,
所以++…+=+++…+
=
=<.
12. 等比数列{an}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 设bn=log3a1+log3a2+…+log3an, 求数列的前n项和.
[答案] (Ⅰ) 设数列{an}的公比为q. 由=9a2a6得=9, 所以q2=.
因为条件可知q>0, 故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=.
故数列{an}的通项公式为an=.
(Ⅱ) bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-,
故=-=-2,
++…+=-2++…+=-.
所以数列的前n项和为-.
13.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.
(Ⅰ)求an和bn;
(Ⅱ)求++…+.
[答案] (Ⅰ)设{an}的公差为d,且d为正数,{bn}的公比为q,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依题意有b2S2=q·(6+d)=16,
b3S3=q2·(9+3d)=60,(2分)
解得d=2,q=2.(4分)
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6分)
(Ⅱ)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)
所以++…+
=+++…+
=(10分)
=
=-.(12分)
14.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1). 等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Mn,求证:≤Mn<.
[答案](1)∵T5=T3+2b5,∴b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,∴a1=1.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1).
∵n-1≥1,∴an-an-1=4(n≥2),
∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列,
∴an=4n-3. (6分)
(2)证明:∵==·,(8分)
∴Mn=++…+
=
=<,(10分)
又易知Mn单调递增,故Mn≥M1=.
综上所述,≤Mn<. (12分)

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