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ABD D rifi 质点的动能定理质点的动能定理 合外力对质点所合外力对质点所做的功做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量末态动能末态动能初态动能初态动能 功和动能都与功和动能都与参考系参考系有关；动能定理仅有关；动能定理仅适用于适用于惯性系惯性系.注意注意例例1 1 一质量为一质量为1.0kg 的小球系在长为的小球系在长为1.0m 细绳下细绳下端端,绳的上端固定在天花板上绳的上端固定在天花板上.起初把绳子放在与竖直起初把绳子放在与竖直线成线成 角处角处,然后放手使小球沿圆弧下落然后放手使小球沿圆弧下落.试求绳与试求绳与竖直线成竖直线成 角时小球的速率角时小球的速率.解解由动能定理由动能定理得得四、四、势能、势函数势能、势函数 在讨论势能概念时在讨论势能概念时,由于由于保守力做功只与物体的始末保守力做功只与物体的始末位置有关。因此可引入一个只位置有关。因此可引入一个只与相对位置有关的函与相对位置有关的函数数，A点的函数值减去点的函数值减去B点的函数值，定义为从点的函数值，定义为从A B保守力所做的功，该函数就是保守力所做的功，该函数就是势能函数势能函数。定义了势能差定义了势能差要定义势函数本身，就必须确定系统的势能零点要定义势函数本身，就必须确定系统的势能零点 势势能能：质质点点(物物体体)在在保保守守力力场场中中与与相相对对位位置置有有关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。保守力保守力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少；保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加；外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。比比较较质点在某一点的势能大小，等于在相应的保守力的质点在某一点的势能大小，等于在相应的保守力的作用下，由所在点到零势能点时保守力所做的功。作用下，由所在点到零势能点时保守力所做的功。重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点）引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）势势能能只只具具有有相相对对意意义义几种常见的势能几种常见的势能(函数函数)注意：注意：1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。其量值与零势能点的选取有关。2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。有的。4、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。能增加。五、质点系的动能定理与功能原理五、质点系的动能定理与功能原理对第对第i质点运用动能定理：质点运用动能定理：对所有质点求和可得：对所有质点求和可得：注意注意：不能先求合力，再求合力的功；不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。只能先求每个力的功，再对这些功求和。质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理质点系的动能定理外力对系统和系统非保守内力做功之和等于外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。系统机械能的增量。功能原理功能原理注意：注意：(1)(1)当我们取物体作为研究对象时，使用的是单当我们取物体作为研究对象时，使用的是单个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。括重力、弹性力的一切外力所作的功。(2)(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了当我们取系统作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。的功。例题例题2 2 一汽车的速度一汽车的速度v v0 0=36km/h,=36km/h,驶至一斜率为驶至一斜率为0.0100.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重阻力为车重G G的的0.050.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？解解 解法一：取汽车为研究解法一：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三对象。汽车上坡时，受到三个力的作用个力的作用:一是沿斜坡方一是沿斜坡方向向下的摩擦力向向下的摩擦力 ,二是二是重力重力 ,方向竖直向下，方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力三是斜坡对物体的支持力 ,如图所示。设汽车能冲上如图所示。设汽车能冲上斜坡的距离为斜坡的距离为s s，此时汽车，此时汽车的末速度为的末速度为0 0。根据动能定。根据动能定理理sGG1G2Nfr 上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因fr=N=G1,所以所以按题意，按题意，tgtg=0.010=0.010，表示斜坡与水平面的夹角，表示斜坡与水平面的夹角很小，所以很小，所以sin sin tg tg，G1G,并因并因G=mg,上上式可化成式可化成即即代入已知数字得代入已知数字得即即解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则对解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则对系统运用功能原理，有系统运用功能原理，有当外力对系统做功为零和系统非保守内力做当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的功为零时，系统的机械能守恒机械能守恒。六、机械能守恒定律六、机械能守恒定律系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变系统的机械能系统的机械能七、能量转换与守恒定律七、能量转换与守恒定律在一个孤立系统来内在一个孤立系统来内,不论发生何种变化过程不论发生何种变化过程,各种各种形式的能量之间无论怎样转换，系统的总能量将保持形式的能量之间无论怎样转换，系统的总能量将保持不变不变.这就是能量转换与守恒定律这就是能量转换与守恒定律.亥姆霍兹亥姆霍兹，德国物理学，德国物理学家和生理学家家和生理学家.于于1874年发表年发表了了论力（现称能量）守恒论力（现称能量）守恒的演讲，首先系统地以数的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒动形式之间都遵守能量守恒这条规律这条规律.是能量守恒定律是能量守恒定律的创立者之一的创立者之一 .普遍的能量转换和守恒定律是对封闭系统而言，普遍的能量转换和守恒定律是对封闭系统而言，研究各种运动形式能量的转化，并保持总能量不变，研究各种运动形式能量的转化，并保持总能量不变，它与参考系的选择无关。它与参考系的选择无关。机械能守恒定律不是对孤立系统而言的，它涉及机械能守恒定律不是对孤立系统而言的，它涉及外力，而外力作功与参考系有关，这就决定了机械能外力，而外力作功与参考系有关，这就决定了机械能守恒也与参考系的选择密切相关。守恒也与参考系的选择密切相关。注意注意:例如：例如：一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一的轻弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为质量为m的物体，放在光滑水平面上。的物体，放在光滑水平面上。F为墙壁对为墙壁对m、k系统作用系统作用的外力的外力,当物体在平衡位置附近振动时，站在地面的观察者当物体在平衡位置附近振动时，站在地面的观察者A看：看：外力外力 F的作用点位移为的作用点位移为0，不作功，不作功，m、k系统的机械能守恒；站系统的机械能守恒；站在匀速前进的汽车上的观察者在匀速前进的汽车上的观察者B看，外力看，外力F对系统作功，故对系统作功，故m、k系统的机械能不守恒。系统的机械能不守恒。例例3起重机用钢丝绳吊运一质量为起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速度的物体，以速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳因惯性进行下降，问使钢丝绳再再有多少微小的伸长？有多少微小的伸长？(设钢丝绳的劲度系数为设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计，钢丝绳的重力忽略不计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？x0hGTv0解解我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都不作功，所以系统的机械能守恒。不作功，所以系统的机械能守恒。x0hGTv0 现在研究两个位置的机械能。现在研究两个位置的机械能。在起重机突然停在起重机突然停止的那个瞬时位置，物体的动能为止的那个瞬时位置，物体的动能为设这时钢丝绳的伸长量为设这时钢丝绳的伸长量为x0，系统的弹性势能为，系统的弹性势能为如果物体因惯性继续下降的微小距离为如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且，并且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统这时的重力势能为这时的重力势能为所以，系统在这位置的总机械能为所以，系统在这位置的总机械能为 在物体下降到最低位置时，物体的动能在物体下降到最低位置时，物体的动能E Ek2k2=0=0，系统的弹性势能应为系统的弹性势能应为此时的重力势能此时的重力势能所以在最低位置时，系统的总机械能为所以在最低位置时，系统的总机械能为按机械能守恒定律，应有按机械能守恒定律，应有E E1 1E E2 2，于是，于是由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长x0量满足量满足x0=G/k=mg/k，代入上式后得，代入上式后得钢丝绳对物体的拉力钢丝绳对物体的拉力T和物体对钢丝绳的拉力和物体对钢丝绳的拉力T是一是一对作用力和反作用力。对作用力和反作用力。T和和T的大小决定于钢丝绳的伸的大小决定于钢丝绳的伸长量长量x，T=kx。现在，当物体在起重机突然刹车后因。现在，当物体在起重机突然刹车后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力由此式可见，如果由此式可见，如果v0较大，较大，Tm也较大。所以对也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超过不得超过某一限值。某一限值。“由于作用于质点系内所有质点上的一切内力的矢量和由于作用于质点系内所有质点上的一切内力的矢量和恒为零，所以内力不能改变质点系的总动能。恒为零，所以内力不能改变质点系的总动能。”这句这句话对吗？话对吗？思考思考虽然质点系内一对作用力和反作用力的矢量和为零，但它们虽然质点系内一对作用力和反作用力的矢量和为零，但它们分别作用于系内不同的质点，各质点的位移可以不同，所以一对分别作用于系内不同的质点，各质点的位移可以不同，所以一对内力做功的代数和不一定为零。内力做功的代数和不一定为零。“内力不能改变质点系的总动能内力不能改变质点系的总动能”的说法是错误的。地雷爆炸时动能增加，芭蕾舞演员旋转时收的说法是错误的。地雷爆炸时动能增加，芭蕾舞演员旋转时收拢手臂，转速加大，转动动能也增加，这些都是内力做功改变质拢手臂，转速加大，转动动能也增加，这些都是内力做功改变质点系总动能的例子。点系总动能的例子。练习练习2.以下说法以下说法错误错误的是的是(A)势能的增量大势能的增量大,相关的保守力做的正功多；相关的保守力做的正功多；(B)势能是属于物体系的势能是属于物体系的,其量值与势能零点的选取有关；其量值与势能零点的选取有关；(C)功是能量转换的量度；功是能量转换的量度；(D)物体速率的增量大物体速率的增量大,合外力做的正功多合外力做的正功多.1.以下说法以下说法正确正确的是的是(A)功是标量功是标量,能也是标量能也是标量,不涉及方向问题；不涉及方向问题；(B)某方向的合力为零某方向的合力为零,功在该方向的投影必为零；功在该方向的投影必为零；(C)某方向合外力做的功为零某方向合外力做的功为零,该方向的机械能守恒；该方向的机械能守恒；(D)物体的速度大物体的速度大,合外力做的功多合外力做的功多,物体所具有的功也多物体所具有的功也多.