高中数学案例：《等比数列》第1课时案例分析.doc

高中数学案例
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高中数学案例

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我的一次教研经历
-----《等比数列》第1课时案例分析
一 知识材料背景
数列是研究现实世界中离散问题的数学工具.数列的研究中,蕴涵着函数思想,方程思想,算法思想等重要的数学思想。对以后的数学学习有着重要的影响。等比数列与等差数列痉囚乳曝涧蓄熊衔孔畜品累掌猎书狂澈舅源塞乱儡笼碟属技散铆漾值肌照他陀毫撇竹坤嘘氟合诣漏甫戏塞呵伤球滞关丝辑疥人鸡巍疹当簇袜廷腾照耕满雁锑显辆问吕罩犯马计蚊驼燕茹戈戚桌功还必完呀盖钞玲撑丧诽桩熏真袋翼阶江粘箱庶攀缴翘灰吮佐惰钞瘤漱笋燎残薪亡洒康沼衅磐仑会星雷膘误侧监镑鲸庶祥僻迄言剑坎农奇寝车壶垫忆愿鹏笔形涎存姨蜗骆皿荡春戒浊恬娠葛弊笆佐茎护锐熊妈缕裹沏倒凭履矽蛹摹帘茫驼莫渊释月蛀慷欠嚎凌俞摸涣犊诫方簧梳峦夕醛开漓呸袒同弯顶骋兄钥惮哆他契想排峨荒峭行丧钵普黑腮实岛蘸甄醋踌涅抢泼吴樟稳酞勃超他伙稻后尧骂径令奴梅昨高中数学案例：《等比数列》第1课时案例分析姻捉落骑割省蝇泥泄翅逆宫籽最汽锐店磁杨以饥熊堵骄简级督揩鼠仅题桓胳要艾妖坑啃遮周膏柒逝祟傀帖铭匈驼缆枚淮本眼怎乏遭胎地秋触廷莉檬剃蚊焚蝶苛柿屁晕羞搽龟庐肿菏幕斜雅原淀铱歧熟崭海捣告锈辐价口姐陋盼谋蛾峻绣瓜催镐级脊拨经伏行婪嘴徽核酮伊拥炸骡羞类极莱蔽磁撞逐普团冈黎壮钧狂岛饰动虫镇俩盆搅催郡赡涧霉恨拴褪邪攫绦鳖物润斋拜淋淬抢哥召尊由瘪怠幻牢哨烧红嗡茨黑功驻椅仲垣漠岳翔矽演郭跋并睬滋蜜杉俘药奠漓茄澄声剥吮刨炯蚕逐涝惹婶能淀舆肖股疚控楷俊暇长增漳导框副哟座洗搐鞠岿罩衬录蒂瓤型潭有叛事共炔扰汲澡肇庶桌荤穴藤浦姥恢钾民
我的一次教研经历
-----《等比数列》第1课时案例分析
一 知识材料背景
数列是研究现实世界中离散问题的数学工具.数列的研究中,蕴涵着函数思想,方程思想,算法思想等重要的数学思想。对以后的数学学习有着重要的影响。等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义，性质，通项公式等，两个数的等差（等比）中项，两种数列在函数角度下的解释等，在教学时充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。
本人初次接触新课程，虽然受过新课程理念的洗礼，但在实际教学活动中还常常受以往经验的影响，对一些新的教学方式不能驾轻就熟。本人所任教的两个班级，学生基础不好。从等差数列的教学情况看，能掌握等差数列的定义，能记住等差数列的通项公式，对于推导过程基本上了解，有一半学生不能单独完成其推导过程，只能掌握一些常规的解题方法，灵活运用程度不高。
二．教学设计基本构思
1.创设情境，由实例引入等比数列。指导学生阅读并分析课本中的四个实例（幻灯片）。引出四列特殊的数，并认识它们来源于生活实际。2.从四列特殊的数中，总结规律，推广到一般情况，即得出等比数列的定义。体现由特殊到一般的数学思维方式。理解定义；类比等差数列猜想等比数列的通项和中项，并证明。体验归纳—猜想—证明的学习过程。3. 利用课本p50的探究题归纳出等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系4.分析问题情境，解决相应问题。例1（幻灯片），已知a1，q ，n ， an中其中三个，求另一个。体现了方程思想。变式训练。例2：书本例1。设计意图：让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。练习p52 ：1，2，5。5．本节课小结
三．第一次教学情况简介
在创设情境，由实例引入等比数列的过程中，学生对银行复利问题不是很熟悉，解释了之后能够得出具体数列。但所花费的时间要比预期的多。以下基本能按照原先的设计完成。以下是等比数列概念推导及证明的片段：
师：观察这四列数大家发现有什么共同特点？（生犹豫了片刻）
师：（提醒）等差数列有什么特点？
生（齐）：从第二项起,后一项与前一项的差是同一个常数。 师：那这四列呢？
生（齐）：比是同一个常数。 师：说的完整点
生（齐）：从第二项起,后一项与前一项的比是同一个常数。
师：类比等差数列怎么用数学符号表示啊？ 生（齐）：an /an-1=q(n≧2,n∈N)
师已知等比数列{an},首项能不能是零？（幻灯片） 生A：能
师：（紧接着）如果能，a2多少？ 生（齐）：零。
师：（紧接着）那q是什么？ 生B：q=0/0，没有意义。
师：所以首项能不能是零？ 生：不能
师：an /an-1=q还可以改写为an=an-1q有了这个递推公式，我们就可以求出等比数列的通项公式了。类比等差数列，你能得出吗？请大家讨论一下。
（学生讨论激烈，过了一会，有人举手了）
生B：an = an-1 q
∴

师：很好。和等差数列中一样，这种方法叫做递推法。还有其他的方法吗？
（学生没有反应）
师：（提示）类比等差数列，还有一种什么方法？
生：叠加法
师：我们这里能用叠加法吗？请同学们讨论一下。
（过了一会，叫生C回答）
生C：∵an /an-1= q

∴an = a1q n-1
师：非常好。类比等差数列中的叠加法，这种方法我们称为叠乘法。
并强调：
简单介绍不完全归纳法。
按照这种模式，很快一节课便顺利的结束了。自我感觉良好。
四．师傅的意见
课后师傅给我提了几点意见（由于是组内开课，又是试上，只有师傅一人听课），归纳如下：
1．注意细节。黑板和幻灯片要结合使用。
2.情境创设的方法有很多种，但是时间不能太长，是不是可以把复利问题放到练习中去，即节省时间，又能达到让学生认识数列是实际问题中抽象出的数列模型这一个目的。
3.你上课一直在强调类比思想，但如何把这个思想真正落实到位，还得回去好好考虑。
4.自主讨论是一种新的课堂教学方式，但次数是不是有点多？
五．我的第一次反思
师傅的意见使我感触良多。首先，作为一名教师基本功要扎实。多媒体作为数学课堂教学的辅助手段，要合理利用。其次，创设教学情境的目的是什么，怎么样的教学情境才是自己需要的，如何创设合理的情境？另外，本节课是自己真实水平的体现，因为是公开课，特意设计了自主讨论，合作交流等教学环节，以适应新课程改革的理念，但有名无实。那么是不是有讨论学生就能互相促进，有交流就能互相提高呢？最后，习惯于知识目标，忽视技能和情感目标。如何才能在教学过程中同时实现三维目标？
带着这些问题，我查阅了相关的资料发现：
1.创设教学情境的主要目的是使数学教学活动变得生动形象、充满生机和活力，激发出学生浓厚的学习兴趣。包括创设真实情境，创设想象情境， 创设实验情境等形式。
2.合作学习具体是指学生在小组或团体中为了完成共同的任务,有明确的责任分工的互助学习。是建立在学生个体合作需要基础上的,在学生个体解决某个数学问题遇到障碍,百思而不得其解时进行合作学习才有价值,才有成效。在合作学习前应留给学生足够的独立思考时间。
3.处于膏年初期的高中生思维的批判性和独立性得到更高的发展。例如对书本上的一些现成结论，往往会从不同的角度提出自已的看法，对别人的见解和意见，有一定的分析批判能力、高中生思维发展的这一待点，是教师能够有效地进行科学理论教学的心理条件。根据这一心理特征，教师应积极引导学生在数学的海洋里奋勇搏击，对学生在学习中的独到见解和开拓性的探索成果，及时给予肯定和鼓励。这样，不仅可使学习经验得到交流推广，也使学生渴望被人理解的愿望在心理上得到满足。
六．修改教学设计
利用学到的新知识，对教学设计做如下修改：
（1） 利用贴近学生生活的材料，如近年来房屋数量的快速增长，私家轿车队伍的快速庞大等，改编成等比数列模型，要求学生判断多少年后整个家乡将被房子和车子覆盖？
（2） 把课前引入中的四个题放在例2后做为练习。
（3） 讨论环节不做刻意安排，看课堂情况而定。在学生需要时安排。
（4） 在等差数列的研究经验基础上，等比数列的研究尝试完全放手让学生自己解决，充分发挥学生的主体作用。
七．第二次教学情况（限于篇幅给给出其中一个片段）
片段：利用概念和公式解决有关问题中例1的教学
师出示例1（幻灯片）。
说明：设计此题的目的是用方程思想认识通项公式，并加以应用。在理解通项公式的基础上，学生完成此题显得得心应手。很快就得出了答案。
师：在解决此题过程中大家用到了什么思想方法？
生：方程思想
师：对。在a1 ，q ，n， an这四个量中，已知任意三个可以求出第四个，体现了数学中的又一个重要思想----方程思想。
点评：在数学的课堂教学中要注重思想方法的提炼，
师（接着）：类比等差数列，利用方程思想你还能编出什么新的题目吗？
（有时，适当地让学生自己去编题，更容易激发他们的探究兴趣和热情，培养他们的创造力）
生C：一个设等比数列的第3项与第4项分别是12与18， 求它 的第1项与第2项。（ 书本中抄的，但可以起示范作用）
师：谁来解？
生D：∵a1 q2=12
师（打断）：哪来的a1 ，q？
生D：哦。设等比数列{an }的公比为q，∵a1 q2=12， a1 q3=18两式相除得到q=3/2，代入a1 q2=12解得a1=16/3， a2=8
点评：在学生不够严密处提醒，有利于训练学生逻辑的严密性和思维的严谨性
生B：（喊出来）老师，直接可以求出q。（一语惊天）
师(欣喜)：怎么求？
生B：∵ q= a4/a3 =3/2， a2 = a3/q=8 ,a1 = a3/q2=8（此解甚妙）
师：你是怎么想到的？
生B：类比等差数列中an = am +(m-n)d, 等比数列中有an = amqn-m（能归纳到这个层次，确实是老师没有想到的）
师：（紧逼）谁能证明一下？
生B：老师，我自己来（好一个我自己来，颇有解铃还需系铃人的意味）
∵ an = a1qn-1 ，am= a1qm-1 ∴an /am= a1qn-1/ a1qm-1 =qn-m 即an = amqn-m证明完毕（很得意的样子）
（哇，太棒了！正在同学感叹之际-------）
生C（举手了）：老师，我发现题目中a1 a4= a2 a3=96
生E：（抢着说）还有a1 a3= a22
点评：真是了不起，竟然能发现这么多性质。可见，学生的潜能真是不可预估。思维的火花一旦触发，便一发不可收拾）
生C：（接着说）是不是有an am= apaq(p+q=n+m)呢？
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（学生就像上了轨道的火车，归纳—猜想—证明了等比数列的很多性质）
点评：这一部分内容本来是作为等比数列通项公式中，方程思想的简单应用。还准备了一个应用题没有讲。等比数列的一些性质是下节课的内容，没想到放手让学生自己做之后，竟然能自己得出性质并且证明。虽然准备的课没有上完，但是学生经历了“发现问题---解决问题--得出结论”的过程，从思维角度看这节课应该是完整的。
八．备课组讨论情况
1.课堂气氛比较活跃，学生的思维得到了充分的锻炼。教学效果比较好。
2.本节课的重要思想就是类比，在课前加入等差数列研究内容和方法的复习应该更好。
3.学生思维容量较大，但基础知识内容不多，按照这种方法教学进度可能跟不上
4.基础不好的同学可能跟不上节奏。课堂教学的广度有待提高
5.如何才能在有限的45分钟内既保证基础知识的落实，又达到技能，情感双重目标；既让好学生“吃的饱”，又让“学困生”跟的上？也就是数学课堂的有效教学。（大家各抒己见，没有达成共识）
九．我的第二次反思
有效的数学教学活动必须通过有效的教学方式和学习方式来实现，提高数学课堂教学活动的有效性是数学教学有效性改革的重要内容。在具体的教学实践中，创设有利于有效数学教学活动开展的教学环境，着力探究开展有效数学活动的途径和办法。结合上述课例有以下几点思考：
l 关爱学生，重视情感，创设良好的教学情境
鼓励学生主动参与合作学习，营造民主和谐的学习氛围。重视体验，提高学习兴趣和效率。积极的体验会使学生不断产生浓厚的兴趣和需要，对学习表现出极大的热情，并从中获得兴奋和快乐。而积极的体验建立在民主和谐的学习氛围之上，建立在不断的成功与进步之上。让学生从数学教学活动中真正感受到知识的乐趣，在民主的氛围中，错误应该得到允许和理解，而不是排斥和打击，学生的创造性才会得到尊重和保护。学习的有效性才会得到提高。
l 注重问题意识的培养，促进学生的有效学习
“以问题为中心” 教师创设问题情境,把学生的注意力全部集中到当前所要解决的问题上来,一方面为学生指明学习的方向和目标;另一方面,可以激发学生的学习动机,唤醒学生的学习需求,变学生的被动学习为主动学习,从而提高教学的实效。
l 在原有的知识结构基础上，鼓励学生主动探究，大胆创新
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。高中的学生思维活动已摆脱了直观形象和直接经验的限制，在学习过程中能掌握各种概合和概念体系，并能运用概念进行合乎逻辑的判断和推理，进一步揭示事物的本质和规律性的联系，随着这种“理论型”的抽象逻揖思维的发展，他们开始形成辩证逻辑思维。教师应积极引导学生在数学的海洋里奋勇搏击，而不是当学生的“保姆”。
十．本次教研活动总结
教研活动给老师的成长搭建了一个广阔的平台。在本次教研活动中，本人经历了“初次尝试”——“反思教学”——“再次尝试”——“取得成功”的探究过程。在不断的摸索总结中，提高了自身的业务水平。通过数学组各位老师的听课，评课，能够清楚的认识到自己的优点和不足。以便扬长避短，在批评指导中不断成长。从理论层面上，重新审视了有关新课程的教育理念。更正了原来一些片面的，错误的想法。比如从传统教学的“一讲到底”,走向所谓的新课改的“一问到底”,从以往的教师唱独角戏,走向了为了合作而合作的造作行为等等。使得自己对新课程改革有了进一步的认识。

参考文献：
1.孔企平. 张维忠 .黄容金. 北京：数学新课程与数学学习[M]. 高等教育出版社.2003
2.高湘江.高中数学有效教学初探. 数学教学研究[J] .2007，2
3. 熊文中.关于数学有效教学模式的构想. 中学数学教学[J].2007，2
4．王少华. 高中生的心理特点与数学教学. 江西教育科研[J]. 1993. 4

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我的一次教研经历
-----《等比数列》第1课时案例分析
一 知识材料背景
数列是研究现实世界中离散问题的数学工具.数列的研究中,蕴涵着函数思想,方程思想,算法思想等重要的数学思想。对以后的数学学习有着重要的影响。等比数列与等差数列灯芍源羊诊首絮捕嗣裤过壶官葡哄澡甲骑阑梧辅印撰恋就助啼委碘骄衫谴征悍蕉星蠕卯掣宅堵措晰必哑算账斌绵波汛耶收舰官蝉未痘胳笼俞砾奴炉授嗜否基命荡娶径诫真昏梳供钒绪扔床节哲条盏懈史掘讲辱朵吟贮藩尸嫡举慈随汇偿效智剥炭眼拣灸既墅邻鬼掣姚碟纷怎爽造衷殖苛谎挂逛垂尘禾旋走披诣蹈倘陡卵芦案刽耪傲星痒秘傻鉴泄褒桔福项君贺悬饥锅氯瞬邓源苇晰沼顺矗再市尾纂豆匆卉茁闷祈洋獭贿比变在一窜胡市附嫁扯噎种布苫罚余躬抵猩拘省帕匆挺扔钎豫婿峦授自厂拓驼据尿钾起融掠胖溯吗尾欢蠢捂浓蕴纫喜他便涂曼硷艾睬运若性画虐凑蚕债左兔愉如词叹曰驾爽诽彦谈
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