S03-K-中值定理与导数应用.pptx

1 1第三章 中值定理与导数应用第三章第三章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用3-1 中值定理中值定理3-2 洛必达法则洛必达法则3-3 函数单调性的判别函数单调性的判别3-4 函数的极值与最值函数的极值与最值3-5 建模与最优化建模与最优化3-6 曲线的凹凸判别曲线的凹凸判别2 2第三章 中值定理与导数应用3-1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理三个条件三个条件：闭区间连续(曲线不断)、开区间可导(圆滑)、端点值相等；一个结论一个结论：罗尔定理的条件是充分非必要条件充分非必要条件条件条件 结论结论几何意义：两端点同高的连续圆滑曲线内至少有一点的切线呈水平状3 3第三章 中值定理与导数应用解：解：例例14 4第三章 中值定理与导数应用解：解：例例2教材类似例2止(存在性存在性)(唯一性唯一性)5 5第三章 中值定理与导数应用二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二个条件二个条件：闭区间连续(曲线不断)、开区间可导(圆滑)；一个结论一个结论：(充分非必要条件)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例6 6第三章 中值定理与导数应用推论推论由拉格朗日中值定理可得出积分学中的相关推论：7 7第三章 中值定理与导数应用例例3 38 8第三章 中值定理与导数应用三、柯西中值定理三、柯西中值定理二个条件二个条件(充分非必要条件)；一个结论一个结论。柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式柯西定理是拉格朗日中值定理的推广拉格朗日中值定理是柯西定理的特例9 9第三章 中值定理与导数应用例例4解：解：10 10第三章 中值定理与导数应用综上所述：综上所述：三个中值定理有从特殊到一般从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例；另一方面，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广；柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，同时柯西定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在实际应用中更为广泛。拉格朗日中值定理又称微分中值定理，柯西中值定理又称广义中值定理。11 11第三章 中值定理与导数应用3-2 3-2 洛必达法则洛必达法则一般分为二类情况讨论：12 12第三章 中值定理与导数应用罗罗必必塔塔法法则则13 13第三章 中值定理与导数应用注意：注意：14 14第三章 中值定理与导数应用1.0/01.0/0、/型未定式型未定式注意书写格式注意书写格式已定型不能再求导已定型不能再求导例例1 1解：解：解：解：15 15第三章 中值定理与导数应用例例3 3求导前后化简多途径解：解：16 16第三章 中值定理与导数应用例例4 4例例5 5可用等价无穷小 使用“洛”前后尽量化简。解：解：解：解：17 17第三章 中值定理与导数应用例例6 6慢 快 例例7 7解：解：解：解：18 18第三章 中值定理与导数应用例例8 8解：解：又如：又如：19 19第三章 中值定理与导数应用2 2其他型未定式其他型未定式2020第三章 中值定理与导数应用例例9 9解：解：例例1010解：解：21 21第三章 中值定理与导数应用例例1111解：解：2222第三章 中值定理与导数应用例例1212解：解：【方法1】取对数法【方法2】改指数法2323第三章 中值定理与导数应用例例1313解：解：取对数法2424第三章 中值定理与导数应用例例1414解：解：【方法方法1】取对数法取对数法【方法方法2】改指数法改指数法【方法方法3】搭架子搭架子/用重要极限、非用重要极限、非“洛洛”2525第三章 中值定理与导数应用20111031作业作业P133 1(1)、2(1)、3(2)P133 4、5(2)P133 6题 (15)除外2626第三章 中值定理与导数应用3-3 函数单调性的判别函数单调性的判别abab2727第三章 中值定理与导数应用定理定理1 函数单调性判定定理：函数单调性判定定理：讨论函数单调性的方法、步骤：讨论函数单调性的方法、步骤：1.确定函数的定义域，找出无定义的点；2.求函数的导数 f(x)，找出使 f(x)=0点(驻点)、及不可导点；3.以无定义点、驻点、不可导点为分界点将定义域或所给区间分割为若干子区间；4.在分割的子区间逐一用上述定理判断函数的单调性。2828第三章 中值定理与导数应用例例1解：解：x(-,1)1(1,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单单单例例2 见教材P112例22929第三章 中值定理与导数应用例例3证：证：补充作业：补充作业：(单调性证不等式)证二点：3030第三章 中值定理与导数应用3-4 函数的极值与最值函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值31 31第三章 中值定理与导数应用极值是局部性极值点可能是不可导点(尖点)、或导数为零的点(驻点)；但不可导点或或驻点不一定是极值点ABCDE3232第三章 中值定理与导数应用定理定理3第一充分条件、极值点第一判别法第一充分条件、极值点第一判别法求极值步骤：求极值步骤：3333第三章 中值定理与导数应用例例4P116 教材例题教材例题解：解：3434第三章 中值定理与导数应用定理定理4第二充分条件、极值点第二判别法第二充分条件、极值点第二判别法注：若二阶导数不存在、或为零、或计算太复杂时，则用第一判别法或定义判定。教材教材P117例例33535第三章 中值定理与导数应用例例5解：解：x(-,-1)-1(-1,1/5)1/5(1/5,1)1(1,+)f(x)+0+0-0+f(x)单0单单0单3636第三章 中值定理与导数应用二、函数的最值二、函数的最值3737第三章 中值定理与导数应用例例6解：解：3838第三章 中值定理与导数应用20101102作业作业P134 7单、8(1)(2)补充作业：补充作业：P134 9单3939第三章 中值定理与导数应用3-5 3-5 建模与最优化建模与最优化在经济领域、日常生活、及工农业生产和科学实验中，常遇到在一定条件下，怎样成本最低、利润最高；用料最省、效率最高、路程最短、射程最大或者性能最好等等问题。这些问题归结到数学上，即为函数的最值问题；建模建立系统的模型，把实际问题抽象为数学模型用以描述系统的因果关系或相互过程；即建立系统内变量之间的函数关系。最优化问题可概括为以下数学模型：4040第三章 中值定理与导数应用把边长为a厘米的正方形铁皮的四个角截去相等的小正方形，然 后 折 起 四 边，做 成 一 个 无 盖 的 盒 子，问应截去多少才能使无盖盒子的容积最大?最大容积为多少？例例1 1解：解：设截去的小正方形的边长为x厘米折成的盒子体积为：41 41第三章 中值定理与导数应用 设某企业每季度生产某产品x个单位时，总成本函数为例例2 2解：解：试求：平均成本最小时的产量；最小平均成本及相应的边际成本最最小小平平均均成成本本与与其其相应的相应的边际成本边际成本相等相等据题意，此极值点即为最小平均成本时的产量4242第三章 中值定理与导数应用 厂家生产成套工具，规定：订购套数不超过300套，每套售价400元；若订购套数超过300套，每超过一套少付1元。问怎样的订购数量，才能使工厂销售收入最大？例例3 3解：解：设订购套数为x则收入函数为：此时，销售收入最大(该 分 段 函数是连续的)4343第三章 中值定理与导数应用 生产某种彩电总成本函数为例例4 4解：解：最大利润原则最大利润原则取得最大利润的必要条件：边际收入等于边际成本边际收入等于边际成本(见教材P124例7)4444第三章 中值定理与导数应用加工者每天生产5件家具，每次原材料运送成本为5625元(假设该运送成本与所送原材料多少无关)，而贮存一件家具的原材料成本为10元/天。问：为使两次送料期间的制作周期内每天的平均成本最少，每次应该送多少件家具的原材料以及多长时间送一次？例例5 5解：解：设每设每x天送一次货天送一次货一个周期内制作成本=贮存成本+运送成本原题所求的结果分别为：75件、15天设每次送设每次送x件原材料件原材料4545第三章 中值定理与导数应用 某商店半年销售2000件小器皿，均匀销售，为节约库存费，分批进货；每批进货费为600元，每件器皿的库存费为每月1.6元，试列出库存费、进货费之和与批量之间的函数关系。例例6解：解：列出总费用总费用y(库存、进货费之和)与批量批量x之间的函数关系平均库存量平均库存量进货批次进货批次总费用总费用y(库存费、进货费之和)与批次批次x的函数关系(三、库存模型与总费用问题)总费用最少总费用最少?4646第三章 中值定理与导数应用3-6 曲线的凹凸判别曲线的凹凸判别一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点定定义义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在该区间内是(向上)凹的；几何意义：几何意义：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在该区间内是(向上)凸的。4747第三章 中值定理与导数应用曲线凹凸的判定法则曲线凹凸的判定法则定义定义2：曲线上凹弧与凸弧部分的分界点称为该曲线的拐点定理：定理：4848第三章 中值定理与导数应用步骤：步骤：例例1解：解：x(-,1)1(1,+)y+0-y2判定曲线的凹凸与拐点的判定曲线的凹凸与拐点的4949第三章 中值定理与导数应用二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线曲线的渐近线有三种：水平渐近线铅垂(垂直)渐近线斜渐近线有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等；有些向无穷远延伸的曲线，有着越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。-115050第三章 中值定理与导数应用水平渐近线水平渐近线 例例2解：解：铅垂渐近线铅垂渐近线51 51第三章 中值定理与导数应用20111107作业作业P134 11P135 14、15、17、19P135 21单P135 22(1)(2)(3)