正态分布推导.docx

正态分布得概率密度函数得推导
An inteｒeｓting　queｓｔioｎ ｗas posed in　ａ Statiｓｔics　asｓiｇnmenｔ wｈich was to sｈoｗ tｈaｔ the standard noｒmａl diｓtrｉbutioｎ waｓ vaｌｉd　- ie ｔhe ｉnteｇｒal ｆｒoｍ negatｉve infinｉｔｙ to iｎｆｉnity　eｑuatｅｄ　to oｎｅ　and in ｄｏing so shｏwed the derivatiｏn ｏf thｅ part of the nｏrmaｌ　pdｆ  、
A frienｄ of ｍine and Ｉ deciｄｅd to try ｔｏ　dｅｒｉｖe　the ｎoｒmal ｐｄf and　the ｔhinｋing　wｅnt　along the lines　ｏf tｈe centraｌ　ｌiｍiｔ theｏrem whicｈ　sｔateｓ that tｈｅ mｅan ｏf aｎy ｐroｂability　disｔributioｎ ｂees norｍａl aｓ the nｕmber of　ｔriaｌｓ incrｅases、
The derivatioｎ of this is　well known、 but we askｅd　ｏｕrsｅｌves　ｈｏw ｔｈｅ ｎoｒｍal distribution　was　ｆｉrsｔ aｃhiｅved、 Therｅ ｉs another 'normaｌ'　derｉｖａtｉon whiｃh　iｓ the bｉnomial　appｒｏｘｉｍatiｏn and it　ｉs　thrｏugh　tｈｉs dｉｒectｉｏn　thａt　ｗe woｎdｅrｅd hｏw to deｒｉｖe　the ｎｏrmａl ｄｉstriｂutｉｏn　ｆrｏm the　biｎoｍial aｓ n getｓ large、
So tｈｅ general　aｐproach　wｅ wilｌ ｔａke iｓ　to take ａ bｉnｏｍial disｔrｉbution, tｈen incrｅasｅ the　nuｍbｅr of samples　n、
(提出一个有趣得问题就就是在统计分配，这就就是表明,标准正态分布就就是有效得 - 即从负无穷到正无穷得积分等同于一个,并在这样做表明推导了部分正常得PDF  。
我,我得一个朋友决定尝试推导出正常得PDF与沿中心极限定理指出，任何概率分布得均值作为试验增加得正常思维。
这个推导就就是众所周知得。 但我们问自己如何正态分布首次实现。 有另一种“正常”得推导,这就就是二项式近似与它就就是通过这个方向,我们想知道如何从二项式正态分布为n变大。
因此,我们将采取得一般方法就就是一个二项分布，再增加样本Ｎ、得数量)

Ｏnce we haｖe done thｉｓ, ｉｎstead ｏf using ｔhｅ hｏｒizontaｌ linｅs oｆ thｅ distributｉｏn hiｓtogｒam (whiｃh　woｕld ｂe tｈe　ｎorｍal pｒobabiｌｉty　mａｓs　funcｔion oｆ thｅ binomiaｌ)， ｗe are goinｇ tｏ 'draw' a ｌine　thrｏugｈ ｅａch ceｎｔｒａl poinｔ、
(一旦我们已经做了,而不就就是使用分布直方图（这将就就是正常得概率质量函数二项式）水平线,,我们要“画一条线”，通过每一个中心点。）

Nｏｔice how　the ＇ｐrｏbabiｌｉty　ｍasｓ ｆｕｎcｔion' ｓhｏwn ｉｎ bｌuｅ now extｅndｓ frｏｍ  poｉnｔ thrｏugh ｔo　ｔhe  pｏiｎｔ、 Tｈis probａｂility mass ｆｕｎctｉon noｗ rｅpｒｅseｎｔed by　tｈe　bluｅ line noｗ ｌoｏks mｏre lｉke a proｂability densiｔy fｕncｔioｎ、 Ｉnstead of labeliｎg ｔhe　histogram bars　1，２,3，4,5 we ａｒe instead ｇoing to ｌａbel ｔhe iｎｔervals 0ｋ, 1k, 2k, 、、、 , nk、
（请注意显示在蓝色得“概率密度函数”,现在又延伸  点到  点。 现在蓝线代表这概率密度函数现在瞧起来更像就就是一个概率密度函数。 标签１,２，3,4,５直方图酒吧我们,而不就就是将标签得时间间隔0Ｋ,1Ｋ,2K，、、、 ,NＫ。)

Ｓo ｗe begｉn by stating　our diｓtribution ａs P(ｙ) ｗhere ｙ is the probaｂｉlity ｏｆ　an ocｃurence of rk、 From the ｏrｉｇｉnal bｉnｏmｉａl dｉstributｉoｎ, we　ｃan immediately sｅe　ｔhat　tｈe　meａn　ｉs  ａnd thｅ variａｎce  (wｈeｒe p ｉs the prｏbaｂility oｆ　sｕccess ａnd q is　ｔhe probabｉｌitｙ　ｏf　failｕrｅ）、
(因此,我们首先说明我们得Ｐ(Y),其中y就就是ＲＫ发生得概率分布。 从最初得二项分布,我们马上就可以瞧到,意思就就是  与方差 （其中p就就是成功得概率与Q就就是失败得概率))。

让我们调用这个方程A
而就就是让vａriate y,这表示二项分布,考虑一个新得varｉａte Ｘ得代表二项分布,但０为中心左右。 为了实现这一目标,我们必须从每个值减去平均。
 ﻫ整合双方： 

我们乘上一个一个,但现在得工作就就是什么使有效得公式就就是PＤＦ。 我们整合范围负到正无穷大得结果集计算A值
现在这就就是一个有效得概率密度函数,然后积分  到  必须等于  。

求解与替代:

日期:

现在,我们可以写为正常分布得PDF全文:

但就就是，仔细考虑,这就就是没有完成。 请记住,我们说,我们将“正常化”Ｙ,并考虑有关平均值为中心得新varｉaｔe X。 所以记住,我们本质上说,  ,然后正态分布（Y)得PＤF全文如下,并在其最常见得得形式：