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《13．4课题学习 最短路径问题》课时练
一、选择题（共15小题）
1．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）
A．50 B．50 C．50－50 D．50＋50
2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
A．15° B．22．5° C．30° D．45°
4．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（ ）．
A． B． 6 C． D．
5．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（ ）．
A． （，－4） B． （，0） C． （，0） D． （，0）
6．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）．
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
7．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知两点A（3，2）和B（1，－2），点P在y轴上且使AP＋BP最短，则点P的坐标是（ ）．
A． （0，） B． （0，） C． （0，－1） D． （0，）
9．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m， m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（ ）．
A． 6 B． C． D． 5
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
11．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
12．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）米．
A． 8 B． 9 C． 6 D． 7
13．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ）．
A． B． 10 C． 12 D． 13
14．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（ ）．
A． B． 4 C． D． 5
15．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米．
A． 1100 B． 1200 C． 1300 D． 1400
二、填空题（共5小题）
1．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个动点，设AP＝x，DP＝y，，则a的最小值是______．
2．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_____．
4．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．
三、解答题（共6小题）
1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）
4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
5．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．
6．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？
参考答案
一、选择题（共15小题）
1．D
2．C
3．C
4．D
5．C
6．A
7．D
8．C
9．C
10．B
11．C
12．D
13．A
14．C
15．C
二、填空题（共5小题）
1．10
2．100°
3．
4．（0，－）
5．2；2＋2
三、解答题（共6小题）
1．（1）如图所示．
画法：
①作点M关于射线OP的对称点M'，
②连接M'N交OP于点A．
③作点N关于射线OQ的对称点N'，
④连接N'M交OQ于点B．
（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．
2．如图
3．①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，
②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，
③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．
4．沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
5．（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（－1，2），B′（－3，1），C′（－4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，－2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
6．作法：（1）作M关于BC的对称点M’
（2）连接M’N交BC于P点
（3）连线MP，则△PMN周长最小 P为所求作的点．
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