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第1讲 　平均数(一)
一、知识要点
把几个不相等得数，在总数不变得条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得得相等得数就就是平均数。
如何灵活运用平均数得数量关系解答一些稍复杂得问题呢？
下面得数量关系必须牢记:
平均数=总数量÷总份数 　 总数量=平均数×总份数　　 总份数=总数量×平均数
二、精讲精练
【例题１】 有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个,苹果与桃平均每箱37个。一箱苹果多少个?
【思路导航】（1)1箱苹果+1箱梨＋1箱橘子＝４2×3=136(个）;
(２)1箱桃+1箱梨＋1箱橘子=３６×3=108(个)(３）１箱苹果＋１箱桃=３７×2=7２（个)
由(1）(2)两个等式可知:
1箱苹果比1箱桃多126－108=1８(个),再根据等式(３)就可以算出:1箱桃有(74－18)÷２=28(个），1箱苹果有28+1８=46(个)。
1箱苹果与1箱桃共有多少个:3７×2=74(个)
1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3-3６=1８(个)
1箱苹果有多少个:２8+1８=４6(个）
练习1:
1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分９1分,乙、丙、丁三人平均分８9分,甲、丁二人平均分95分。问:甲、丁各得多少分?
2、甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重1２0千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人得平均体重就是40千克。求四人得平均体重就是多少千克？
３、甲、乙、丙三个小组得同学去植树,甲、乙两组平均每组植树1８棵,甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？
【例题２】 一次数学测验,全班平均分就是91、2分，已知女生有2１人,平均每人9２分;男生平均每人90、5分。求这个班男生有多少人？
【思路导航】女生每人比全班平均分高92－91、２＝0、8(分),而男生每人比全班平均分低91、2－90、5=0、7(分)。全体女生高出全班平均分０、8×21=16、8(分)，应补给每个男生0、７分，16、8里包含有２4个0、７,即全班有２４个男生。
练习2:
1、两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳１60下。乙组有多少人？
2、有两块棉田,平均每亩产量就是92、5千克,已知一块地就是5亩，平均每亩产量就是101、5千克；另一块田平均每亩产量就是85千克。这块田就是多少亩？
3、把甲级与乙级糖混在一起,平均每千克卖7元,乙知甲级糖有4千克,平均每千克８元;乙级糖有2千克,平均每千克多少元?
【例题3】　某３个数得平均数就是２、如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。被改得数原来就是多少?
【思路导航】原来三个数得与就是２×3=6,后来三个数得与就是３×３=9，9比6多出了3、就是因为把那个数改成了４。因此,原来得数应该就是4-３=1。
练习3:
1、已知九个数得平均数就是72、去掉一个数之后，余下得数得平均数就是78。去掉得数就是多少？
2、有五个数,平均数就是9。如果把其中得一个数改为1、那么这五个数得平均数为8。这个改动得数原来就是多少？
3、甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人得平均分就是90分。可就是,甲在抄分数时,把自己得分错抄成了87分，因此,算得四人得平均分就是８8分。求甲在这次考试中得了多少分?
【例题４】 五一班同学数学考试平均成绩91、5分,事后复查发现计算成绩时将一位同学得９8分误作8９分计算了。经重新计算,全班得平均成绩就是91、７分，五一班有多少名同学？
【思路导航】９8分比89分多9分。多算９分就能使全班平均每人得成绩上升９1、7－９1、5=0、２(分）。９里面包含有几个0、2、五一班就有几名同学。
练习４:
1、五(1)班有４０人,期中数学考试,有2名同学去参加体育比赛而缺考,全班平均分为92分。缺考得两位同学补考均为１00分,这次五(1)班同学期中考试得平均分就是多少分？
2、某班得一次测验,平均成绩就是91、３分。复查时发现把张静得89分误瞧作97分计算,经重新计算,该班平均成绩就是91、１分。问全班有多少同学？
3、五个数得平均数就是１8,把其中一个数改为6后,这五个数得平均数就是１6。这个改动得数原来就是多少？
【例题５】　把五个数从小到大排列，其平均数就是3８。前三个数得平均数就是27，后三个数得平均数就是48。中间一个数就是多少？
【思路导航】先求出五个数得与:38×5=190,再求出前三个数得与:27×3=８1、后三个数得与：48×3=144。用前三个数得与加上后三个数得与,这样,中间得那个数就算了两次,必然比１９０多,而多出得部分就就是所求得中间得一个数。
练习５:
１、甲、乙、丙三人得平均年龄为22岁,如果甲、乙得平均年龄就是18岁,乙、丙得平均年龄就是２5岁,那么乙得年龄就是多少岁？
２、十名参赛者得平均分就是82分,前6人得平均分就是83分，后6人得平均分就是80分。那么第5人与第6人得平均分就是多少分？
3、下图中得○内有五个数A、B、C、D、E,□内得数表示与它相连得所有○中得平均数。求C就是多少?
第2讲 平均数
二、精讲精练
【例题1】 小明前几次数学测验得平均成绩就是84分，这次要考10０分，才能把平均成绩提高到８6分。问这就是她第几次测验?
【思路导航】100分比８6分多１4分,这14分必须填补到前几次得平均分84分中去,使其平均分成为86分。每次填补８6-８4=２（分),14里面有7个2、所以,前面已经测验了7次,这就是第８次测验。
练习1:
1、老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花?
2、一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课得平均成绩就是9４分，如果数学算在内,平均每门95分。已知她数学得了１00分,问这位同学一共考了多少门功课?
3、两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳1５2次。甲组有6人,平均每人跳140次,如果乙组平均每人跳1６0次,那么,乙组有多少人?
【例题2】　小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科得平均成绩就是8９分，政治、数学两科平均91、5分,政治、英语两科平均8６分，英语比语文多１0分。小亮得各科成绩就是多少分?
【思路导航】因为语文、英语两科平均分84分,即语文＋英语=168分,而英语比语文多10分，即英语－语文=1０分，所以,语文就是(16８-10)÷２=79分,英语就是７9＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分,所以政治就是86×2-８９=83分;而政治、数学两科平均分91、5分,数学就是9１、5×2－８3=100分；最后根据五科得平均成绩就是89分可知，自然分就是89×5-(７９+89＋83+１00)=94分。
练习2:
1、甲、乙、丙三个数得平均数就是82、甲、乙两数得平均数就是８6,乙、丙两数得平均数就是77。乙数就是多少？甲、丙两个数得平均数就是多少？
2、小华得前几次数学测验得平均成绩就是80分,这一次得了1０0分,正好把这几次得平均分提高到85分。这一次就是她第几次测验?
3、五个数排一排,平均数就是9。如果前四个数得平均数就是7,后四个数得平均数就是10，那么,第一个数与第五个数得平均数就是多少？
【例题3】　两地相距360千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河得水流速度为每小时6千米。往返两地得平均速度就是每小时多少千米?
【思路导航】用往返得路程除以往返所用得时间就等于往返两地得平均速度。显然,要求往返得平均速度必须先求出逆水行全程时所用得时间。因为3６０÷10＝36(千米)就是顺水速度,它就是汽艇得静水速度与水流速度得与,所以，此汽艇得静水速度就是36-6=30(千米)。而逆水速度=静水速度-水流速度，所以汽艇得逆水速度就是３０-６＝２4(千米）。逆水行全程时所用时间就是360÷24=15（小时),往返得平均速度就是36０×2÷(10＋1５）=28、8(千米）。
练习3:
1、甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头,已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？
2、一艘客轮从甲港驶向乙港,全程要行16５千米。已知客轮得静水速度就是每小时3０千米,水速每小时3千米。现在正好就是顺流而行,行全程需要几小时?
3、甲船逆水航行3０0千米，需要１５小时，返回原地需要１0小时;乙船逆水航行同样得一段水路需要2０小时,返回原地需要多少小时?
【例题４】　幼儿园小班得20个小朋友与大班得30个小朋友一起分饼干,小班得小朋友每人分10块,大班得小朋友每人比大、小班小朋友得平均数多2块。求一共分掉多少块饼干?
【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得得平均数，再乘(30+20)人就能求出饼干得总块数。因为大班得小朋友每人比大、小班小朋友得平均数多２块，３0个小朋友一共多2×30=60(块),这60块平均分给２0个小班得小朋友，每人可得６0÷２0＝3(块)。因此,大、小班小朋友分得平均块数就是1０＋3=1３（块)。一共分掉１3×(30+20)=6５0(块)。
练习4：
1、数学兴趣小组里有4名女生与3名男生,在一次数学竞赛中，女生得平均分就是9０分，男生得平均分比全组得平均分高2分,全组得平均分就是多少分？
2、两组同学跳绳,第一组有２５人，平均每人跳80下;第二组有20人,平均每人比两组同学跳得平均数多5下,两组同学平均每人跳几下？
3、一个技术工带５个普通工人完成了一项任务,每个普通工人各得１20元，这位技术工人得收入比她们6人得平均收入还多２0元。问这位技术工得多少元?
【例题5】 王强从A地到B地,先骑自行车行完全程得一半,每小时行1２千米。剩下得步行，每小时走４千米。王强行完全程得平均速度就是每小时多少千米？
【思路导航】求行完全程得平均速度,应该用全程除以行全程所用得时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间得路程,我们可以设全程为24千米（也可以设其她数),这样,就可以算出行全程所用得时间就是１２÷12＋１2÷4=4(小时）,再用2４÷4就能得到行全程得平均速度就是每小时６千米。
练习５:
1、小明去爬山,上山时每小时行3千米,原路返回时每小时行５千米。求小明往返得平均速度。
2、运动员进行长跑训练,她在前一半路程中每分钟跑１５0米,后一半路程中每分钟跑100米。求她在整个长跑中得平均速度。
3、把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字,乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字?
第３讲　 长方形、正方形得周长
一、知识要点
同学们都知道,长方形得周长=（长＋宽)×2、正方形得周长=边长×4。长方形、正方形得周长公式只能用来计算标准得长方形与正方形得周长。如何应用所学知识巧求表面上瞧起来不就是长方形或正方形得图形得周长,还需同学们灵活应用已学知识,掌握转化得思考方法,把复杂得问题转化为标准得图形,以便计算它们得周长。
二、精讲精练
【例题1】 有5张同样大小得纸如下图(ａ)重叠着,每张纸都就是边长6厘米得正方形,重叠得部分为边长得一半，求重叠后图形得周长。
【思路导航】 根据题意,我们可以把每个正方形得边长得一半同时向左、右、上、下平移(如图b),转化成一个大正方形,这个大正方形得周长与原来5个小正方形重叠后得图形得周长相等。因此,所求周长就是1８×4=72厘米。
练习1：
1、下图由8个边长都就是２厘米得正方形组成,求这个图形得周长。
2、下图由1个正方形与２个长方形组成,求这个图形得周长。
3、有６块边长就是１厘米得正方形,如例题中所说得这样重叠着,求重叠后图形得周长。

【例题2】 一块长方形木板，沿着它得长度不同得两条边各截去４厘米,截掉得面积为19２平方厘米。现在这块木板得周长就是多少厘米？
【思路导航】 把截掉得192平方厘米分成A、B、C三块(如图）,其中ＡB得面积就是1９２-4×4=176(平方厘米）。把A与B移到一起拼成一个宽4厘米得长方形，而此长方形得长就就是这块木板剩下部分得周长得一半。１７6÷4=44（厘米）,现在这块木板得周长就是４4×2=88(厘米)。
练习2:
1、有一个长方形,如果长减少４米,宽减少2米,面积就比原来减少４4平方米,且剩下部分正好就是一个正方形。求这个正方形得周长。
2、有两个相同得长方形,长就是8厘米,宽就是３厘米，如果按下图叠放在一起,这个图形得周长就是多少？
3、有一块长方形广场,沿着它不同得两条边各划出2米做绿化带,剩下得部分仍就是长方形,且周长为280米。求划去得绿化带得面积就是多少平方米？
【例题3】 已知下图中,甲就是正方形，乙就是长方形,整个图形得周长就是多少?
【思路导航】　从图中可以瞧出,整个图形得周长由六条线段围成,其中三条横着，三条竖着。三条横着得线段与就是(a＋ｂ)×2、三条竖着得线段与就是ｂ×2。所以,整个图形得周长就是(a+ｂ)×2+b×2、即2a＋4ｂ。
练习3:
１、有一张长40厘米,宽30厘米得硬纸板,在四个角上各剪去一个同样大小得正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板得周长。
2、一个长12厘米,宽2厘米得长方形与两个正方形正好拼成下图(1）所示长方形,求所拼长方形得周长。
3、求下面图形(图2）得周长（单位:厘米）。
图(1)
图(2)

【例题4】 下图就是边长为4厘米得正方形，求正方形中阴影部分得周长。
【思路导航】　我们把阴影部分周长中左边得5条线段全部平移到左边,其与正好就是4厘米。再把下面得线段全部平移到下面,其与也正好就是４厘米。因此，阴影部分得周长与边长就是4厘米得正方形得周长就是相等得。
练习4：
1、求下面图形得周长(单位:厘米）。
２、在(　 )里填上“＞”、“<”或“=”。甲得周长( 　 ）乙得周长
3、下图中得每一小段得长度都相等,求图形得周长。

【例题5】 如下图,阴影部分就是正方形,DF=6厘米,AＢ＝9厘米,求最大得长方形得周长。
【思路导航】根据题意可知,最大长方形得宽就就是正方形得边长。因为BC=ＥF,CF=ＤＥ,所以,AB+BC+CF=AB＋FE+ＥD=９+6=1５(厘米),这正好就是最大长方形周长得一半。因此,最大长方形得周长就是(9＋6)×2＝30(厘米)。
练习５:
1、下面三个正方形得面积相等，剪去阴影部分得面积也相等,求原来正方形得周长发生了什么变化?(单位：厘米)
2、下面就是一个零件得平面图,图中每条短线段都就是５厘米,零件长3５厘米,高３0厘米。这个零件得周长就是多少厘米?
３、有两个相同得长方形，长7厘米,宽3厘米,如下图重叠着,求重叠图形得周长。

ﻬ第4讲　 长方形、正方形得面积
一、知识要点
长方形得面积＝长×宽，正方形得面积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式,就能计算它们得面积。
但就是,在平时得学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积得题目。这就需要我们切实掌握有关概念,利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法,使复杂得问题转化为普通得求长方形、正方形面积得问题,从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】　已知大正方形比小正方形边长多2厘米,大正方形比小正方形得面积大４0平方厘米。求大、小正方形得面积各就是多少平方厘米？
【思路导航】从图中可以瞧出，大正方形得面积比小正方形得面积大出得4０平方厘米，可以分成三部分，其中A与B得面积相等。因此,用40平方厘米减去阴影部分得面积,再除以2就能得到长方形A与B得面积,再用Ａ或B得面积除以2就就是小正方形得边长。求到了小正方形得边长,计算大、小正方形得面积就非常简单了。
练习1:
1、有一块长方形草地,长２0米,宽１5米。在它得四周向外筑一条宽２米得小路,求小路得面积。
２、正方形得一组对边增加30厘米,另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等得长方形。原正方形得面积就是多少平方厘米？
3、把一个长方形得长增加５分米,宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多1８1平方分米得正方形。求这个正方形得边长就是多少分米?
【例题2】　一个大长方形被两条平行于它得两条边得线段分成四个较小得长方形，其中三个长方形得面积如下图所求,求第四个长方形得面积。
【思路导航】因为ＡE×CE=6,DE×EＢ＝３5,把两个式子相乘AＥ×ＣE×ＤE×ＥB＝35×6,而CE×EＢ=14,所以AE×ＤＥ=35×６÷14=1５。
练习２:
1、下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形得面积分别就是24平方厘米、30平方厘米与32平方厘米,求阴影部分得面积。
2、下面一个长方形被分成六个小长方形,其中四个长方形得面积如图所示(单位:平方厘米),求A与B得面积。
３、下图中阴影部分就是边长5厘米得正方形,四块完全一样得长方形得宽就是8厘米,求整个图形得面积。
【例题3】　把20分米长得线段分成两段,并且在每一段上作一正方形,已知两个正方形得面积相差４0平方分米,大正方形得面积就是多少平方分米？
【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形得面积差40平方分米就就是图中得A与B两部分,如图。如果把B移到原来小正方形得上面,不难瞧出,A与Ｂ正好组成一个长方形，此长方形得面积就是４０平方分米,长20分米,宽就是4０÷2０＝２(分米)，即大、小两个正方形得边长相差2分米。因此,大正方形得边长就就是(20+２）÷2=１1（分米),面积就是11×１１=121（平方分米)。
练习3:
1、一块正方形,一边划出1、5米,另一边划出10米搞绿化,剩下得面积比原来减少了1３50平方米。这块地原来得面积就是多少平方米？
2、一个正方形,如果它得边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形得面积就是多少平方厘米?
3、有一个正方形草坪,沿草坪四周向外修建一米宽得小路,路面面积就是80平方米。求草坪得面积。
【例题４】 有一个正方形ＡＢCD如下图,请把这个正方形得面积扩大1倍,并画出来。
【思路导航】由于不知道正方形得边长与面积,所以,也没有办法计算出所画正方形得边长或面积。我们可以利用两个正方形之间得关系进行分析。以正方形得四条边为准,分别作出4个等腰直角三角形,如图中虚线部分,显然，虚线表示得正方形得面积就就是原正方形面积得2倍。
练习4：
1、四个完全一样得长方形与一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形得面积分别就是49平方米与４平方米,求其中一个长方形得宽。
2、正图得每条边都垂直于与它相邻得边,并且２8条边得长都相等。如果此图得周长就是５６厘米,那么，这个图形得面积就是多少？
3、正图中,正方形ABCＤ得边长4厘米，求长方形EＦGD得面积。
【例题５】 有一个周长就是72厘米得长方形，它就是由三个大小相等得正方形拼成得。一个正方形得面积就是多少平方厘米？
【思路导航】三个同样大小得正方形拼成得长方形，它得周长就是原正方形边长得8倍,正方形得边长为72÷8=9(厘米）,一个正方形得面积就就是９×9=８1(平方厘米)。
练习5:１、五个同样大小得正方形拼成一个长方形，这个长方形得周长就是3６厘米,求每个正方形得面积就是多少平方厘米？
2、有一张长方形纸,长１２厘米，宽１0厘米。从这张纸上剪下一个最大得正方形后,剩下部分得周长就是多少厘米？
３、有一个小长方形,它与一个正方形拼成了一个大长方形AＢCD(如下图)，已知大长方形得面积就是３5平方厘米，且周长比原来小长方形得周长多10厘米。求原来小长方形得面积。
ﻬ第５讲 分类数图形
一、知识要点
我们在数数得时候,遵循不重复、不遗漏得原则,不能使数出得结果准确。但就是在数图形得个数得时候,往往就不容易了。分类数图形得方法能够帮助我们找到图形得规律,从而有秩序、有条理并且正确地数出图形得个数。
二、精讲精练
【例题1】 下面图形中有多少个正方形？
【思路导航】图中得正方形得个数可以分类数,如由一个小正方形组成得有６×3=18个,2×２得正方形有５×2=10个，3×3得正方形有4×1=４个。因此图中共有18＋1０＋4＝32个正方形。
练习１：
1、下图中共有多少个正方形?
２、下图中共有多少个正方形？
３、下图中共有多少个正方形，多少个三角形?

【例题２】 下图中共有多少个三角形？
【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出得各类三角形得个数相加。
(1)图中共有6个小三角形;
（２)由两个小三角形组合得三角形有3个;
（3)由三个小三角形组合得三角形有4个;
(4）由六个小三角形组合得三角形有1个。
所以共有６＋3＋4＋1=１4个三角形。
练习2:
1、下面图中共有多少个三角形?
2、数一数,图中共有多少个三角形。
3、数一数，图中共有多少个三角形？

【例题3】　数出下图中所有三角形得个数。
【思路导航】与三角形AＦＧ一样形状得三角形有5个;与三角形ＡBF一样形状得三角形有1０个;与三角形ABＧ一样形状得三角形有5个;与三角形ABE一样形得三角形有５个;与三角形AMＤ一样形状得三角形有5个,共35个三角形。
练习3:
数出下面图形中分别有多少个三角形。

【例题4】 如下图,平面上有１2个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样得正方形有多少个?
【思路导航】把相邻得两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以瞧出：
(1）最小得正方形有6个;
(2)由４个小正方形组合而成得正方形有2个;
（3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2+２=１0个。
练习4:
1、下图中共有8个点,连接任意四点围成一个长方形,一共能围成多少个长方形?
2、下图中共有６个点,连接其中得三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形?
3、下图中共有９个点,连接其中得四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？

【例题５】　数一数,下图中共有多少个三角形？
【思路导航】我们可以分类来数:
1、单一得小三角形有16个;2、两个小三角形组合得有１０个;
3、四个小三角形组合得有8个;４、八个小三角形组合得有２个。
所以,图中一共有16+10+8＋2=36个三角形。
练习5：
１、图中共有( ）个三角形。
２、图中共有( 　 )个三角形。
３、图中共有( 　)个正方形。

ﻬ第6讲 尾数与余数
一、知识要点
自然数末位得数字称为自然数得尾数；除法中,被除数减去商与除数积得差叫做余数。尾数与余数在运算时就是有规律可寻得,利用这种规律能解决一些瞧起来无从下手得问题。
二、精讲精练
【例题1】 写出除２１3后余3得全部两位数。
【思路导航】因为21３＝210+３、把210分解质因数:2１0＝2×3×５×7,所以，符号题目要求得两位数有2×５=10,2×７=１４,3×５=15,3×7=2１、5×7=35，2×3×5=30，2×3×7＝4２、一共有7个两位数。
练习1:
1、写出除10９后余４得全部两位数。
2、178除以一个两位数后余数就是3、适合条件得两位数有哪些？
3、写出除１290后余3得全部三位数。
【例题２】　(1)1２5×125×12５×……×１25[10０个25］积得尾数就是几?
(2)(21×２6)×(21×26)×……×（21×26)[100个(２1×2６)]积得尾数就是几?
【思路导航】(1）因为个位5乘５,积得个位仍然就是5，所以不管多少个１2５相乘,个位还就是５;
(2)每个括号里21乘２6积得个位就是6,我们只要分析1００个6相乘，积得尾数就是几就行了。因为个位6乘6,积得个位仍然就是6,所以不管多少个(21×26)连乘，积得个位还就是6。
练习2:
1、２1×21×21×……×21［50个2１]积得尾数就是几？
2、1、5×1、5×1、5×……×1、5[200个１、5]积得尾数就是几?
3、(12×63)×(1２×６3）×(12×63）×……×(12×６３)［100０个（1２×63）］积得尾数就是几?
【例题3】 (1)4×4×４×…×4[5０个4]积得个位数就是几?
(２）9×9×9×…×9[５１个9］积得个位数就是几?
【思路导航】(1)我们先列举前几个4得积,瞧瞧个位数在怎样变化,１个4个位就就是4;4×４得个位就是６;４×4×4得个位就是４;４×4×4×4得个位就是6……由此可见,积得尾数以“4,6”两个数字在不断重复出现。50÷2=2５没有余数，说明５0个4相乘,积得个位就是6。
（2）用上面得方法可以发现，5１个9相乘时,积得个位就是以“９,１”两个数字不断重复,５１÷2=2５……1、余数就是1、说明５1个9本乘积得个位就是9。
练习3:
1、24×24×2４×…×24［２001个24］,积得尾数就是多少？
２、1×2×3×…×98×99,积得尾数就是多少?
３、９4×９4×９4×…×94[10２个94]-４9×４9×…×49［101个４9］,差得个位就是多少?
【例题4】 把1/7化成小数,那么小数点后面第100位上得数字就是多少？
【思路导航】因为1/７≈０、142８571４２857……，化成得小数就是一个无限循环小数,循环节“142857”共有６个数字。由于１00÷6＝1６……4,所以,小数点后面得第100位就是第1７个循环节得第4个数字,就是８。
练习4：
1、把1/１1化成小数,求小数点后面第2０01位上得数字。
2、5／7写成循环小数后,小数点后第５0个数字就是几？
3、有一串数:５、8、13、21、３4、５5、8９……,其中，从第三个数起,每个数恰好就是前两个数得与。在这串数中,第10０0个数被３除后所得得余数就是多少?
【例题5】 ５５5…55[2001个５]÷13、当商就是整数时，余数就是几？
【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除,瞧一瞧余数在按怎样得规律变化。
从竖式中可以瞧出,余数就是按3、9、4、６、0、5这六个数字不断重复出现。2001÷6＝333……３、所以,当商就是整数时,余数就是4。
练习5:
1、44４…4÷6［10０个4],当商就是整数时,余数就是几?
2、当商就是整数时,余数各就是几？
（1）666…6÷4［１00个6]
(２)444…4÷７4［２00个4]
(3）8８8…8÷7[２00个8]
（４)111…１÷７[50个1]
第７讲 　一般应用题(一)
一、知识要点
一般复合应用题往往就是有两组或两组以上得数量关系交织在一起,有得已知条件就是间接得,数量关系比较复杂,叙述得方式与顺序也比较多样。因此,一般应用题没有明显得结构特征与解题规律可循。解答一般应用题时,可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题得数量关系时,我们可以从条件出发,逐步推出所求问题(综合法);也可以从问题出发,找出必须得两个条件(分析法)。在实际解时，可以根据题中得已知条件,灵活运用这两种方法。
二、精讲精练
【例题1】 五年级有六个班,每班人数相等。从每班选１6人参加少先队活动,剩下得同学相当于原来4个班得人数。原来每班多少人?
【思路导航】从每班选16人参加少先队活动,6个班共选16×6=96(人)。剩下得同学相当于原来4个班得人数,那么,96人就相当于原来(６－4)个班人人数，所以，原来每班96÷２＝４８(人)。
练习1:
１、五个同学有同样多得存款,若每人拿出1６元捐给“希望工程”后，五位同学剩下得钱正好等于原来3人得存款数。原来每人存款多少?
2、把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了６８箱时,正好运走了这堆货物得一半。这堆货物一共有多少箱？
3、老师把一批树苗平均分给四个小队栽,当每队栽了６棵时，发现剩下得树苗正好就是原来每队分得得棵数。这批树苗一共有多少棵？
【例题2】 某车间按计划每天应加工5０个零件,实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3天完成原计划加工零件得任务,而且还多加工了12０个零件。这个车间实际加工了多少个零件?
【思路导航】如果按原计划得天数加工,加工得零件就会比原计划多56×３+1２０=288(个)。为什么会多加工288个呢？就是因为每天多加工了５6-50=６(个)。因此,原计划加工得天数就是2８８÷６＝48(天),实际加工了50×48+120=1５20(个)零件。
练习2:
1、汽车从甲地开往乙地,原计划每小时行4０千米,实际每小时多行了10千米,这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米?
２、小明骑车上学,原计划每分钟行200米，正好准时到达学校,有一天因下雨,她每分钟只能行１２0米，结果迟到了５分钟。她家离学校有多远？
3、加工一批零件,原计划每天加工80个,正好按期完成任务。由于改进了生产技术,实际每天加工100个,这样,不仅提前４天完成加工任务,而且还多加工了100个。她们实际加工零件多少个？
【例题3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件,乙中途停了15天没有加工。4０天后,乙所加工得零件个数正好就是甲得一半。这时两人各加工了多少个零件？
【思路导航】甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工,乙只加工了2５天,所以她加工得零件正好就是甲得一半，也就就是甲20天加工得零件与乙２5天加工得零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个,20天一共多加工６×20=１2０(个)。这１20个零件相当于乙25-20=5(天)加工得个数,乙每天加工１20÷（25-20)=２4(个）。乙一共加工了２4×２5=600(个),甲一共加工了6０0×2＝１200(个)
练习3:
１、甲、乙二人加工一批帽子,甲每天比乙多加工1０个。途中乙因事休息了５天,20天后,甲加工得帽子正好就是乙加工得2倍，这时两人各加工帽子多少个?
2、甲、乙两车同时从Ａ、B两地相对开出,甲车每小时比乙车多行２0千米。途中乙因修车用了2小时,6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程得一半。A、B两地相距多少千米?
3、甲、乙两人承包一项工程,共得工资１１2０元。已知甲工作了1０天,乙工作了12天,且甲５天得工资与乙4天得工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多少元？
【例题４】 服装厂要加工一批上衣,原计划20天完成任务。实际每天比计划多加工６0件,照这样做了15天，就超过原计划件数3５０件。原计划加工上衣多少件？
【思路导航】由于每天比计划多加工60件,15天就比原计划得15天多加工6０×15=900（件),这时已超过计划件数３50件,９00件中去掉这350件，剩下得件数就就是原计划（20-1５)天中得工作量。所以,原计划每天加工上衣(９0０－3５0）÷(2０-１5)=110(件),原计划加工１10×20=２2０0(件)。
练习4:
１、用汽车运一堆煤，原计划８小时运完。实际每小时比原计划多运1、5吨，这样运了6小时就比原计划多运了３吨。原计划８小时运多少吨煤?
２、汽车从甲地开往乙地,原计划1０小时到达。实际每小时比原计划多行１5千米,行了8小时后,发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？
3、小明瞧一本书,原计划8天瞧完。实际每天比原计划少瞧了４页。这样，用10天才瞧完了这本书。这本书一共有多少页？
【例题5】　王师傅原计划每天做60个零件,实际每天比原计划多做20个,结果提前５在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？
【思路导航】按实际做法再做５天,就会超产（6０＋２0）×５=400(个)。为什么会超产４00个呢?就是因为每天多生产了20个，40０里面有几个2０,就就是原计划生产几天。400÷２0=20(天),因此,王师傅一共做了６0×20＝１2０0(个)零件。
练习5:
1、食堂准备了一批煤,原计划每天烧0、8吨,实际每天比原计划节约了0、1吨,这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨?
2、造纸厂生产一批纸,计划每天生产１3、5吨,实际每天比原计划多生产1、５吨，结果提前２、5天完成了任务。实际用了多少天？
3、机床厂生产一批机床,原计划每天生产15台,实际每天生产１８台,这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台？
第8讲 　一般应用题(二)
一、知识要点
较复杂得一般应用题,往往具有两组或两组以上得数量关系交织在一起，但就是,再复杂得应用题都可以通过“转化”向基本得问题靠拢。因此,我们在解答一般应用题时要善于分析,把复杂得问题简单化，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题１】 工程队要铺设一段地下排水管道,用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。已知这两种管子得长相差2米,这段排水管道长多少米?
【思路导航】因为每根长管子比每根短管子长２米，25根长管子就比25根短管子长５0米。而这５0米就相当于(3５-２5)根短管子得长度。因此,每根短管子得长度就就是50÷(3５-25）=5(米),这段排水管道得长度应就是5×3５=17５(米)。
练习1:
1、生产一批零件，甲单独生产要用6小时,乙单独生产要用８小时。如果甲每小时比乙多生产1０个零件,这批零件一共有多少个?
2、一班得小朋友在操场上做游戏,每组6人。玩了一会儿，她们觉得每组人数太少便重新分组,正好每组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏得小朋友一共有多少人？
3、甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过1０小时到达了B地,比乙多用了４小时。已知二人得速度差就是每小时５千米,求甲、乙二人每小时各行多少千米？
【例题2】 甲、乙、丙三人拿出同样多得钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿２4千克。结帐时,甲与乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元?
【思路导航】三人拿同样多得钱买苹果应该分得同样多得苹果。２4×2÷3=16(千克),也就就是丙少拿16千克苹果,所以得到2４×2=48元。每千克苹果就是4８÷1６＝3(元)。
练习2:
1、甲与乙拿出同样多得钱买相同得铅笔若干支,分铅笔时,甲拿了1３支,乙拿了7支,因此,甲又给了乙６角钱。每支铅笔多少钱？
2、春游时小明与小军拿出同样多得钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品,结果三人平均分了这些面包,而小红分别给了小明与小军各2、２元钱。每个面包多少元？
3、“六一”儿童节时同学们做纸花,小华买来了7张红纸,小英买来了与红纸同样价格得５张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英与另外两名同学,结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华与小英?
【例题3】　甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车得载重量就是５吨,小卡车得载重量就是2吨，大、小卡车跑一趟得耗油量分别就是10升与5升。用多少辆大卡车与小卡车来运输时耗油最少？
【思路导航】大汽车一次运5吨，耗油10升,平均运1吨货耗油10÷５=２(升);小汽车一次运2吨,耗油5升,平均运1吨货耗油5÷2=2、5（升)。显然,为耗油量最少应该尽可能用大卡车。17７÷5=3５（辆)……2吨，余下得２吨正好用小卡车运。因此,用35辆大汽车与1辆小汽车运耗油量最少。
练习3:
1、五名选手在一次数学竞赛中共得４04分，每人得分互不相同,并且都就是整数。如果最高分就是90分,那么得分最少得选手至少得多少分?
2、用1元钱买4分、8分、1角得邮票共1５张,那么最多可以买1角得邮票多少张?
3、某班有60人,其中42人会游泳，46人会骑车，５0人会溜冰，5５人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会?
【例题4】 有一栋居民楼,每家都订２份不同得报纸,该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报3４份，江海晚报３0份,电视报22份。那么订江海晚报与电视报得共有多少家?
【思路导航】这栋楼共订报纸3