2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析附解析.doc

2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析附解析

一、三角函数与解三角形多选题
1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．当A=2C时，的周长为
D．当A=2C时，若O为的内心，则的面积为
【答案】BCD
【分析】
对于A，利用勾股定理的逆定理判断；
对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；
对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案
对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积
【详解】
对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；
对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，
因为，所以，
化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以面积的最大值为，所以B正确；
对于C，由A=2C，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，
所以的周长为，所以C正确；
对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，，
所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以D正确，
故选：BCD
【点睛】
此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.

2．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（ ）
A． B．若，则
C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为1346个
【答案】AC
【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．
【详解】
解：由题意得，在的区间中点处取得最小值，
即，所以A正确；
因为，
且在上有最小值，无最大值，
所以不妨令，
，
两式相减得，，
所以，即B错误，C正确；
因为，
所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，
当，即时，
在区间上的零点个数至少为个，即D错误.
故选:AC.
【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．

3．已知函数，，则（ ）
A．在上单调递减 B．是周期为的函数
C．有对称轴 D．函数在上有3个零点
【答案】BD
【分析】
先判断出是周期为的函数，再在给定的范围上研究的单调性和零点，从而可判断BCD的正误，再利用反证法可判断C不正确.
【详解】
因为，
故是周期为的函数，故B正确.
当时，，
因为，而在为增函数，
故在为增函数，故A错误.
由可得或或，故D正确.
若的图象有对称轴，因为的周期为，故可设，
则对任意的恒成立，
所以即①，
也有即②，
也有即③，
由②③可得 ，
故，由①②可得，故或.
若，则，
而，
若，则
这与对任意的恒成立矛盾，
故D不成立.
故选：BD.
【点睛】
方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.

4．在中，a，b，c分别为，，的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A：利用正弦定理判断，在三角形中只能A=B,即可判断；
对于B：∵由正弦定理得 ，可以判断∴为等腰三角形或直角三角形；
对于C：利用三角函数化简得
，利用判断必有一个小于0，即可判断；
对于D：利用正弦定理判断得求出角.
【详解】
对于A：∵由正弦定理得：，而，∴，
∵A+B+C=π，∴只能A=B,即为等腰三角形，故A正确；
对于B：∵由正弦定理得：，
∴若可化为,即，
∴或
∴为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：∵A+B+C=π，
∴，
∴

.
∵而
∴必有一个小于0，
∴为钝角三角形.
故C正确；
对于D：∵，
∴由正弦定理得：,
即
∴
∵∴.
故D正确.
故选：ACD
【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．

5．已知函数的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．

0

2
5

A．函数解析式为
B．函数图象的一条对称轴为
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数
【答案】ABD
【分析】
首先根据表格，利用最值求和，再根据周期求，以及根据最小值点求，求得函数的解析式，再分别代入和，判断BC选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.
【详解】
由表格可知，， 函数的最大值是5，所以，即，
当时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是，所以，
当时，，解得：，，
，所以函数，故A正确；
B.当时，，能使函数取得最小值，所以是函数的一条对称轴，故B正确；
C.当时，，此时，所以是函数的一个对称中心，故C不正确；
D.函数向左平移个单位后，再向下平移2个单位后，得，函数是奇函数，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间．

6．已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）

A．函数最靠近原点的零点为
B．函数的图像在轴上的截距为
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
【答案】ABC
【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.
【详解】
根据函数的部分图像知，，
设的最小正周期为，则，∴，．
∵，且，∴，
故．
令，得，，
即，，因此函数最靠近原点的零点为，故A正确；
由，因此函数的图像在轴上的截距为，故B正确；
由，因此函数是偶函数，故C正确；
令，，得，，此时函数单调递增，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．
故选：ABC．
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.

7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的周期为
B．函数在单调递减
C．函数的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】ACD
【分析】
先根据图像求出的解析式，再分别验证A、B、C、D是否正确.
对于A：利用周期公式求周期；
对于B：利用复合函数“同增异减”求单调区间；
对于C：计算，看是否经过顶点；
对于D：利用“左加右减”判断.
【详解】
由图像可知：A=2，周期；
由解得：
故函数
对于A：，故A正确；
对于B：当 时，所以在上不单调.故B错误；
对于C：当 时，即直线是的一条对称轴.故C正确；
对于D：向右平移个单位得到，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.

8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．在区间上单调递减
C．在上有且仅有个最小值点
D．的值域为
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法可判断A选项的正误；化简函数在区间上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；由可得的周期为，再在上讨论函数的单调性、最值，可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为，，所以，
所以的图象不关于点中心对称，故A错误；
对于B选项，当时，，
，所以，函数在区间上单调递减，B选项正确；
对于C选项，，所以为函数的周期.
当时，，，
所以在区间上单调递增，，；
由B选项可知，函数在区间上单调递减，
当时，，.
所以，函数在上有且只有个最小值点，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，函数的值域为，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

9．设函数，（其中，，），在上既无最大值，也无最小值，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若对任意，则
B．的图象关于点中心对称
C．函数的单调减区间为
D．函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是
【答案】ABD
【分析】
根据条件先求函数的解析式，
对于A:判断出为最小值，为最大值，即可；
对于B:根据函数的对称性进行判断；
对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；
对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.
【详解】
因为函数在上既无最大值，也无最小值，
所以是函数的一个单调区间，区间长度为，
即函数的周期，即，则
因为，所以为函数的一条对称轴；
则
由①②解得：，即，函数的周期.
对于A: 若对任意恒成立，则为最小值，为最大值，所以,则必为的整数倍，故A错误，可选A;
对于B:时，，故不是的对称中心，B错误，可选B;
对于C:当时，，此时单调递减，C正确，不选C;
对于D: 函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是,故D错误，可选D
故选:ABD
【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题.

10．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象的对称轴方程为
B．的图象的对称中心坐标为
C．的单调递增区间为
D．的单调递减区间为
【答案】AC
【分析】
首先根据图象平移求函数的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.
【详解】
的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向下平移1个单位长度后得到，
对于A，令，解得，函数的对称轴是，故A正确；
对于B，令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；
对于C，令，解得：，所以函数的单调递增区间是，由于单点不具有单调性，所以的单调递增区间为也正确，故C正确；
对于D，令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.
故选：AC
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.