资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．﹣2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（x2）3＝x5 D．5x2•x3＝5x5
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（ ）
A． B．6 C．8 D．﹣4
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2+2ab＝ ．
12．不等式的解集是 ．
13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为 度．
14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝ ．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°
（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝
18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．
（1）求证：△BOF≌△COE．
（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．
19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）
20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）
（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．
22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．
（1）求抛物线的表达式；
（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．
②AE最小值为 ．
23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克 元．
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．
（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为 （日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）
24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．
（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为 ．
参考答案
一、选择题
1．解：因为a的相反数是﹣a，
所以﹣2019的相反数是2019．
故选：A．
2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：B．
3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，
故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；
C、结果是x6，故本选项不符合题意；
D、结果是5x5，故本选项，符合题意；
故选：D．
6．解：圆锥的母线长＝＝5，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选：C．
7．解：设原计划x天完成，根据题意得：
﹣＝5．
故选：B．
8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1
＝2020．
故选：C．
9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
∵AB＝1，∠BEF＝30°，
∴BE＝BF，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝，
∴AH＝AD+DH＝2+＝，
∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，
故选：C．
10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，
设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是וx＝k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
∵CD＝5AB，
∴AD＝3AB，
由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，
∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB＝，
∵OB∥DF，
∴＝＝＝，
∴DF＝3，AF＝3，
∴OF＝3﹣1＝2，
∴D（2，3），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝6，
故选：B．
二、填空题
11．解：原式＝a（a+2b），
故答案为：a（a+2b）
12．解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞0，
∴不等式组的解集为：0＜x≤．
故答案为：0＜x≤．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠AEC＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝35°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55
14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，
∴B（0，b），
∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，
∴B（0，b），
当x＝﹣时，y＝2b，
∴C（﹣，2b），
∴△OAC的面积＝×2b＝，
∴b＝，
故答案为．
15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），
∴OC＝，AC＝a，
把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，
∴D点坐标为（，2﹣2），
∴CD＝2﹣2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE＝BC＝1，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，
∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AC∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：
则四边形EMCH是矩形，
∴EM＝CH，CM＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，
同理：△ADE≌△CDE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，
∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∵EM⊥BC，
∴FM＝CM＝EH＝DH，
设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，
∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∴，
解得：x＝，
∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，
∴AF＝＝，
∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）原式＝+2+1﹣
﹣＝2﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x
＝11x+16，
当x＝时，原式＝11×+16＝25．
18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，
∴BF＝CE，
在△BOF与△EOC中，，
∴△BOF≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，
∴∠C＝∠F＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴CE＝1，
∵∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴OC＝＝．
19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；
（2）树状图如下所示：
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
20．解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图点O即为所求．
21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADB，
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BCA＝∠ACE，
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE；
（2）解：连接BF，如图所示：
∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，
∵AB＝BC＝10，
∴CF＝2，
∵BF⊥AC，
∴AC＝2CF＝4，
在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，
∴CD＝×4＝4，
∴AD＝＝＝8．
22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；
（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），
∴BD＝＝2，
设C（m，﹣2），
则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，
∵QD＝1，PQ＝2，
∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，
∵PC＝1﹣m，
∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，
解得m＝，
∴点C的坐标为（，﹣2）；
②如图2，
∵DB＝DE＝2，
∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，
连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，
∵DA＝＝2，
则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
23．解：（1）30+0.5×10＝35元，
答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，
故答案为：35；
（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，
解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），
答：x的值为20；
（3）设经销商销售总额为y元，
根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，
整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，
对称轴x＝，
当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，
则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，
解得a＝190（舍去）；
当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，
则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，
解得a＝210；
当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，
y最大值＝（a2﹣800a+16000），
由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，
解得a＝400（均不符合题意，舍去）；
综上，a的值为210．
故答案为：210．
24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
依题意得：，
解得x＝6，
∴AD＝＝8．
（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，
∴∠EFB＝∠DPB，
又∵∠FBE＝∠PDB，
∴△BEF∽△BDP．
（3）由（1）得BD＝6，
∵PD＝3，
∴BP＝＝，
∴cos∠PBD＝，
当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，
∴BF＝＝＝．
Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，
∴BF＝＝＝，
Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PDcos∠BPD＝＝，
∴BE＝3，
∴BF＝＝＝，
若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．
（4）连接EG交PD于M点，
∵DG∥BP
∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，
∴PG＝DG，
∵EP＝PG，ED＝DG，
∴四边形PEDG是菱形，
∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，
又∵BD⊥AD，
∴EG∥BC，
∴EM＝，
∴，
∴AM＝6，
∴DM＝PM＝2，
∴PD＝4，AP＝4，
∴S△APG＝＝×4×3＝6，
S△PDG＝＝×4×3＝6，
S△GDC＝＝＝4．
∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．﹣2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（x2）3＝x5 D．5x2•x3＝5x5
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（ ）
A． B．6 C．8 D．﹣4
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2+2ab＝ ．
12．不等式的解集是 ．
13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为 度．
14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝ ．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°
（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝
18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．
（1）求证：△BOF≌△COE．
（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．
19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）
20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）
（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．
22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．
（1）求抛物线的表达式；
（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．
②AE最小值为 ．
23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克 元．
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．
（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为 （日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）
24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．
（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为 ．
参考答案
一、选择题
1．解：因为a的相反数是﹣a，
所以﹣2019的相反数是2019．
故选：A．
2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：B．
3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，
故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；
C、结果是x6，故本选项不符合题意；
D、结果是5x5，故本选项，符合题意；
故选：D．
6．解：圆锥的母线长＝＝5，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选：C．
7．解：设原计划x天完成，根据题意得：
﹣＝5．
故选：B．
8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1
＝2020．
故选：C．
9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
∵AB＝1，∠BEF＝30°，
∴BE＝BF，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝，
∴AH＝AD+DH＝2+＝，
∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，
故选：C．
10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，
设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是וx＝k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
∵CD＝5AB，
∴AD＝3AB，
由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，
∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB＝，
∵OB∥DF，
∴＝＝＝，
∴DF＝3，AF＝3，
∴OF＝3﹣1＝2，
∴D（2，3），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝6，
故选：B．
二、填空题
11．解：原式＝a（a+2b），
故答案为：a（a+2b）
12．解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞0，
∴不等式组的解集为：0＜x≤．
故答案为：0＜x≤．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠AEC＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝35°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55
14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，
∴B（0，b），
∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，
∴B（0，b），
当x＝﹣时，y＝2b，
∴C（﹣，2b），
∴△OAC的面积＝×2b＝，
∴b＝，
故答案为．
15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），
∴OC＝，AC＝a，
把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，
∴D点坐标为（，2﹣2），
∴CD＝2﹣2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE＝BC＝1，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，
∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AC∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：
则四边形EMCH是矩形，
∴EM＝CH，CM＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，
同理：△ADE≌△CDE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，
∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∵EM⊥BC，
∴FM＝CM＝EH＝DH，
设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，
∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∴，
解得：x＝，
∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，
∴AF＝＝，
∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）原式＝+2+1﹣
﹣＝2﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x
＝11x+16，
当x＝时，原式＝11×+16＝25．
18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，
∴BF＝CE，
在△BOF与△EOC中，，
∴△BOF≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，
∴∠C＝∠F＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴CE＝1，
∵∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴OC＝＝．
19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；
（2）树状图如下所示：
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
20．解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图点O即为所求．
21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADB，
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BCA＝∠ACE，
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE；
（2）解：连接BF，如图所示：
∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，
∵AB＝BC＝10，
∴CF＝2，
∵BF⊥AC，
∴AC＝2CF＝4，
在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，
∴CD＝×4＝4，
∴AD＝＝＝8．
22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；
（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），
∴BD＝＝2，
设C（m，﹣2），
则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，
∵QD＝1，PQ＝2，
∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，
∵PC＝1﹣m，
∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，
解得m＝，
∴点C的坐标为（，﹣2）；
②如图2，
∵DB＝DE＝2，
∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，
连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，
∵DA＝＝2，
则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
23．解：（1）30+0.5×10＝35元，
答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，
故答案为：35；
（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，
解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），
答：x的值为20；
（3）设经销商销售总额为y元，
根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，
整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，
对称轴x＝，
当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，
则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，
解得a＝190（舍去）；
当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，
则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，
解得a＝210；
当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，
y最大值＝（a2﹣800a+16000），
由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，
解得a＝400（均不符合题意，舍去）；
综上，a的值为210．
故答案为：210．
24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
依题意得：，
解得x＝6，
∴AD＝＝8．
（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，
∴∠EFB＝∠DPB，
又∵∠FBE＝∠PDB，
∴△BEF∽△BDP．
（3）由（1）得BD＝6，
∵PD＝3，
∴BP＝＝，
∴cos∠PBD＝，
当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，
∴BF＝＝＝．
Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，
∴BF＝＝＝，
Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PDcos∠BPD＝＝，
∴BE＝3，
∴BF＝＝＝，
若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．
（4）连接EG交PD于M点，
∵DG∥BP
∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，
∴PG＝DG，
∵EP＝PG，ED＝DG，
∴四边形PEDG是菱形，
∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，
又∵BD⊥AD，
∴EG∥BC，
∴EM＝，
∴，
∴AM＝6，
∴DM＝PM＝2，
∴PD＝4，AP＝4，
∴S△APG＝＝×4×3＝6，
S△PDG＝＝×4×3＝6，
S△GDC＝＝＝4．
∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 2的相反数是（ ）
A. -2 B. -12 C. 12 D. 2
2. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：x-甲=x-乙=80，s甲2=240，s乙2=180，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
3. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A. 1：1
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
4. 关于方程x2+2x-4=0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 两实数根的和为-2
C. 两实数根的差为25 D. 两实数根的积为-4
5. 函数y=x+4中自变量x的取值范围是（ ）
A. x>-4 B. x≥-4 C. x≤-4 D. x≠-4
6. 下列计算正确的是（ ）
A. a2⋅a3=a6 B. a3÷a=a3 C. (a2)3=a6 D. (3a2)4=9a4
7. 在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 圆 C. 梯形 D. 平行四边形
8. 如图，函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式-2x＞ax+3的解集是（ ）
A. x>2
B. x<2
C. x>-1
D. x<-1
9. 若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（ ）
A. 2 B. 43 C. 4 D. 23
10. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶，正面是行驶路程S（米）关于时间t（分）的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A. -3或1 B. -3 C. 1 D. 3
12. 某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（ ）
A. 嫌疑犯乙 B. 嫌疑犯丙 C. 嫌疑犯甲 D. 嫌疑犯甲和丙
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 在0，3，-2，3这四个数中，最大的数是_____
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