量子力学答案曾谨言.doc

第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有

（1）
又据de Broglie关系
（2）
而能量
（3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

即 （：一来一回为一个周期）
,
同理可得， , ,

粒子能量

1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。
提示：利用
解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为
（1）
其中由下式决定：。 0
由此得 ， （2）
即为粒子运动的转折点。有量子化条件

得 （3）
代入（2），解出
（4）
积分公式：
1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。
提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。
解：平面转子的转角（角位移）记为。
它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件

，
因而平面转子的能量
，

第二章 波函数与Schrödinger方程
2.1设质量为的粒子在势场中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为 ，
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）
（1）
（势能平均值） （2）

其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（4）
且能量平均值 。
（b）由（4）式，得

（ ：几率密度）
（定态波函数，几率密度不随时间改变）
所以 。

2.2考虑单粒子的Schrödinger方程
（1）
与为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为

证：（a）式（1）取复共轭， 得
（2）
（1）-（2）,得

（3）
即 ，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积积分，得

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设和是Schrödinger方程的两个解，证明
。
证： （1）
（2）
取（1）之复共轭： （3）
（3）（2）,得

对全空间积分：

，（无穷远边界面上，）
即 。

2.4）设一维自由粒子的初态， 求。
解：

2.5 设一维自由粒子的初态，求。
提示：利用积分公式
或 。
解：作Fourier变换： ，
，
（）
（指数配方）

令 ，则

。

2.6 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，

式中 是的Fourier变换。
提示：利用 。
证：根据平面波的时间变化规律
， ，
任意时刻的波函数为

（1）
当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取
， ， （2）
参照本题的解题提示，即得

（3）
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。
设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。

2.7 写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。
解：经典能量方程 。
在动量表象中，只要作变换，
所以在动量表象中，Schrödinger为：
。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，

求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为

若，则

这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
,

当时，

时，能级不简并；
三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，

证明处于定态的粒子

讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数
.
（1）

（2）
在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故
， （3）
，
（4）
当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，

处于基态，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 , （参P57，（12））
动量的几率分布

3.5）设粒子处于半壁高的势场中
（1）
求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。
解：分区域写出:
（2）
其中 （3）
方程的解为 （4）
根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则

当时，，则
于是 （5）
在处，波函数及其一级导数连续，得
（6）
上两方程相比，得 （7）
即 （7’）
若令 （8）
则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，，
结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即
（11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解：仅讨论分立能级的情况，即，

当时，，故有

由在、处的连续条件，得
（1）
由（1a）可得 （2）
由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。
因而 （3）
又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，
(4)
由(3)，得 (5)
结合(4),(5)，得
或 （6）

一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：
（7）
当时，仅当
才有束缚态 ，故给定时，仅当 （8）
时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）
当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:

其中

3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。
解：势阱为
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故

由，得 。
由，得 。
从上二式消去c, 得 。
反射系数
将代入运算，可得

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明
谐振子波函数满足下列关系

并由此证明，在态下，
证：谐振子波函数 （1）
其中，归一化常数 （2）
的递推关系为 （3）

3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））

证：A3.式（12）：

3—10）谐振子处于态下，计算
，，
解：由题3—6），
由题3—7），

对于基态，，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，
（1）
求能量本征值和本征函数。
解： （2）
的本征函数为 ，
本征值
现将的本征值记为，本症函数记为。
式（1）的势能项可以写成
其中 （3）
如作坐标平移，令 （4）
由于 （5）
可表成 （6）
（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知
（7）
（8）
即
（9）
(10)
其中 (11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，

求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以

3—13）设粒子在下列势阱中运动，
(1)
是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: (2)
对于束缚态（），令 (3)
则 (4)
积分,,得跃变的条件
(5)
在处，方程(4)化为
(6)
边条件为
因此 (7)
再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得
(8)
(9)
由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）
(10)
此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。
当势阱出现第一条能级时，，所以,
利用 ,
（10）式化为 ,
因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11）
纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度 。
条件（11）可改写为 （12）
即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出

即 （13）
与势阱的结论完全相同。
令， 则式（10）化为
（14）
由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级
（15）
第四章 力学量用算符表达与表象变换
4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且

证：ⅰ）
为厄米算符。
ⅱ）
也为厄米算符。
ⅲ）令，则，
且定义 （1）
由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得

4.2）设是的整函数，证明

整函数是指可以展开成。
证： （1）先证。

同理，

现在，

而 。

又
而

4.3）定义反对易式，证明

证：

4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为

，为Levi-civita符号，试验证
（1）
（2）
（3）
证：
（1）式左端

（1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。
（2）式左端 （）
（2）式右端

故（2）式成立。
（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明
（1）
（2）

证：（1）式右端

（1）式左端
（2）式右端

（2）式左端

4.6）设是由，构成的标量算符，证明
（1）
证： （2）

（3）
同理可证， （4）
（5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明
。
证：
利用基本对易式
即得 。
因此
其次，由于和对易，所以

因此，

4.8）证明 （1）
（2）
（3）
（4）
证: （1）利用公式 ，，有

其中

因此
（2）利用公式， （Δ）
可得
①

②

③
由①②③，则（2）得证。
（3）

（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），

，
其中
（即）

类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。

4.9）定义径向动量算符
证明：， ，
，
，

证：，

即为厄米算符。

据4.8）（1），。
其中 ，
因而

以左乘上式各项，即得

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解：一维谐振子能量 。
又奇，，，
（由(3.8)、(3.9)题可知）
，，
由测不准关系，得 。

，得

同理有，。
谐振子（三维）基态能量。

4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。
解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为。
类氢原子基态波函数，仅是的函数。
而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。
而，如果只考虑基态，它可写为
，
与共轭，于是，，
（1）
求极值
由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得
基态能量，
运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。
证：设定态波函数的空间部分为，则有
为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：
。
这里已用到最基本的对易关系，由此

这里用到了的厄米性。
这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下，。
（提示：利用，求平均。）
证：设是的本征态，本征值为，即
，
，

同理有：。

4.14) 设粒子处于状态下，求和
解：记本征态为，满足本征方程
，，，
利用基本对易式 ，
可得算符关系

将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此
又

上题已证 。

同理 。

4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求
（a）的可能测值及平均值;
（b）的可能测值及相应的几率；
（c）的可能测值及相应的几率。
解：，；
，。
（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。
（b）的可能测值为，，相应的几率为，。
（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，，0，，。
1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是
求本征矢并令，则，
得，，，。。
ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。
ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。
ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。
在态下， 取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；
取的振幅为，相应的几率为。总几率为。
2）在的空间，对角化表象中的矩阵
利用

，，，。
，本征方程
，，，，，。
ⅰ），，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；
ⅱ），，，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。
ⅲ），，，，，本征矢为，在态下，测得几率为。
ⅳ），，，，，本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；
ⅴ），，，，，本征矢为，在态下，测得的几率为。
。
在态中，测（和）的可能值及几率分别为：

4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。
解：
，，
，。
是归一化的。
，
，
。
它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

4.17）设有矩阵等，证明
，，
，，，
表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。
证：（1）由定义，

故上式可写成：，
其中是的任意一个置换。

（2）

（3）
（4）
（5）
第五章 力学量随时间的变化与对称性
5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明

证.若力学量不显含，则有,
令
则,

5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，
证：束缚定态为:：。
在束缚定态，有。
其复共轭为。

。

5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,
是的本征态，相应的本征值为
证：
,证毕。

5.4）设表示的本征态（本征值为），证明

是角动量沿空间方向的分量

的本征态。
证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）

5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则
。
是的一个分量， 是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。
证： （）

又
，
。
不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
（1）
证：式（1）左端
（2）
计算中用到了公式 。
由于是厄米算符，有下列算符关系：
（3）
式（2）取共轭，得到
（4）
结合式（2）和（4），得

证毕。

5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：
。 （1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
（2）
证明schrödinger方程在参照系中表为

在参照系中表为
其中
证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。
， 是时刻在点找到粒子的几率密度；
，是时刻在点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6）
从（1）式有 （6’）
由此可以得出， 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以
（7）
（7）
由（1）式， , ,
（3）式变为：
（8）
将（7’）代入（8）式，可得
（9）
选择适当的，使得（9）（4），
。 （10）
（10’）
从（10）可得 。 （11）
是的任意函数，将（11）代入（10’），可得

积分，得 。
为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12）
代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
（13）
逆变换为 （13’）
相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。
讨论：的函数形式也可用下法求出：
因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.
沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为

（14）
据此，系和系中相应的平面波波函数为
， （15）
（1）、（14）代入（15），即得

此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
第六章 中心力场
6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式
相对动量 （1）
总动量 （2）
总轨迹角动量 （3）
总动能 （4）
反之，有 （5）
， （6）
以上各式中，
证： ， （17） ， （18）
相对动量 （1’）
总动量 （2’）
总轨迹角动量

由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能

（4’）
［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.

6.2) 同上题，求坐标表象中、和的算术表示式
，
解： （1）
其中 ，
而 ，
同理，；
（利用上题（17）（18）式。）
；仿此可设 （2）
代入（1）中，得
（3）
（4）

只要将（3）、（4）式中的、以相应的算符代入即可。

6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：
（a）电子偶素（positronium，指束缚体系）
（b）u原子（muonic atom）
（c）u子偶素（muonium，指束缚体系）
解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：
, 。
（a）电子偶素能级 ，（）
（b）u原子能级 ，（）
（c）u子偶素能级，（）

6.4）对于氢原子基态，计算。
解： * 在求坐标系中，空间反演：（）。
氢原子基态波函数为 （1）
宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 （2）
由于各向同性，呈球对称分布，显然有
（3）
容易算出 （4）

（5）
因此 ， （6）
， （7）
（8）
测不准关系的普遍结论是 （9）
显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。

6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。
解：氢原子基态波函数为 ，，
相应的能量
动能
是经典不允许区。由上式解出为。
因此，电子处于经典不允许区的几率为
（令）

6.6）对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算
（a）最可几半径；
（b）平均半径；
（c）涨落
解：类氢原子中电子波函数可以表示为
（1）
（a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 （2）
决定。时，。

代入（2）式，容易求得 （4）
这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。
（b）在态下，各之间有递推关系（Kramers公式）
(5)
（参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）
在（5）式中令，注意到。可设
(6)
依次再取，得到
（7）
（c） （8）
因此，的涨落
（9）
（10）
可见，越大，越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。

6.7）设电荷为的原子核突然发生衰变，核电荷变成，求衰变前原子中一个电子（轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子的轨迹的几率。
解：由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的电子，其波函数仍未 （1）
而新原子中电子的波函数应为 （2）
将按新原子的能量本征态作线形展开：
（3）
则衰变前的电子在衰变后处于新原子的态的几率为
（4）
因此，本题所求的几率为

（5）
展开时保留到第三项
当，上式可近似取成