初二下期末复习经典讲义-反比例函数.doc

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期末复习专题：反比例函数

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一般地，形如 (k为常数，k不等于零)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数或叫因变量，也可以写成:,.
要点诠释：
1、y=中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；
2、y= ()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；
3、y= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

例1 下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）
（ ） （ ） （ ）（ ） （ ）

举一反三：下列函数中，是的反比例函数的是 ( )
A. B. C. D.

例2 .若函数是反比例函数，则的值是 ( )
A. ±1 B. -1 C. 1 D. 2

举一反三：
1.已知函数是反比例函数,你知道的值是多少吗？

2.已知函数.请你探求当取何值时:
(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?

反比例函数
y= (k≠0)
k的符号
k>0
k<0
图象

性质
①x的取值范围是x≠0，
　y的取值范围是y≠0.
②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x≠0，
　y的取值范围是y≠0.
②当k<0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。
叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．

例3、点（3，4）在反比例函数的图像上，则此函数还过点（ ）
A．（2，6） B．（2，-6） C．（4，-3） D．（3，-4）

举一反三、已知反比例函数的图象经过点和，则的值为 ．

要点诠释：
　　（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；
　　（2）若点(a,b)在反比例函数y= 的图象上，则点(－a,－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；
　　（3）在反比例函数中由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

例4 如果反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限内，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．≥

举一反三、已知一次函数y = kx + b（）的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限

例5. 函数的图象过点P（1，2），则该函数图象在其所在的每个象限内，y随x的增加而 ．

举一反三
1．反比例函数，当x＞0时，y随x 而增大。
2．反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是 ．

例6. 反比例函数（k＞0）的图象上的三个点（x1，-1）（x2，2）（x3，3），则下列成立的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x2＜x1

举一反三：
1. 若点(x1，y1)、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数的图象上的点，并且x1<0<x2<x3，则下列各式中正确的是（ ）
A.y1<y2<y3 B.y2<y3 <y1 C.y1>y2>y3 D.y1<y3<y2
2.若点、、都是反比例函数的图象上的点,则下列各式中正确的是（ ）
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1

3．已知函数（a为常数）的图象上有三点（-4，y1）（-1，y2）（2，y3）则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2

4. 在函数(为常数，且)的图象的一支在第四象限.
(1)图象的另一支在第几象限? 你能求出符合题意的k的取值范围吗?
(2)图象上有三点(-1,y1)、、,你会比较y1、y2、y3的大小吗?

例7．点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（ ）．
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1 = y2 D．y1与y2的大小关系不能确定

举一反三：已知反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2，则下列结论正确的是( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定y1与y2的大小关系
例8 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．随的增大而减少
C．图象在第一、三象限内 D．若，则

要点诠释：
如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM、PN，所得矩形PMON的面积。

　　结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|
    对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
    结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
    结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形 AMB中，面积为S=|k|

典例分析：
例9 .如图，点A、B是函数()图象上的两点，分别过点A、B作轴的垂线，垂足分别是C、D，已知点O是坐标原点，则△AOC、△BOD的面积S1、S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.S1≠S2

举一反三：
1.A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，交x轴于点C，BD∥y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（ ）
A.S=1 B.S=2
C.1＜S＜2 D.S＞2

2. 如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平
行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（ ）
A．S = 1 B．1＜S＜2 C．S = 2 D．S＞2

3. 函数与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为__________。

例10 A是函数的图象上任意一点，过A作y轴的垂线交y轴于B，点P在x轴上，△ABP的面积为S1，则反比例函数的解析式为

举一反三：
如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴交函数与点B，连接AO、BO,则△AOB的面积为 。

例11  如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则        ．

举一反三：
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在

的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点
D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是 ．

例12. 函数y=与y=kx+1(k≠0)在同一坐标系内的大致图象是　　　　（　　）

　【解析】　列表分析如下：

　举一反三：
1. 已知关于x的函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是

2.在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x与反比例函数y=的图象大致位置不可能是（　　）
　　。

【点拨】　没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现．不少同学对解答这类题感到困难．以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案．

例15. 已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．

举一反三：
1. 已知反比例函数与直线相交于A、B两点，A点的横坐标为-1，则两函数图象另一个交点B的坐标为（ ）

2. 已知反比例函数与一次函数y = 2x + k的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为 ．

3．已知一次函数y＝3x+m与反比例函数y＝的图像有两个交点.
　　(1)当m为何值时，有一个交点的纵坐标为6?
　　(2)在(1)条件下，求两个交点的坐标.

点拨：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．(1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可.

例16.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于
、两点.
(1)求两个函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.

举一反三：
1. 如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
(3)求方程的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.

2.函数与（k1，k2为非零常数）的图象的如图所示，由图象可知：关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或

3.已知反比例函数和一次函数的图象都经过点.
(1)求点P的坐标和两个函数的解析式；
(2)若点、是反比例函数图象上的点，请比较y1与y2.

4. 已知一次函数的图象与反比例函数 ()的图象交于第四象限的一点.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6<x<-2时，求y的取值范围是多少?

例17．如图，已知一次函数y = kx + b的图象与反比例函数的图
象交于A、B两点，且A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，则阴
影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8

举一反三：
1．已知一次函数和反比例函数的图象在第一象限内有两个不同公共点A、B，且△AOB的面积S = 24，则该反比例函数的图象必过点（ ）
A．（2，4） B．（-1，-7） C．（1，6） D．（-1，7）
2．已知直线与坐标轴交于A、B两点，反比例函数
的图象与该直线交于C点，CD⊥x轴于点D，若，则k值为（ ）
3. 如图,直线与双曲线交于点A，与轴、轴分别交于点B、C，AD⊥轴于点D，如果S△ADB=S△COB,那么=______.

4. 已知点A（0，2）和B（0，），点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，则P点的坐标是 ．
5．如图所示，如果函数与的图象交于A、B两点，过点A
作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为 ．
6. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4
7. 如图，的锐角顶点是直线与双曲线在第一象限的交点，且 （1）求m的值（2）求的值

8. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，△AOB的面积是.(1)求k和b的值；(2)若一次函数的图象经过点A，且与x轴交于点C，求△AOC的面积.
9. 双曲线在第一象限的一支上有一点，过点C的直线()与x轴交于点.（1）求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一交点D的横坐标是9时，求△COA的面积.

10. 已知：如图，一次函数的图象与两坐标轴交于A、B两点，与函数的图象交于C、D两点，由点C向x轴做垂线，垂足为E.
（1）若△AOB的面积是△OCD的面积的一半，求C点的坐标；
（2）证明：不论b取任何不为零的实数，AC•BC为定值；
（3）延长CO交函数的图象于M点，试判断△CDM的形状.

要点诠释：
　　(1)、待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，只要确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。
　　(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 　　①设所求的反比例函数为： (k≠0)；
　 　　②根据已知条件，列出含k的方程；
　 　　③解出待定系数k的值；
　 　　④把k值代入函数关系式中。
典型例题：

 例18．一个反比例函数的图象经过点，则其函数关系式是 .

例19. 若函数是反比例函数，求其函数解析式。

点拨：反比例函数可写成，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对这一条件的讨论。
 例20. 已知：与成反比例，且当时，，那么当时，等于 ( ).
A. 0.5 B.2 C. -2 D.-1

举一反三：
1. 已知：，与成反比例，与成正比例，且当时；当时，求时的值.

2. （1）已知，而与成反比例，与成正比例，并且时，；时，，求y与x的函数关系式；
（2）直线：与平行且过点（3，4），求的解析式。

现在是个飞速发展的时代，与时俱进的大学生当然也不会闲着，在装扮上也不俱一格，那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。

§8-4情境因素与消费者行为 2004年3月20日

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

2、Google网站www。people。com。cn

在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。

图1-2 大学生购买手工艺品可接受价位分布

与此同时，上海市工商行政管理局也对大学生创业采取了政策倾斜：凡高校毕业生从事个体经营的，自批准经营日起，１年内免交登记注册费、个体户管理费、集贸市场管理费、经济合同鉴证费、经济合同示范文本工本费等，但此项优惠不适用于建筑、娱乐和广告等行业。

在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。在人民广场地下的迪美购物中心，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”例21 某市的一处道路因受强降雨而造成1200cm3的塌方，某部队受命来重新修建好．
（1）重新修好所需的时间t（天）与每天完成的土石方V（m2）有怎样的关系？

我们长期呆在校园里，对社会缺乏了解，在与生意合作伙伴应酬方面往往会遇上困难，更不用说商业上所需经历的一系列繁琐手续。他们我们可能会在工商局、税务局等部门的手续中迷失方向。对具体的市场开拓缺乏经验与相关的知识，缺乏从职业角度整合资源、实行管理的能力； （2）部队共有官兵60人，每天最多完成土石方300 m3，预计部队最快可在几日内完成？

（二）创业弱势分析 （3）部队连续工作了两天后，天气预报说未来的几天还可能会有强降雨，市里要求次日完成余下的任务，需要增加多少人才能按时完成？

例22、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟），据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，y与时间x成反比例关系（如图），已知该材料操作加工前温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式．
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么开始加热到停止操作，共经历了多长时间？

例23、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为（为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
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