2021年全国统一高考数学试卷（理科）全国乙（含解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理）
一、选择题
1.设，则( ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
设，则，，所以，，所以.
2.已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，；
当，时，；当，时，.所以，.故选C.
3.已知命题﹐；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域，故，，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.，则也为真命题，所以为真，选A.
4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.
5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.

答案：
D
解析：
如图，为直线与所成角的平面角.
易知为正三角形，又为中点，所以.
6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.种
B.种
C.种
D.种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
逆向：.
故选B.
8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意记，，题目即求的概率，绘图如下所示.
故.

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）
A.
B.
C.
D.

答案：
A
解析：
连接交于，则.
记，，则.
而，.所以.
故，所以高.

10.设，若为函数的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
若，其图像如图（1），此时，；若，时图像如图（2），此时，.

综上，.

11.设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，，则的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题意，点，设，则，故
，
.
由题意，当时，最大，则，，，，.
12.设，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析:
设，则，易得
.
当时，，故.
所以在上单调递减，所以，故.
再设，则，易得
.
当时，，所以在上.
故在上单调递增，所以，故.
综上，.
二、填空题
13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 .
答案：

解析：
易知双曲线渐近线方程为，由题意得，，且一条渐近线方程为，则有（舍去），，故焦距为.
14.已知向量，，若，则 .
答案：

解析：
由题意得，即，解得.
15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ，，则 .
答案：

解析：
，所以，
由余弦定理，，所以.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④.

三、解答题
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别
己为和.
（1）求，，，：
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否
则不认为有显著提高 ) 。
答案：
见解析
解析：
（1）各项所求值如下所示.
，，，.
（2）由（1）中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.

答案：
见解析
解析：
（1）因为平面，且矩形中，.所以以，，分别为，，轴正方向，为原点建立空间直角坐标系.设，，，，，所以，
因为，所以所以，所以.
(2)设平面的一个法向量为，由于，则.令，的.设平面的一个法向量为，则.令，的.所以，所以二面角的正弦值为.

19.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
答案：
见解析
解析：
（1）由已知，则，，，
故是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，则，
时，，时，，
故.
20.设函数，已知是函数的极值点.
（1）求；
（2）设函数，证明：.
答案：
见解析
解析：
（1）令
则.
∵是函数的极值点.
∴.
解得：；
（2） 由（1）可知：
，
要证，即证（且）
.
∵当时，.
当时，.
∴只需证明
令，且易知.
则
（i）当时，易得，则在上单调递减，
∵，∴，得证.
（ii）当时，易得，则在上单调递增.
∵，∴，得证.
综上证得.
21.已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为.
（1）求；
（2）若点在上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）焦点到的最短距离为，所以.
（2）抛物线，设，，，得
：，
：，且，
，都过点，则，
故：，即，
联立，得，，
所以，
，所以.
而，故当时，达到最大，最大值为.

22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1）的参数方程为（为参数）
（2）的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，
此时圆心到直线的距离为，
化简得，
两边平方有，所以.
代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为

或.

23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当时，，
当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得.
综上，原不等式的解集为.
（2）若，即，
因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.