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2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).docx

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资源描述
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷) 理科数学 一、选择题 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 答案: B 解析: 由图知,. 2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是( ) A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为 B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于万元至万元之间 答案: C 解析: A.低于万元的比率估计为,正确. B.不低于万元的比率估计为,正确. C.平均值为 万元,不正确. D.万到万的比率为,正确. 3.已知,则( ) A. B. C. D. 答案: B 解析: . 4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为,则其视力的小数记录法的数据约为()( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 代入,知,故. 5.已知,是双曲线的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为( ) A. B. C. D. 答案: A 解析: 记,,由及,得,,又由余弦定理知,得,从而. 6.在一个正方体中,过顶点的三条棱的中点分别为,,,该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( ) A. B. C. D. 答案: D 解析: 由题可得直观图,如下图. 故选D. 7.等比数列的公比为,前项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案: B 解析: 若,则.①,则单调递增;②,则单调递减,∴甲乙,又若单调递增,则恒成立,∴恒成立,∴,,∴甲乙.综上:甲乙,选B. 8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为(单位:),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有,,三点,且,,在同一水平面上的投影,,满足,.由点测得点的仰角为,与的差为:由点测得点的仰角为,则,两点到水平面的高度差约为( )() A. B. C. D. 答案: B 解析: 过C作的垂线交于点M,过B作的垂线交于点N, 由题意得,,,即. 所以 , 所以 .得A,C两点到水平面的高度差约为,故选B。 9.若,,则( ) A. B. C. D. 答案: A 解析: . ∴ ∴ ∴. 又∵.如图,. 10.将个和个随机排成一行,则个不相邻的概率为( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 把位置依次标为到. 总数:先排个,有种,再排个,有一种,故共有种. 满足题设的排法:先排个,有种.其间有个空,选个空插入有种.故. 满足题设排法的另一种解释:的位置有,,,,,,,,,,共种. 11.已知是半径为的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 答案: A 解析: 记为所在圆面的圆心,则. 又,所以 . 所以.故选A. 12.设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 答案: D 解析: ∵为奇函数,∴关于中心对称,∴. 因为偶函数,故关于轴对称,周期为. ∴,.即,. ,. 故 . 故选D. 二、填空题 13.曲线在点处的切线方程为 . 答案: . 解析: ,,. 切线:. 14.已知向量,,.若,则 . 答案: 解析: ,.所以. 15.已知,为椭圆的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为 . 答案: 解析: 如图,由及椭圆对称性可知,四边形为矩形. 设,,则,得.所以,四边形面积为. 16.已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数为 . 答案: 解析: 由图可知,的最小正周期,∴. ∵,∴,∴,. ∴,∴,. ∴或. 结合图像可知,满足的离轴最近的正数区间,无正数; 的离轴最近的正数区间为,最小正整数. 三、解答题 (1)必考题 17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分別用两台机床各生产了件产品,产品的质量情况统计如下表: (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附:, 答案: 见解析 解析: (1)由表格数据得: 甲机床生产的产品中一级品的频率为; 乙机床生产的产品中一级品的频率为; (2)由题意. 所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 18.已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列是等差数列:②数列是等差数列:③. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分,①, 答案: 见解析 解析: ①,,证明:设等差数列的公差为.因为,所以, 则.所以,所以 .所以是首项为,公差为的等差数列. 19.已知直三棱柱中,侧面为正方形,,,分别为和的中点,为棱上的点,. (1)证明:; (2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小? 答案: 见解析; 解析: (1) 连,取中点连,, 由为,的中点,则, 又,,则共面,故面. 又在侧面中,则 又,则. (2),则. 又则. 如图以为原点建立坐标轴,则,,,,. 设则. 则面法向量为,对面设法向量为,则 , 则. 要求最小正弦值则求最大余弦值. 当时二面角余弦值最大,则时二面角正弦值最小. 20.抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线交于,两点,且,已知点,且与相切. (1)求,的方程; (2)设,,是上的三个点,直线,均与相切,判断直线,与的位置关系,并说明理由. 答案: 见解析; 解析: (1), . (2)设,,. ,所以 ①. ,所以 ②. 所以,是方程的两根. 又,所以 . 所以,即直线与相切. 21.已知且,函数. (1)当时,求的单调区间; (2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围. 答案: 见解析; 解析: (1)时,, . 当时,,单调递增;当时,,单调递减. 故在上单调递增,在上单调递减. (2)由题知在有两个不等根; . 令,,在单调递增,在单调递减. 又,,. 所以且. 四、选考题(2选1) 22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)将的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点的直角坐标为,为上的动点,点满足,写出的轨迹的参数方程,并判断与是否有公共点. 答案: 见解析 解析: (1). (2)设,,由 . 又在上,所以 . 则为为圆心,半径为的圆,所以 所以,两圆为内含关系,所以,圆与圆无公共点. 23.已知函数,. (1)画出和的图象; (2)若,求的取值范围. 答案: 见解析; 解析: (1); (2)当时,恒不满足,此时; 当时,恒成立,必有 . 当时, 时,,,所以. 时,,,令,所以. 时,,. ,所以. 所以,.
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