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2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)
理科数学
一、选择题
1.设集合,,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解析:
由图知,.
2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于万元至万元之间
答案:
C
解析:
A.低于万元的比率估计为,正确.
B.不低于万元的比率估计为,正确.
C.平均值为
万元,不正确.
D.万到万的比率为,正确.
3.已知,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解析:
.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为,则其视力的小数记录法的数据约为()( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
解析:
代入,知,故.
5.已知,是双曲线的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解析:
记,,由及,得,,又由余弦定理知,得,从而.
6.在一个正方体中,过顶点的三条棱的中点分别为,,,该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
解析:
由题可得直观图,如下图.
故选D.
7.等比数列的公比为,前项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案:
B
解析:
若,则.①,则单调递增;②,则单调递减,∴甲乙,又若单调递增,则恒成立,∴恒成立,∴,,∴甲乙.综上:甲乙,选B.
8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为(单位:),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有,,三点,且,,在同一水平面上的投影,,满足,.由点测得点的仰角为,与的差为:由点测得点的仰角为,则,两点到水平面的高度差约为( )()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解析:
过C作的垂线交于点M,过B作的垂线交于点N,
由题意得,,,即.
所以
,
所以
.得A,C两点到水平面的高度差约为,故选B。
9.若,,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解析:
.
∴
∴
∴.
又∵.如图,.
10.将个和个随机排成一行,则个不相邻的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
解析:
把位置依次标为到.
总数:先排个,有种,再排个,有一种,故共有种.
满足题设的排法:先排个,有种.其间有个空,选个空插入有种.故.
满足题设排法的另一种解释:的位置有,,,,,,,,,,共种.
11.已知是半径为的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解析:
记为所在圆面的圆心,则.
又,所以
.
所以.故选A.
12.设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
解析:
∵为奇函数,∴关于中心对称,∴.
因为偶函数,故关于轴对称,周期为.
∴,.即,.
,.
故
.
故选D.
二、填空题
13.曲线在点处的切线方程为 .
答案:
.
解析:
,,.
切线:.
14.已知向量,,.若,则 .
答案:
解析:
,.所以.
15.已知,为椭圆的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为 .
答案:
解析:
如图,由及椭圆对称性可知,四边形为矩形.
设,,则,得.所以,四边形面积为.
16.已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数为 .
答案:
解析:
由图可知,的最小正周期,∴.
∵,∴,∴,.
∴,∴,.
∴或.
结合图像可知,满足的离轴最近的正数区间,无正数;
的离轴最近的正数区间为,最小正整数.
三、解答题
(1)必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分別用两台机床各生产了件产品,产品的质量情况统计如下表:
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:,
答案:
见解析
解析:
(1)由表格数据得:
甲机床生产的产品中一级品的频率为;
乙机床生产的产品中一级品的频率为;
(2)由题意.
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列是等差数列:②数列是等差数列:③.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分,①,
答案:
见解析
解析:
①,,证明:设等差数列的公差为.因为,所以,
则.所以,所以
.所以是首项为,公差为的等差数列.
19.已知直三棱柱中,侧面为正方形,,,分别为和的中点,为棱上的点,.
(1)证明:;
(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?
答案:
见解析;
解析:
(1)
连,取中点连,,
由为,的中点,则,
又,,则共面,故面.
又在侧面中,则
又,则.
(2),则.
又则.
如图以为原点建立坐标轴,则,,,,.
设则.
则面法向量为,对面设法向量为,则
,
则.
要求最小正弦值则求最大余弦值.
当时二面角余弦值最大,则时二面角正弦值最小.
20.抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线交于,两点,且,已知点,且与相切.
(1)求,的方程;
(2)设,,是上的三个点,直线,均与相切,判断直线,与的位置关系,并说明理由.
答案:
见解析;
解析:
(1), .
(2)设,,.
,所以
①.
,所以
②.
所以,是方程的两根.
又,所以
.
所以,即直线与相切.
21.已知且,函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.
答案:
见解析;
解析:
(1)时,,
.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
故在上单调递增,在上单调递减.
(2)由题知在有两个不等根;
.
令,,在单调递增,在单调递减.
又,,.
所以且.
四、选考题(2选1)
22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)将的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,为上的动点,点满足,写出的轨迹的参数方程,并判断与是否有公共点.
答案:
见解析
解析:
(1).
(2)设,,由
.
又在上,所以
.
则为为圆心,半径为的圆,所以
所以,两圆为内含关系,所以,圆与圆无公共点.
23.已知函数,.
(1)画出和的图象;
(2)若,求的取值范围.
答案:
见解析;
解析:
(1);
(2)当时,恒不满足,此时;
当时,恒成立,必有
.
当时,
时,,,所以.
时,,,令,所以.
时,,.
,所以.
所以,.
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