应用分形插值及分形维数预测混凝土损伤裂纹.pdf

第 3 0卷 第 4期 2 0l 4年 1 2月 北 京 建筑大 学 学报 J o u r n a l o f Be i j i n g Un i v e r s i t y o f Ci v i l En g i n e e r i n g a n d A r c h i t e c t u r e VO 1 3 0 NO 4 NO V 2 01 4 文章编号 ：1 0 0 4 6 0 1 1 ( 2 0 1 4 ) 0 4 0 0 2 4 0 4 应用分形插值及分形维数预测混凝 土损伤裂纹 白 羽 ， 侯 菲 ， 董 军 ( 1 北京 建筑大学 理学院 ， 北京1 0 0 0 4 4 ； 2 E 京建筑 大学 土木与交通工程学 院 ， 北京1 0 0 0 4 4 ) 摘 要 ： 分 形理论 可 用于研 究混凝 土在 损伤 演化期 间形 成 的极 其 不规 则的 微 裂纹 首 先运 用分 形 插 值构 造 了迭代 函数 系统 ， 预 测 了损 伤 裂纹 ， 然后 使 用 网格 盒子 法 计 算 了分 形 维数 ， 定量 的描 述 了 损 伤裂 纹同时 ， 在构 造迭代 函数 系统 时根 据观 测数 据提 出了一种确 定纵 向压缩 因子 的数值 方 法 ， 这 种确 定纵 向压缩 因子 的方 法较前 人 的工作 而 言考 虑 了每 个插 值 区间上 的偏 差值 ， 将 整 体 的 变化 特 征映射 到局 部 中 ， 会使 得插 值更加 准 确 ， 模 拟形 态更加 逼 真最后 通过 算例 的计 算 结果 验 证 了此 模 型 的有效性 关 键词 ：分形插值 ；分形 维数 ； 混 凝土 ； 裂 纹 中图分类 号 ： T U 5 2 8 ；0 2 4 文献 标志 码 ：A Pr e d i c t i n g Fr a c t u r e Cr a c k o f Co n c r e t e by Fr a c t a l I nt e r p o l a t i o n a n d Fr a c t a l Di m e ns i o n Ba i Yu ，Ho u Fe i ，Do n g J u n ( 1 S c h o o l o f S c i e n c e，Be ij i n g Un i v e r s i t y o f Ci v i l E n g i n e e r i n g a n d Ar c h i t e c t u r e，B e ij i n g l 0 0 0 4 4； 2 S c h o o l o f C i v i l a n d T r a ff ic E n g i n e e r i n g ， B e i j i n g U n i v e r s i t y o f C i v i l E n g i n e e r i n g a n d A r c h i t e c t u r e ，B e i j i n g 1 0 0 0 4 4 ) Abs t r a c t：Th e f r a e t a l t h e o r y c a n b e u s e d t o r e s e a r c h t h e a no ma l i s t i c mi c r o c r a c k s o f c o nc r e t e for me d i n i n j u r y e v o l u t i o n I t e r a t i v e f u n c t i o n s y s t e m i s c o n s t r u c t e d b y f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n t o p r e d i c t t h e fr a c t u r e c r a c k o f c o n c r e t eFr a c t a l d i me n s i o n i s c a l c u l a t e d b y t h e g r i d b o x me t h o d t o q u a nt i t a t i v e l y d e s c r i b e t h e fra c t u r e c r a c k o f c o n c r e t e Me a n whi l e， wh e n c o n s t r u c t i n g t h e i t e r a t i v e f u n c t i o n s y s t e m a nu me r i c a l me t h o d f o r d e t e r mi ni n g t h e l o ng i t u d i n a l c o mp r e s s i o n f a c t o r i s g i v e n，wh i c h c o ns i d e r s t h e d e v i a t i o n o n e a c h i n t e r v a 1 Th i s a r t i c l e wi l l ma p t h e c h a r a c t e r i s t i c s fro m g l o b a l t o l o c a l ， a n d t h i s me t h o d i s mo r e a c c u r a t e t h a n p r e v i o u s me t h o d s Th i s me t h o d i s v e r i f i e d t o b e e f f e c t i v e Ke y wo r ds：f r a c t a |i n t e r p o l a t i o n；f r a c t a l di me n s i o n；c o n c r e t e；c r a c k 混 凝土 内部原 始存 在着 大量 不规则 分 布的微 细 观 裂纹 或孔 隙 ， 受 荷 后这 些 初 始 缺 陷或 损 伤 的不 规 则 演化 行 为决 定 着 混凝 土 的宏 观 力 学 性 能 2 0世 纪 7 0年代创立并发展起来的分形理论 ， 为研究混 凝土内部不规则的损伤断裂行为提供了一种全新的 方 法 和科学 的手 段 研 究 表 明 ， 混 凝 土 在 损 伤 演 化 期 间所形 成 的微裂 纹 具 有 明 显 的 自相 似 特 征 ， 可以 用分 形理 论加 以研 究 。 分形 理论 主要 用来 描述 复杂事 物在 几何 方面 的 整体与局部或不同尺度下的自相似性分形几何学 主要揭示 了某事物部分与整体 、 微观 与宏观的 自相 似性及其 内在的相关规律分形几何学反映在不同 收 稿 日期 ： 2 0 1 4 0 9 2 6 基金项 目：北京市 自然科学基金 ( 8 1 4 2 0 1 2) ， 中央支持地方 的项 目( P X M 2 0 l 3 _ 0 1 4 2 l 0 _ 0 O 0 1 7 3 ) 作者简介 ：白 羽( 1 9 7 9 一) ， 女 ， 副教授 ， 博士 ， 研究方向： 数值计算 第 4期 白 羽等 ：应用分形插值 及分形维数预测 昆凝土损伤裂纹 2 5 尺度 自相似结构的嵌套级次 ，并强调在一定范围内 与尺度无关分形分布的几何体以其间断离散为特 征 ， 而 不是 充满 空间 分数 维 可 以定 量 表 征 分形 几 何体 间断离散 的分布特征及其充填空间的程度利 用分形几何学可以分析孔隙、 湖泊 、 海岸线和地形等 几何体的分布特点地质裂缝和断裂表面也具有分 形分布特征 ， 其分数维反映了裂缝 的分形分布特征 和 断裂 表面 的复 杂性 分 形插 值 是根 据 分形 几何 的 自相 似性原 理和 迭代 函数 系 的理 论 ， 将 已知数 据 插 值成具有 自相似结构的曲线或 曲面 ， 任何一个局部 都 与 整体 自相似 或统计 自相似 1 分形插值 在函数论 中， 函数 的插值方法是逼 近论的主要 内容之一 ， 它在数值计算 、 计算几何 、 计算机 图形学 等领域 有着 极其 广泛 的应 用传 统 的数 学插 值 函数 都 是 用一组 基 函数 的 线性 组 合 来 表 示 ， 比如 常 用 的 多项式 函数 、 有理函数 、 三角函数等等而分形插值 函数 。 ( F I F ) 是 由 一类 特 殊 的 迭 代 函数 系 ( I F S ) 产生的 ， 即通过一些已知点( 插值点 ) 插出具有分形 性质的复杂图形从插值原理上看 ， 分形插值根据 整体与局部相似的原理 ， 将插值数据点 的变化特征 映射到了相邻点之 间的局部区域 ， 在相邻 的两个信 息点之间也能得到局部波状起伏 的形状 ， 从而可以 得到两个信息点之问的局部变化特征从而， 对于具有 分形特征的形体 ， 两个信息点之间有更多更精细一级 的波状起伏 ， 用分形插值其结果更加符合实际 1 1分 形插值 函数 考虑 简单 的线性 分形 插值 函数 给定 平 面上 的 一 组 点集 ： ( ， Y )R ， i =0， 1 ， 2， ， N ( 1 ) 其中 0 1 2 插值函数 F： 0 ， 一R 连续 ， 且 满足 F( )：Y ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ， 迭代 函数 系 I F S记 为 尺 ； I V n=】 ， 2 ， ， ， 其 中 是具有 如 下形式 的仿 射变换 ： + 常数 c ， 满足 条件 ： ： = ： ： ， ： = ： ，n = ，2 ， ， 即 ： ( 2 ) ( 3 ) 0n 0 + e n = n l n n + en = n ，。 、 ( 4) c 0+d Y o+ Y 一 C X + d n Y N + f =Y n 这个变 换 表 明了如何 将 已知点 映射 到未知 点上 去 ， 4个方 程 有 5个 参 数 ， 因而 有 一 个 是 自由参 数 选 择 d 为 自由参量 ， 称 为纵 向压缩 因子当 l d I 1 ， 对于数据集 ( 1 ) 及伴 随 于数 据集 的 I F S ( 2 ) 如 果 纵 向压 缩 因子 d 满 足 0 d ， 1 ( 6 ) n = l 且插值点不共线 ， 则 G的分形维数是满足方程 ： f d I 0 = 1 ( 7 ) 的唯一 实数 解 D， 否则 的分 形维 数 D等于 1 这个定理说明分形插值函数的分形维数不依赖 于数据集 ， 而纵向压缩因子 d 却直接影响了曲线 的 复杂性 ， 是确定 曲线分维 的决定因素显然通过求解式 ( 7 ) 得到分形维数 D是有 困难 的， 目前有 多种方法计算 分形维数， 比如网格盒子法 。 。 就是常用的方法之 一 网格盒子法实质是“ 数盒子” 算法， 即采用正方形 2 6 北京 建筑 大学 学报 的网格作为覆 盖分形体 的盒子 ， 将正方 形的边 长作 为 盒子的边 长 艿 ( i =1 ， 2 ， ) ， 数出覆盖住 裂纹所需 盒子 的数 日N( a ) ( i = 1 ， 2 ， ) 随着 艿 的逐 渐缩 小 ， 得 到 一 组数据 ( 1 n 6 ， I n( ) ) ( i =l ， 2 ， ， ) ， 用最 小二 乘法 拟合 ， 得到 的拟 合直线 的斜率 即为分形体 的盒维 数 ， 可以作为分形维数 D的数值近似值 2 应用 现 有 一 组 混 凝 土 损 伤 试 验 裂 纹 监 测 点 数 据 ” ， 如表 1所示 表 1 混凝土损伤裂纹试验监测点数据 我们应用分形插值及分形维数对 昆凝土损伤裂 纹进 行预 测 2 1构造 分 形插值 函数 将 表 1中六 个 点 的 方 向值 记 为 ( i ：0 ， 1 ， ，5 ) ， 相应的 y方 向值记 为 y ( i =0 ， 1 ， ， 5 ) 利 用式 ( 1 )式( 5 ) 可构造分形插值 函数 ： 0 3 3 3 3 1 1 d 一 n 。 n ； + y 一。 。 d ( n=1 ， 2， 3， 4， 5) 其 中 d ( n=1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 为纵 向压 缩 因子 ( 8 ) 2 2确 定 纵 向压 缩 因子 纵向压缩因子的确定， 是提高分形模拟精度所 研究 的热点 问题事 实 上 ， 插 值 点 数 据本 身就 包 含 着局 部变化 的特征 ， 它 在 一 定程 度 上 反 映 了裂 纹 的 发展趋势而理论上已证明I d I 1 时， l d 1 。 D n ：l = l 的理论值为 1 我们把上述结果代入进行验证 ， 同时 选取 了 d 是 固定 常数 ， 即 d =0 3 ( n=1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 和 d 是 由 r a n d 命 令 产生 的随 机数 分 别进 行 了分形 插 值 ， 结果 如表 3所 示 表 3盒维数 计算结果与比较 显 然 ， 由我们 确 定 的纵 向压 缩 因子 所 得 到 的盒 维数与理论值 的误差 最小这也 进一步 验证 了由 2 2中的方 法确 定纵 向压缩 因子 的有 效性 3 结论 分形插值克服了传统的插值方法不能反映两相 邻 已知 信息 点之 间 的局 部 特 征 ， 运 用 分 形 插 值 原理 对 混凝 土损 伤裂 纹 进 行分 形 模 拟 ， 可 以得 到 比传 统 的插值方法更高的精度文中根据观测数据提出了 一 种确 定纵 向压 缩 因 子 的数 值 方 法 ， 计 算 结 果 表 明 了其有 效性而使用 网格 盒子 法 计算 的分形 维 数定 量 描述 了混 凝土 损伤 裂纹 参考 文献 ： 1 辛厚 文分形理论 及 其应 用 M 合 肥 ： 中 国科学 技 术 大学出版社 ， 1 9 9 3 ： 2 0 9 2 2 谢 和 平脆 性 材 料 中 的分 形 损 伤 J 机 械 强 度 ， 1 9 9 5，1 7( 2)： 7 58 2 孙洪军 ， 董锦坤 ， 赵丽红分形插值 方法对混凝 土损伤 裂纹 的 预 测 J 辽 宁 工 学 院 学 报 ：自然 科 学 版 ， 2 0 0 7，2 7( 1 )：3 33 5 郭伟 ， 秦鸿根 ， 陈惠苏 ， 等分 形理论及 其在 混凝 土材 料研 究 中的 应 用 J 硅 酸 盐 学 报 ，2 0 1 0 ，3 8( 7 ) ： 1 3 62一l 36 6 胡海霞 ， 章青 ， 丁道红基 于分形理 论的混凝 土材料力 学性能研究 J 混凝土 ， 2 0 1 0 ( 6 ) ： 3 1 3 6 肯 尼 思 法尔 科 内分 形 几 何一 数 学基 础 及其 应 用 M 曾文 曲， 等 ， 译 沈 阳：东北大学 出版社 ，1 9 9 1 ： 35 1 O6 孙洪泉分形 几何及其 分形插 值研 究 J 河北 工业 大学学报 ， 2 0 0 2 ， 3 1 ( 1 ) ： 5 6 6 0 B a r n s l e y M F F r a c t a 1 F u n c t i o n s a n d I n t e r p o l a t i o n J C o n s t r u c t i v e A p p r o x i m a t i o n ， 1 9 8 6 ( 2 ) ： 3 0 3 3 2 9 孙洪 泉，谢 和平岩石 断裂 表面 的分形模 拟 J 岩 土力学 ， 2 0 0 8 ， 2 9 ( 2 ) ： 3 4 7 3 5 2 责任编 辑 ： 佟启 巾 1J J 1j 3 4 5 6 7 8 9 rl r L rL rl rj