2009四川高考数学(理科)试题及参考答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学第卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立，那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：1. 设集合则.已知函数连续，则常数的值是. . . . .复数的值是. . . .4.已知函数，下面结论错误的是 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 C. 直线平面 .6.已知为实数，且。则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A. B. C .0 D. 4 8.如图，在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13.的展开式的常数项是 （用数字作答） 14.若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 16设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 对，则是平面上的线性变换； 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，若共线，则也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。21. （本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。22. （本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A （13） -20 （14）4 （15） （16）1.设集合则.【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题，故选择C。.已知函数连续，则常数的值是. . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得，故选择B。.复数的值是. . . .【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：，故选择A。4.已知函数，下面结论错误的是 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解：，其中A、C显然正确，故选择D。5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 、C. 直线平面.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。6.已知为实数，且。则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：推不出；但，故选择B。7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A. B. C .0 D. 4 【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知，故，故选择C。8.如图，在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径，故，所以两点的球面距离为，故选择B。9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令，则；令，则由得，所以，故选择A。13.的展开式的常数项是 （用数字作答） 【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。14.若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知，且，又，所以有，。15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取BC中点N，连结，则面，是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。16设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 对设，则是平面上的线性变换； 若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，若共线，则也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。解析：令，由题有，故正确；由题，即，故正确；由题，即，故不正确；由题，即也共线，故正确；三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（）、为锐角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， ， ， 12分（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值为0，1，2，3 , ， 所以的分布列为0123 所以， 12分 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（）因为平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即,所以平面。 4分 （）存在点,当为线段AE的中点时，PM平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MNPC 所以PMNC为平行四边形，所以PMCN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G，则FGEA。从而，FG平面ABCD作GHBD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AFsinFAG=在RtFGH中，GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 12分解法二:()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45, 所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,于是=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM平面BCE. 8分()设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。故二面角FBDA的大小为arccos。12分（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解：（）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。4分（）由（）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设、，联立，消y得。由根与系数的关系知，从而，又，。 。化简得,解得（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解：（）由题意知当当当.（4分）（）因为由函数定义域知0,因为n是正整数，故0a对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k， 当n为偶数时，设则 当n为奇数时，设则对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4.14分