高三数学一轮复习椭圆教案.doc

第一讲 椭圆
一、考情分析
解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．
“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．
二、知识归纳
（一）椭圆的定义
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
Ｐ
特征式：．
Ｆ１
Ｆ２
注：①若，则点的轨迹是线段的垂直平分线；
Ｐ
②若，则这样的点不存在．
（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距
Ｆ
离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫
做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率．
特征式：．
（二）椭圆的方程
（1）椭圆的标准式方程：
①；（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）
②．（焦点在轴的平行线上，中心在的椭圆方程）
（2）椭圆的参数方程：
①；
注：角不是．

②．
（3）椭圆的向量式方程：．
（三）性质：对于椭圆而言，
①范围：，，椭圆落在组成的矩形中．
②对称性：图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．
③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．，；加两焦点共有六个特殊点．叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴，长分别为．分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．
④离心率：椭圆焦距与长轴长之比．
注：椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例；，椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例．
⑤椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线；
对于，下准线；上准线．
⑥焦准距：焦点到准线的距离（焦参数）．
⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为．
⑧焦半径公式：
焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： （左焦半径）；（右焦半径）；
Ｐ
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（下焦半径）；（上焦半径）；

（规律：左加右减，上减下加．）
Ｆ２
Ｆ１

⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形
称焦点三角形；．（如何证明？）
（四）椭圆系方程（焦点在轴的上，中心在原点）
（1）共焦点的椭圆系：
注：若，则表示共焦点的双曲线系．
（2）离心率相同的椭圆系：．
注：若，则表示共渐进线的双曲线系．
三、精典例析
（一）活用定义
例1：椭圆上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．
解析：椭圆的离心率为，
根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：；
再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ．
例2：方程表示什么曲线？
解析：设，则原方程等价于：，
即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为，
故原方程表示以定点为焦点，以定直线为准线的椭圆．
例3：定点是的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点．
D
P
（1）求的范围；
P1
A
H
（2）求的最小值．
P2
Ｆ1
Ｆ2
解析：∵是的焦点，
∴．
（1）．
（2）．
引申：也适用于双曲线、抛物线．
例4：求过定点，以轴为准线、离心率为的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．
解析：设，则：，
，且，
故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是．
（二）焦半径公式
例5：椭圆，其上一点到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．
解析：由椭圆的焦半径公式，得：
，解得： ．
故所求椭圆方程为：．
例6：已知Ｐ为椭圆上的点，且Ｐ与的连线互相垂直，求Ｐ．
解析：由题意，得：＝64，，
∴Ｐ的坐标为．
例7：椭圆上能否找到一点，使得到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？
解析：椭圆的左准线是，若存在，设，则：
或，
∵，故不存在符合条件的点．
例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
解析：设椭圆方程为，焦半径是圆的直径，则：
，
∴两圆半径之差等于圆心距．
故以线段为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
（三）焦点三角形
P
曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．
例9：
证明：椭圆的焦点三角形中，
Ｆ２
Ｆ１

．
解析：在中，
，
∴，
∴；
在中，，
∴．
例10：已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点Ｐ在第三象限，且，求．
Ｆ1
Ｆ2
P
解析：（1）∵是和的等差中项．
∴，
∴， ∴．∴椭圆的方程为．
（２）设，则，
∵，
∴．
∴
∴ ，故，．
（四）对称问题
例11：在直线任取一点，过Ｍ且以的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．
Ｍ
Ｆ/2
解析：法1：待求椭圆的，其焦点在直线的同侧，关于直线的对称点为，则待求椭圆的长轴长为：
，
Ｆ1
Ｆ2
∴Ｍ为直线与的
焦点时，所作椭圆的长轴长最短；
，此时，，
故待求椭圆为：．
法2：设待求椭圆为：，则与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，
，
∵与椭圆相切，
∴，
又∵，∴，
故待求椭圆为：，此时，，即．
例12：已知椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求ｍ的取值范围．
解析：法1：∵点关于直线对称，
∴，设，则：
，
，，
∴；
∵的中点在直线上，
∴；
∴．
故ｍ的取值范围是．
法2：设，的中点，则：
，
∴的中点在上，则：
，
∵的中点在椭圆内，
∴．
故ｍ的取值范围是．
（五）范围（最值）问题
例13：已知椭圆与轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使，求椭圆离心率的取值范围．
解析：，设，
∵，
∴ ，
∴．
故．
例14：已知Ｂ是椭圆的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求的最大值．
解析：设，则：

（1）若时，；
（2）若时，．
综上，若时，；若时，．
（六）直线与椭圆相交问题
例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．
解析：（1）设椭圆的方程为，则：
，
故椭圆的方程为，离心率．
（2）解：，设直线PQ的方程为，，则：
，
∴；
又 ，
∵，
∴，
∵，∴，
∴．
故直线PQ的方程为或．
（3）证明：由已知得方程组
，
∵，
∴，
，
∴．
例16：椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，离心率，过点的直线交椭圆于A、B两点，且满足．
（1）若为常数，试用直线的斜率表示三角形的面积；
（2）若为常数，当三角形的面积取得最大值时，求椭圆E的方程．
解析：设椭圆方程为：，
∵，，∴，
故椭圆方程为：．
（1）直线交椭圆于，则：
，
∴，且；① ；②
∵，∴ ；③
∴，
由①③知：，∴．
（2），
当且仅当时，即时，S取得最大值．
当时，代入①②中，得：，
故所求为．
（七）定点（值）问题
例17：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线相交于A、B两点，且满足（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点．
解析：设椭圆的方程为：，则：
，

答：①尽可能地不使用一次性用品；②延长物品的使用寿命；③包装盒纸在垃圾中比例很大，购物时减少对它们的使用。∴，且，
∵，∴，

3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。∴．

15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。故椭圆过定点．

3、我们在水中发现了什么微生物呢？（P18）（八）综合应用
例18：过椭圆的中心的弦ＡＢ与轴所夹的锐角为，将坐标平面沿轴折成直二面角，求ＡＢ连线与轴成角．

答：连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。解析：作交椭圆于Ｃ，则关于轴对称，
Ａ
关于轴对称；翻折后，，据三垂线定理，
知：，则ＡＢ连线与轴成角就等于；

11、显微镜的发明，是人类认识世界的一大飞跃，把有类带入了一个崭新的微观世界。为了看到更小的物体，人们又研制出了电子显微镜和扫描隧道显微镜。电子显微镜可把物体放大到200万倍。Ｏ

4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。Ｄ
∵，，

6、重新使用是指多次或用另一种方法来使用已用过的物品，它也是减少垃圾的重要方法。Ｃ

4、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质——二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。Ｂ
∴，
故ＡＢ连线与轴成角为．
四、课后反思

2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。

．