2011年广东高考（文科）数学试题及答案.pdf

绝密启用前 试卷类型：试卷类型：B B 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）数学（文科）本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高 13VShSh线性回归方程中系数计算公式，ybxa121()()()niiiniixxyybxxaybx样本数据的标准差，12,nx xx222121()()()nsxxxxxxn其中，表示样本均值 xy是正整数，则 n1221()()nnnnnnabab aababb一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的 1设复数满足，其中 为虚数单位，则 z1iz iz A B C D ii11【解析】【解析】A.A.由题得由题得所以选所以选 A.A.1()iziiii 2已知集合为实数，且，为实数，且，则的元(,)|,Ax yx y221xy(,)|,Bx yx y1xyAB素个数为 A4 B3 C2 D1【解析】【解析】C.C.方法一：由题得方法一：由题得，所以选，所以选 C.C.10011122yxyxyxyx或)1,0(),0,1(|),(yxBA方法二：直接作出单位圆方法二：直接作出单位圆和直线和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选，观察得两曲线有两个交点，所以选 C.C.221xy1 yx3已知向量若为实数，则(1,2),(1,0),(3,4)abc()abcA B C1 D2 1412【解析】【解析】B.B.，)2,1()0,()2,1(ba()/abc210324)1(所以选所以选 B.B.4函数的定义域是 1()lg(1)1f xxxA B C D(,1)(1,)(1,1)(1,)(,)【解析】【解析】C.C.由题得由题得所以选所以选 C.C.），（）函数的定义域为（且11,1-110101xxxx5不等式的解集是 2210 xx A B C D 1(,1)2(1,)(,1)(2,)1(,)(1,)2【解析】【解析】D 由题得由题得或，则不等式的解集为21210(1)(21)02xxxxx 1x 1(,)(1,)2 6已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的动点，点 的xOyD0222xyxy(,)M x yDA坐标为，则的最大值为(2,1)zOM OA A3 B4 C D 3 24 2【解 析】【解 析】B B 由 题 知由 题 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域D 是 如 图 中 的 梯 形OABC,OABC,，所以就是求，所以就是求的最大值，的最大值，|cos3|cos3|zOM OAOMOAAOMOMAOMON|ON表示表示数形结合观察得当点数形结合观察得当点 M M 在点在点 B B 的地方时，的地方时，才最大。才最大。|ON方向上的投影，在OAOM|ON,所以所以222236124cos23236AOMAOM2在中，OA=2+1=3,OB=2=6,AB=2-1=1,2 3正视图图 1侧视图图 22俯视图2图 3，所以选择，所以选择 B B 423263maxz 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A20 B15 C12 D10【解析】【解析】D D 正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条 5 2108设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为 C22(3)1xy0y CA抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆【解 析】【解 析】A.A.设 圆设 圆 C C 圆 心圆 心 C C，半 径 为，半 径 为 R,A(0,3),R,A(0,3),点点 C C 到 直 线到 直 线 y=0y=0 的 距 离 为的 距 离 为|CB|CB|，由 题 得，由 题 得),(yx,所以圆所以圆 C C 的圆心的圆心 C C 轨迹是抛物线，所以选轨迹是抛物线，所以选 A.A.1811)3(11|222xyyyxyRCA9如图 1 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A B 4 34C D 2 32 【解析】【解析】C.C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCDP-ABCD，所所，棱锥的高，3232322131331233231222VPOhAO以选择以选择 C.C.10设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，(),(),()f x g x h xR()fg()x()f g()xxR；，则下列等式恒成立的是()fg()x()f g x()f g()x()()f x g xA()fgh)()x()f h()g h)()xB()f gh)()x()fh()g h)()xC()fgh)()x()fg()gh)()xD()f gh)()x()f g()g h)()x【解析】【解析】B.B.对 A 选项 ()fgh)()x()fg()()x h x()()f g x h x()f h()g h)()x()f h()()g hx)()f h()()g x h x)，故排除 A()()()()f g x h x h g x h x对 B 选项 ()f gh)()x()()f g h x()()f h x g h x，故选 B()fh()g h)()x()()()()fh x g h x()()f h x g h x对 C 选项 ()fgh)()x()()fg h x()f g h x()fg()gh)()x()()()()()fggh xfgg h x，故排除 C()f g g h x对 D 选项 ()f gh)()x()()()()()()f gx h xf x g x h x，故排除 D()f g()g h)()x()()()()()()()()f gx g h xf x g x g x h x二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分（一）必做题（一）必做题（9 9 1313 题）题）11已知是递增的等比数列，若，则此数列的公比 na22a 434aaq【解析】【解析】2 或 2243224422402(2)(1)0aaa qa qqqqq2q1q 是递增的等比数列，na2q 12设函数若，则 3()cos1f xxx()11f a()fa【解析】【解析】9图 4BACDEF，即，3()cos111f aaa 3()cos10f aaa则 33()()cos()1cos110 19faaaaa 13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：xy时间 x1 2 3 4 5 命中率 y0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 【解析】【解析】0.5;0.530.5;0.53 由题得小李这由题得小李这 5 5 天的平均投篮命中率为天的平均投篮命中率为 5.054.06.06.05.04.0 5.054.06.06.05.04.0,3554321yx22222(1 3)(0.40.5)(23)(0.50.5)(33)(0.60.5)(43)(0.60.5)(53)(0.40.5)0.01(1 3)(23)(33)(43)(53)0.50.01 30.470.010.4760.01 60.47=0.53666baybxybxaxxy 时，第 个同学 号打篮球 个0.53.小时投篮的命中率为（二）选做题（二）选做题（1414 1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 5cossinxy(0)254xtyt(t)R，它们的交点坐标为_【解析】【解析】2 5(1,)5表示椭圆，表示抛物线 5cossinxy2215xy(5501)xy且254xtyt245yx或（舍去），22221(5501)5450145xyxyxxxyx且5x 又因为，所以它们的交点坐标为 01y2 5(1,)515（几何证明选讲选做题）如图 4，在梯形中，ABCDABCD，分别为上的点，且，4AB 2CD,E F,AD BC3EF，则梯形与梯形的面积比为_ EFABABFEEFCD【解析】【解析】如图，延长，75,AD BCADBCP ，23CDEF49PCDPEFSS ，24CDAB416PCDPEFSS 75ABEFEFCDSS梯形梯形 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12 分）已知函数，1()2sin()36f xxxR（1）求的值；(0)f（2）设，求的值,0,2 10(3)213f6(32)5fsin()【解析】【解析】（1）(0)2sin()16f（2），即 110(3)2sin(3)2sin232613f5sin13，即 16(32)2sin(32)2sin()3625f3cos5，,0,2，212cos1 sin1324sin1 cos5 5312463sin()sincoscossin1351356517（本小题满分 13 分）在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分用表示编号为的同学所得成绩，且前nxn(1,2,6)n 5 位同学的成绩如下：编号 n1 2 3 4 5 PBACDEFBABACCDDEEGH1O2O1O2O图 5BABACCDDEEGH1O2O1O2OH成绩 nx70 76 72 70 72（1）求第 6 位同学的成绩，及这 6 位同学成绩的标准差；6xs（2）从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中的概率【解析】【解析】（1），解得 61(7076727072)756x690 x 标准差 22222222212611()()()(5135315)766sxxxxxx（2）前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为，且(,)a b,1,2,3,4,5a bab则基本事件有，共 10 种(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)这 5 位同学中，编号为 1、3、4、5 号的同学成绩在区间（68，75）中 设 A 表示随机事件“从前 5 位同学中随机选出 2 位同学，恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中”则 A 中的基本事件有、共 4 种，则(1,2)(2,3)(2,4)(2,5)42()105P A 18（本小题满分 13 分）图 5 所示的几何体是将高为 2，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的分别为,的中点，分别为,A A B BCDC D DED E 1122,O O O OCDC D,的中点 DED E（1）证明：四点共面；12,OA O B（2）设为中点，延长到，使得证明：平面 GAA1A OH11O HA O2BOH B G 【解析】【解析】证明：（1）连接 2,BO22,O O依题意得是圆柱底面圆的圆心 1122,O O O O是圆柱底面圆的直径,CD C D DE D E 分别为,的中点,A B BC D DED E 1290A O DB O D 1A O2BO，四边形是平行四边形 BB/22O O22O O B B 2BO2BO 1A O2BO四点共面 12,OA O B（2）延长到，使得，连接 1A OH11O HAO1,HH HOHB 11O HA O，四边形是平行四边形 1O H/2O B12O O B H 12O OH B ，1222O OO O122O OB O2222O OB OO面 12O O22O O B B面，面 H B 22O O B B2BO22O O B B 2BOH B 易知四边形是正方形，且边长 AA H H2AA，11tan2HHHO HO H1tan2A GA H GA H 1tantan1HO HA H G 190HO HA H G 1HOH G易知，四边形是平行四边形 12O O/HB12O O BH 2BO1HO，2BOH GH GH BH 平面 2BOH B G 19（本小题满分 14 分）设，讨论函数的单调性 0a 2()ln(1)2(1)f xxaa xa x【解析】【解析】解：函数的定义域为()f x(0,)212(1)2(1)1()2(1)2(1)aa xa xfxaa xaxx令 2()2(1)2(1)1g xaa xa x 224(1)8(1)121644(31)(1)aaaaaaa 当时，令，解得 103a0()0fx1(31)(1)2(1)aaaxaa则当或时，1(31)(1)02(1)aaaxaa1(31)(1)2(1)aaaxaa()0fx当时，1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)aaaaaaxaaaa()0fx则在，上单调递增，()f x1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa1(31)(1)(,)2(1)aaaaa在上单调递减 1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)aaaaaaaaaa 当时，则在上单调递增 113a0()0fx()f x(0,)当时，令，解得 1a 0()0fx1(31)(1)2(1)aaaxaa，0 x 1(31)(1)2(1)aaaxaa 则当时，1(31)(1)02(1)aaaxaa()0fx当时，1(31)(1)2(1)aaaxaa()0fx则在上单调递增，在上单调递减()f x1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa1(31)(1)(,)2(1)aaaaa20（本小题满分 14 分）设，数列满足，0b na1ab111nnnnbaaan(n2)（1）求数列的通项公式；na（2）证明：对于一切正整数，n2na11nb【解析】【解析】（1）解：111nnnnbaaan 111nnnabanan 1111nnnnab ab 当时，则是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 1b 111nnnnaanna，即 1(1)1nnnna 1na 当且时，0b 1b 11111()11nnnnabb ab当时，1n 111(1)nnabbb是以为首项，为公比的等比数列 11nnab1(1)bb1b 111()11nnnabbbxyO2x APlMMxyO2x TNlHNHHxyOTA1l1l1l 111(1)1(1)nnnnnbab bbb b(1)1nnnnb bab综上所述(1),01111nnnnb bbbabb且，（2）证明：当时，；1b 1212nnab 当且时，0b 1b 211(1)(1)nnnbbbbb要证，只需证，121nnab12(1)11nnnnb bbb即证 2(1)11nnnbbbb即证 21211nnnnbbbbb即证 211()(1)2nnnbbbbnb即证 21121111()()2nnnnbbbbnbbbb 21121111()()nnnnbbbbbbbb 21211111()()()()nnnnbbbbbbbb，原不等式成立 2121111122222nnnnbbbbnbbbb对于一切正整数，n2na11nb21（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系上，直线：交轴于点设是 上一点，是线段的垂直平分线xOyl2x xAPlMOP上一点，且满足 MPOAOP（1）当点在 上运动时，求点的轨迹的方程；PlME（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；(1,1)THEHOHTH（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值(1,1)Ty1lE1lk范围【解析】【解析】解：（1）如图所示，连接，则 OMPMOM，MPOAOP 动点满足或在的负半轴上，设 MMPlMx(,)M x y 当时，MPl2MPx22OMxy，化简得 222xxy244yx(1)x 当在的负半轴上时，Mx0y(1)x 综上所述，点的轨迹的方程为或 ME244yx(1)x 0y(1)x （2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴 M(1,0)x0y(1)x 若是抛物线上的动点，过作于 HHHNlN由于 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 lHOHN则 HOHTHNHT当三点共线时，有最小值,N H THNHT3TN 求得此时的坐标为 H3(,1)4 若是的负半轴上的动点 Hx0y(1)x 显然有 3HOHT综上所述，的最小值为 3，此时点的坐标为 HOHTH3(,1)4（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率(1,0)A AT12ATk 点在抛物线内部，(1,1)T过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点 T,x y1l则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：1lE 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点 12k 1lE 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点 102k1lE 当时，直线与轨迹有且只有一个交点 0k 1lE 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点 0k 1lE综上所述，直线的斜率的取值范围是1lk1(,(0,)2