中值定理.pptx

第三章第三章中值定理与导数应用中值定理与导数应用3.1、中值定理、中值定理I、知识要点、知识要点一、罗尔定理一、罗尔定理二二、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理四、四、泰勒公式泰勒公式1、带拉格朗日余项的泰勒公式、带拉格朗日余项的泰勒公式2、带皮亚诺余项的泰勒公式、带皮亚诺余项的泰勒公式f(x)在在x0处处f（n）(x0)存在，则有存在，则有即即Rn（x）=o（xx0）n）n阶泰勒公式的佩亚诺余项阶泰勒公式的佩亚诺余项3、基本初等函数的麦克劳林公式、基本初等函数的麦克劳林公式II、典型例题、典型例题一、利用中值定理证明中值等式一、利用中值定理证明中值等式1、利用罗尔定理证明中值等式、利用罗尔定理证明中值等式例例1、两边积分两边积分常用辅助函数：常用辅助函数：xkf(x)，exf(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)kf(x)，2利用拉格朗日、柯西中值定理利用拉格朗日、柯西中值定理例例2、(2)设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，证明：存在一点证明：存在一点,(a,b)使使证证在在a，b上由拉格朗日中值定理得上由拉格朗日中值定理得在在a，b上由柯西中值定理得上由柯西中值定理得由由(1),(2)得得3利用拉格朗日结合介值定理利用拉格朗日结合介值定理证明证明二、函数恒等式的证明二、函数恒等式的证明所以所以f（x）=Cex，再由，再由f（0）=1C=1，所以所以f（x）=ex。例例1、三、泰勒公式三、泰勒公式(带佩亚诺余项的麦克劳林公式带佩亚诺余项的麦克劳林公式)用用于极限运算于极限运算例例12、泰勒公式用于无穷小的阶的估计、泰勒公式用于无穷小的阶的估计3、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数例例1f（x）在）在x=0的某邻域内二阶可导，且有的某邻域内二阶可导，且有求求解解由题设可得由题设可得3.2、洛必达法则、洛必达法则I、知识要点、知识要点一、一、(洛必达洛必达LHospital法则法则)二、二、方法方法:将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为步骤步骤:化为化为步骤步骤:经过通分、变量代换化为经过通分、变量代换化为步骤步骤:II、典型例题、典型例题方方法法：先先化化简简（初初等等变变换换、等等价价无无穷穷小小替替换换、非非零零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则一、一、利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限解：解：例例2例例3解解解法一：解法一：原极限原极限解法二：先求解法二：先求:原极限原极限注：数列极限利用函数极限来求注：数列极限利用函数极限来求例例 5、例例6设设f(x)在在x0二阶可导，求二阶可导，求解解：但不可再用洛必达法则，但不可再用洛必达法则，下一步应利用二阶导数定义下一步应利用二阶导数定义：