Lyapunov稳定性.pptx

第三章第三章 Lyapunov稳定性理论稳定性理论1.Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义2.Lyapunov稳定性的定理稳定性的定理3.线性系统线性系统Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.非线性系统非线性系统Lyapunov稳定性分析稳定性分析5.应用实例：在应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义控制系统的首要条件：控制系统的首要条件：稳定稳定线性定常系统：线性定常系统：Nyquist稳定判据，稳定判据，Routh判判据等据等线性时变与非线性：线性时变与非线性：Lyapunov第二法第二法（无需（无需求出系统的解，但构造求出系统的解，但构造Lyapunov函数困难）函数困难）逐点法逐点法 与与 域的方法域的方法1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 系统状态方程的解系统状态方程的解状态空间中的一条轨迹（曲线）。状态空间中的一条轨迹（曲线）。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 系统的平衡状态系统的平衡状态1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 坐标变换坐标变换主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的稳定性。稳定性。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 超球域（欧几里德范数）超球域（欧几里德范数）n2：圆；：圆；n3：球。：球。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 标量函数的正定性标量函数的正定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 判断以下标量函数的正定性判断以下标量函数的正定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Sylvester准则：判断二次型标量函数的正定性准则：判断二次型标量函数的正定性2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第一法第一法2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第一法第一法2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第二法第二法基本思路：系统能量衰减基本思路：系统能量衰减系统将达到静止状态系统将达到静止状态如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小Lyapunov函数（能量函数）：函数（能量函数）：V(X,t)或或 V(X)无需求解系统的状态方程无需求解系统的状态方程2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-12、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-12、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-12、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-12、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-22、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-22、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-22、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-32、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-32、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-42、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理-42、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第二法第二法能够找到能够找到Lyapunov函数（能量函数）并判断出系统是函数（能量函数）并判断出系统是稳定的，则系统必为稳定；稳定的，则系统必为稳定；若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不稳定。稳定。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理3、线性系统的、线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析3、线性系统的、线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 确定使系统渐近稳定的确定使系统渐近稳定的K的范围的范围4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析线性系统：局部渐近稳定大范围渐近稳定；线性系统：局部渐近稳定大范围渐近稳定；非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是渐近稳定。渐近稳定。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析找出原点周围最大找出原点周围最大范围内满足稳定条范围内满足稳定条件的能量函数。件的能量函数。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法变量梯度法变量梯度法Lure型型Lyapunov函数函数4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 Lure非线性控制系统非线性控制系统即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统的反馈控制，这就使得该非线性系统具有反馈控制系统的形的反馈控制，这就使得该非线性系统具有反馈控制系统的形式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的鲁里叶问题鲁里叶问题。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 Lure非线性控制系统非线性控制系统逐点法逐点法域的方法域的方法4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用 次同步谐振次同步谐振SSR:subsynchronous resonance 次同步振荡次同步振荡SSO:subsynchronous oscillation1970和和1971年，美国年，美国mohave电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电流中包含流中包含30.5Hz的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。汽轮发电机带串联补偿，汽轮发电机带串联补偿，SSR，轴系扭振，轴系扭振各种开关操作、各种开关操作、HVDC、PSS、SVC等都可能引起，等都可能引起，SSO我国：我国：1980年代发生了几次；目前比较严重，尤其是年代发生了几次；目前比较严重，尤其是TCSC的线路的线路5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用l SSR/SSO5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用IEEE工作组工作组第一标准模型第一标准模型l SSR/SSO5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用SSR/SSOl IEEE第二标准模型第二标准模型5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用 Lyapunov第二法第二法基于鲁里叶型基于鲁里叶型Lyapunov 函数的电力系统函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析次同步谐振稳定运行域的分析SSR SSR SSR SSR 的的的的IEEE IEEE IEEE IEEE 第一基准轴系模型：第一基准轴系模型：第一基准轴系模型：第一基准轴系模型：D D1 1-D-D6 6:分别为对应轴系的自阻尼系数；分别为对应轴系的自阻尼系数；k k1 1-k-k5 5:为相邻两段轴系间的弹性系数；为相邻两段轴系间的弹性系数；MM1 1-M-M6 6:分别为对应轴系的转动惯量分别为对应轴系的转动惯量轴系运动方程：轴系运动方程：轴系运动方程：轴系运动方程：基于鲁里叶型基于鲁里叶型 Lyapunov Lyapunov 函数的电力系统次同步函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析谐振稳定运行域的分析式中：式中：i i=1,2,3,4,5,6;=1,2,3,4,5,6;k k0 0=k k6 6=0;=0;T T5 5=-=-P P0 0sin ;sin ;T T6 6=0;=0;T Ti i为对应段的输入转为对应段的输入转矩或功率；矩或功率；，为对应的转角和角速度；为对应的转角和角速度；,为工频。为工频。为了求得轴系平衡点，令为了求得轴系平衡点，令 ，只有当，只有当 时轴系才有稳定运行点，其中，时轴系才有稳定运行点，其中，此时轴系存在两类似孤立的以，此时轴系存在两类似孤立的以2 2 为周期的平衡点，分别为为周期的平衡点，分别为只有只有 是稳定的，仅是稳定的，仅需考察在其邻域内的局部渐进稳定性。需考察在其邻域内的局部渐进稳定性。令：令：，轴系方程可改写为，轴系方程可改写为仅当仅当 时，才是时，才是LureLure控制系统，要求控制系统，要求改写为标准的改写为标准的LureLure控制系统：控制系统：对于对于LureLure系统，可构造如下的系统，可构造如下的LyaponovLyaponov函数函数成立的充分条件是：成立的充分条件是：由于由于A A A A 矩阵是正半定，故条件（矩阵是正半定，故条件（1 1）成立。条）成立。条件（件（8 8）成立的充分条件是）成立的充分条件是由于由于 ，故可取故可取 和和 ，以上条件简化，以上条件简化为：为：只要以上条件成立，则构造的即为只要以上条件成立，则构造的即为LyapunovLyapunov函数。函数。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO:Low frequency oscillation由于系统本身的阻尼不足，很小的扰动就可能使由于系统本身的阻尼不足，很小的扰动就可能使一些阻尼很弱的模态激发出来，表现为发电机转一些阻尼很弱的模态激发出来，表现为发电机转子角之间的摇摆，联络线上的功率持续振荡。子角之间的摇摆，联络线上的功率持续振荡。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l电网规模越来越大电网规模越来越大l区域电网互联区域电网互联l高增益励磁调节器的广泛使用高增益励磁调节器的广泛使用 低频振荡增多的原因低频振荡增多的原因1996.8.10 美国美国 WECC大停电大停电典型的由于低频振荡造成的大面积停电事故典型的由于低频振荡造成的大面积停电事故我国：我国：随着大区联网随着大区联网的出现，低频振荡现的出现，低频振荡现象也逐渐增多，其严象也逐渐增多，其严重性甚至超过暂态稳重性甚至超过暂态稳定性，成为系统安全定性，成为系统安全稳定运行主要障碍。稳定运行主要障碍。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用10.29：2005年年10月月29日日22:2122:26（振荡频率（振荡频率0.77Hz,鄂西北存在弱阻尼鄂西北存在弱阻尼振荡模式）振荡模式）7.1：2006年年7月月1日日21:0021:06（振荡频率（振荡频率1.12Hz,河南河南500kV系统系统故障）故障）5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 特征值法（特征值、特征向量、阻尼比、相关因子）特征值法（特征值、特征向量、阻尼比、相关因子）目前电力系统认为：阻尼比大于目前电力系统认为：阻尼比大于3 3即表明系统阻即表明系统阻尼较强。尼较强。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 振荡衰减到振荡衰减到1010所需的周波数为所需的周波数为阻尼比阻尼比/201053210.5振荡周波数振荡周波数248131937745、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 阻尼比为阻尼比为3 3时振荡衰减到时振荡衰减到1010所需的时间所需的时间振荡频率振荡频率(Hz)3210.7 0.5 0.2 0.13 0.1衰减时间衰减时间(s)4.3 6.513192665100 1305、应用实例：在、应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO:Low frequency oscillation阻尼比为阻尼比为3时的振荡衰减曲线时的振荡衰减曲线5、应用实例：在、应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO:Low frequency oscillation阻尼比为阻尼比为3时的振荡衰减曲线时的振荡衰减曲线湖北电网的斗孝线功率振荡现象湖北电网的斗孝线功率振荡现象田口法的关键是正交表和信噪比（田口法的关键是正交表和信噪比（R RSNRSNR）正交表工具用来确定实验的方式和次数，正交表可记为正交表工具用来确定实验的方式和次数，正交表可记为L Lc c(a(ab b)，全介正交表满足，全介正交表满足c=abc=abL L：表示正交表：表示正交表c c：表示总共要做表示总共要做c c次实验次实验a a：表示每个因素都有表示每个因素都有a a个水准个水准B B：表示最多可考虑表示最多可考虑b b个因素个因素田口法通过将因素的变化视为噪声，以一种新的指标田口法通过将因素的变化视为噪声，以一种新的指标(信噪比信噪比)来表示系统的鲁棒来表示系统的鲁棒性能，性能，SNR SNR 越大表示鲁棒性能越好越大表示鲁棒性能越好基于田口法与基于田口法与基于田口法与基于田口法与LyapunovLyapunovLyapunovLyapunov函数的鲁棒性函数的鲁棒性函数的鲁棒性函数的鲁棒性PSSPSSPSSPSS参数设计参数设计参数设计参数设计式中：式中：r r为实验次数；为实验次数；y y为品质特性指为品质特性指标，分别适用于品质特性指标越小标，分别适用于品质特性指标越小越好越好(lower is better(lower is better，LB)LB)、一般最好、一般最好(nominal is best(nominal is best，NB)NB)和越大越好和越大越好(higher is better(higher is better，HB)HB)的不同问题的的不同问题的应用。应用。基于基于基于基于LyapunovLyapunov函数的系统稳定性指标函数的系统稳定性指标函数的系统稳定性指标函数的系统稳定性指标 电力系统动态特性可描述为电力系统动态特性可描述为式中：式中：x x为状态向量；为状态向量；u u为外部输入向量。为外部输入向量。在研究系统小干扰稳定性时，在平衡点通过泰勒级数展开式并略去二阶在研究系统小干扰稳定性时，在平衡点通过泰勒级数展开式并略去二阶及高阶项，这样线性化后能够得到及高阶项，这样线性化后能够得到式中：式中：考虑没有外部输入，此时的系统方程为考虑没有外部输入，此时的系统方程为 可见，在进行小干扰稳定性分析时，在运行点附近，电力系统可以近似看可见，在进行小干扰稳定性分析时，在运行点附近，电力系统可以近似看作一个线性定常连续系统。作一个线性定常连续系统。采用二次型采用二次型LyapunovLyapunov函数函数J Jopop来表征系统在小干扰情况下的稳定性能：来表征系统在小干扰情况下的稳定性能：式中：式中：x x为状态变量向量；为状态变量向量；Q Q为权重矩阵。为权重矩阵。基于基于PSSPSS参数优化的特点，比较关注的是与发电机转速参数优化的特点，比较关注的是与发电机转速 有关的信息，因此有关的信息，因此将将Q Q 取为一个取为一个n n 阶方阵阶方阵(n n 为状态矩阵的阶数为状态矩阵的阶数)，其对应状态方程中发电机转速变，其对应状态方程中发电机转速变化量化量 的行和列的对角线上的元素为的行和列的对角线上的元素为 1 1，其余元素均为零。，其余元素均为零。该式反映的是整个系统在运行点附近对于发电机转速变化该式反映的是整个系统在运行点附近对于发电机转速变化 的稳定性能指的稳定性能指标，因此需要通过最小化标，因此需要通过最小化J Jop op 来得到最好的稳定品质。来得到最好的稳定品质。根据李雅普诺夫第二法，线性连续定常系统在平衡点根据李雅普诺夫第二法，线性连续定常系统在平衡点x x =0=0 为大范围渐进稳为大范围渐进稳定的充要条件是：对于给定的正定实对称矩阵定的充要条件是：对于给定的正定实对称矩阵Q Q，必存在正定的实对称矩阵，必存在正定的实对称矩阵P P，满足如下李雅普诺夫方程，满足如下李雅普诺夫方程对应的能量函数对应的能量函数 及其导数及其导数 为为LyapunovLyapunov函数函数J Jopop可改写为可改写为 由于系统是渐进稳定的，因此由于系统是渐进稳定的，因此 x x =0=0，基于线性定常的假设，可进一步简，基于线性定常的假设，可进一步简化为化为式中：式中：P P 为一个正定实对称矩阵，为一个正定实对称矩阵，x x(0)(0)为状态变量的初始值向量。为状态变量的初始值向量。基于田口法信噪比的目标函数：基于田口法信噪比的目标函数：基于田口法信噪比的目标函数：基于田口法信噪比的目标函数：PSSPSS参数优化设计模型参数优化设计模型参数优化设计模型参数优化设计模型PSSPSS采用两级相同的领先采用两级相同的领先滞后环节，其传递函数为滞后环节，其传递函数为式中：式中：K KS S 为为 PSSPSS的放大倍数；的放大倍数；T Tw w为隔直环节时间常数；为隔直环节时间常数；T T1 1、T T2 2 2 2 个时间常个时间常数用来协调控制稳定器的领先滞后角度，其输入为取自发电机的转速偏数用来协调控制稳定器的领先滞后角度，其输入为取自发电机的转速偏差差 。在参数配置时，。在参数配置时，T Tw w一般取一个固定值，取为一般取一个固定值，取为 10 s10 s，待设计参数为：，待设计参数为：K KS S、T T1 1和和T T2 2。因此，可建立参数优化模型因此，可建立参数优化模型进而，可采用遗传算法等优化算法求解。进而，可采用遗传算法等优化算法求解。PSSPSSPSSPSS参数优化流程参数优化流程参数优化流程参数优化流程改变A改变改变K KS S、T T1 1和和T T2 2获得获得K KSoptim Soptim、T T1 1ptimptim和和T T2 2ptimptim寻优