2015年广东高考（理科）数学（原卷版）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．若集合，，则
A． B． C． D．

2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则=
A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．

4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所
取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．1 B. C. D.

5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是
A．或 B. 或
C. 或 D. 或
6．若变量x，y满足约束条件则的最小值为
A． B. 6 C. D. 4
7．已知双曲线C：的离心率e=，且其右焦点F2( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为 （ ）
A． B. C. D.
8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3

二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9-13题）

9．在的展开式中，x的系数为 。

10．在等差数列{}中，若，则= 。

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =，sinB=，C=，则b = 。

12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）

13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写
了 条毕业留言。（用数字做答）

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为 A(,)，则点A到直线l的距离为 。

15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，
BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。
（1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为，求x的值。

17． （本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差；
（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？

18．（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，，.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且，.
（1）证明：；
（2）求二面角的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

19．（本小题满分14分）
设a>1，函数。
(1) 求的单调区间 ；
(2) 证明：在（，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：

20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）
数列满足 , .
(1) 求的值；
(2) 求数列前n项和Tn；
(3) 令，（），证明：数列{}的前n项和
满足

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