巧用30°妙解题.docx

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巧用30°妙解题
□ 山东 侯怀有
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个性质是由等边三角形的性质得出来的，体现了直角三角形的性质，可以解决直角三角形中的有关计算问题.下面举例说明它的应用.
例1 如图1，在△ABC中，AB=a，∠A︰∠B︰∠ACB=1︰2︰3，CD⊥AB于点D，则DB等于（ ）
A. B. C. D.
解析：由已知条件，可设∠A=x°，则∠B=2x°，∠ACB=3x°，由三角形内角和定理，得x+2x+3x=180，解得x=30.所以∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，∠A=30°，所以.
因为CD⊥AB，∠B=60°，所以∠BCD=30°.
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，所以.故选A.
点评：在含30°角的直角三角形中，若已知一边则可求其他边.
例2 如图2，在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长.
图2
解析：因为AB=AC，AD是△ABC的中线，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°.
因为AE是∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°.
因为DF∥AB，所以∠F=∠BAE=30°.所以∠DAE=∠F=30°.所以AD=DF.
因为∠B=90°-60°=30°，所以AD=AB=×9=4.5.所以DF=4.5．