“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编).doc

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小

4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的 周长最小。

5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小

6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小

二、常见题型
三角形问题
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值
A
M
E
H
解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B， A
E
M
∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，
过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，
则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，

BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3

在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B
= (3 3)2 + 12 = 2 7
D C B D C

2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，

则 BM+MN 的最小值是 ．

解：作点 B 关于 AD 的对称点 B'，
过点 B'作 B'E⊥AB 于点 E，交 AD 于点 F， 则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值 在等腰 Rt△AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E = 4

C
B'

M F D

A N E B

3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值

C
M
30°
解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，
过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点 M， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN
B'N 的长就是 MB+MN 的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，

∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
∴AN = 1
在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N = 3
A
N 2 B

M

30°
B'

C

A
N 2 B

正方形问题
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，丐 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为 _。
N
即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小 A D

解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，
交 AC 于点 N。则 DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ M
线段ＢＭ的长就是 DN＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８， 则ＢＭ＝１０
故 DN＋ＭＮ的最小值是１０ B C

2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

E
P
A．2 3 B．2 6 C．3 D． 6 A D

解：即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小
点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B，
连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，

BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3 B C

3．在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的

最小值为 _㎝（结果不取近似值）. 解：在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小
∵点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，
∴连接 DQ，与 AC 的交点 P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ
故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值
在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ = 5

A D

P

B Q C

4．如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；

解：连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值
A D
在直角△ABE 中，求得 AE 的长为 5 5

B E C

矩形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+ PD 的最小值；
C'
H
P
解：作点 C 关于 BD 的对称点 C'，过点 C'，
作 C'B⊥BC，交 BD 于点 P，则 C'E 就是 PE+PC 的最小值
20 A D
直角△BCD 中，CH =
5

直角△BCH 中，BH = 8 5

△BCC'的面积为：BH×CH = 160
∴ C'E×BC = 2×160 则 CE' = 16
B E C

菱形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE

的最小值；
解：点 C 关于 BD 的对称点是点 A， 过点 A 作 AE⊥BC，
交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰△EAB 中，求得 AE 的长为 5 2
A

B P D E
C

梯形问题
1．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA+PD 取最小值时，△
APD 中边 AP 上的高为（ ）

17
17
A、 2 B、 4 C、
 8 17
D、3 A D

17 17 17

解：作点 A 关于 BC 的对称点 A'，连接 A'D，交 BC 于点 P
则 A'D = PA'+PD = PA+PD
A'D 的长就是 PA+ PD 的最小值 S△APD = 4
在直角△ABP 中，AB = 4，BP = 1 根据勾股定理，得 AP = 17


B P C

4
∴AP 上的高为：2× =
17
8 17
17
A'

圆的有关问题

︵
1．已知⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是AD的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并
求 BP+AP 的最小值．
解：在直线 CD 上作一点 P，使 PA+ PB 的值最小 A
作点 A 关于 CD 的对称点 A'，连接 A'B， B
交 CD 于点 P，则 A'B 的长就是 PA+ PB 的最小值
连接 OA'，OB，则∠A'OB=90°， C D
OA' = OB = 4 O P
根据勾股定理，A'B = 4 2

A'

2．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为( )

A 2 2 B 2 C 1 D 2
A
解：MN 上求一点 P，使 PA+PB 的值最小
作点 A 关于 MN 的对称点 A'，连接 A'B，交 MN 于点 P， B
则点 P 就是所要作的点
A'B 的长就是 PA+PB 的最小值 M N O P
连接 OA'、OB，则△OA'B 是等腰直角三角形

∴ A'B = 2
A'

一次函数问题

20．一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PC＋PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点 坐标．
y
B
D
P
x
C'
O
C
A
解：(1)由题意得：0 = 2x+b，4 = b 解得 k = -2，b= 4，
∴ y = -2x+4
(2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C'，连接 C'D，交 y 轴于点 P 则 C'D = C'P+PD = PC+PD
C'D 就是 PC+PD 的最小值
连接 CD，则 CD = 2，CC' = 2
在直角△C'CD 中，根据勾股定理 C'D = 2 2 求直线 C'D 的解析式，由 C'(-1，0)，D(1，2)
∴，有 0 = -k+b，2 = k+b 解得 k = 1，b = 1，
∴ y = x+1
当 x = 0 时，y =1，则 P(0，1)

二次函数问题
1．如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB.
（1）求点 B 的坐标；
（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；
y
B
C
x
A
O
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 周长最小？若存在求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)B(1， 3 )

(2) y =
3 2 3
x2 + x
3 3

(3)∵点 O 关于对称轴的对称点是点 A，则连接 AB， 交对称轴于点 C，则△BOC 的周长最小

3
y = x2 + 3
2 3 3
x ，当 x=-1 时，y =
3 3

3
∴C(-1， ) 3

2．如图，在直角坐标系中，A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直 线 l，D 为直线 l 上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作圆 A；
解：（1）①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与圆 A 相切；
②写出直线 BD 与圆 A 相切时，点 D 的另一个坐标。
（2）连接 BC，交直线 l 于点 D，则 DA+DC = DB+DC = BC， BC 的长就是 AD+DC 的最小值
BC：y = -x + 3
则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D(1，2)，
y

C

D

A O B x

3．抛物线 y = ax2+bx+c(a≠0)对称轴为 x = -1，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(-3，0)、C(0，-2)
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得△PBC 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE∥PC 交 x 轴于点 E，连接 PD、PE．设 CD 的长为 m，△PDE 的面积为 S．求 S 与 m 之间的函数关系式．
y
O
x
A
B
P
C
试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

b
ïì2a = 1 (1)由题意得í
9a-3b+c = 0

2
解得 a =
3

4
，b =
3

，c = - 2

î
ï
c = -2

∴抛物线的解析式为 y =
2
x2 + 3
4
x - 2
3

y
E
O
x
A B
D

P
C
(2)点 B 关于对称轴的对称点是点 A，连接 AC 交对称轴于点 P，则△PBC 的周长最小 设直线 AC 的解析式为 y = kx +b，∵A(-3，0)，C(0，-2)，则

ïì0 = -3k + b
í
îï-2 = b
2
解得 k = -
3


，b = -2

2
∴直线 AC 的解析式为 y = -
3

4

x – 2

4

把 x = -1 代入得 y = -
3
，∴P(-1，- ) 3

(3)S 存在最大值

OE
∵DE∥PC，∴ = OA
OD OE
，即 =
OC 3
2-m
2

OE = 3 -

3 3
m ，AE = OA–OE = m 2 2

方法一，连接 OP
S = S 四边形 PDOE – S△OED = S△POE + S△POD – S△OED

1
= ×(3 -
2
3 4
m)× +
2 3
1
×(2 - m)×1 - 2
1
×(3 -
2
3
m)×(2 - m) 2

3
= - m2 + 4
3
m = - 2
3 3
(m-1)2 +
4 4

3
∴，当 m = 1 时，S 最大 =
4

方法二，
S = S△OAC – S△AEP – S△OED – S△PCD

3 3
= - m2 + m =
3
- (m-1)2 +
3
4 2
4
4