双星问题试题及答案.doc

双星问题

一．解答题（共7小题）
1．（2015秋•南京校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T．

2．（2015•大庆校级模拟）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

3．（2015•万州区模拟）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运动的周期．

4．（2015秋•重庆校级月考）如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为mA、mB．
（1）求B的周期和速率．
（2）A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用mA、mB表示）（　　）

5．（2015春•重庆期末）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．
（1）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小；
（2）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球同步通信卫星的轨道半径．

6．（2015春•抚顺期末）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．求两星球做圆周运动的周期．

7．（2015春•澄城县期末）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀速圆周运动，求：
（1）卫星的线速度；
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期．

一．解答题（共7小题）
1．（2015秋•南京校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T．

【考点】万有引力定律及其应用；向心力．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律的应用专题．
【分析】（1）（2）由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力即可．
（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；
（4）三星体做圆周运动的周期T相等，写出C的向心加速度表达式即可求出．
【解答】解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：

方向如图，则合力的大小为：
（2）同上，B星受到的引力分别为：，，方向如图；

沿x方向：
沿y方向：
可得：=
（3）通过对于B的受力分析可知，由于：，，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：
（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星：
整理得：
答：（1）A星体所受合力大小是；（2）B星体所受合力大小是；（3）C星体的轨道半径是；（4）三星体做圆周运动的周期T是．
【点评】该题借助于三星模型考查万有引力定律，其中B与C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的．画出它们的受力的图象，在结合图象和万有引力定律即可正确解答．

2．（2015•大庆校级模拟）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
【考点】万有引力定律及其应用．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律的应用专题．
【分析】明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
【解答】解：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．
=
所以可得星体运动的线速度
v=
星体运动的周期
T=
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，

由万有引力定律和牛顿第二定律得：
= ②
又周期T=
所以可解得：l=．
答：（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度为，周期为；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为．
【点评】万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．

3．（2015•万州区模拟）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运动的周期．
【考点】万有引力定律及其应用．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律的应用专题．
【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解．
【解答】解：双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R，距星体2 为r
对星体1，有　G=mR　 ①
对星体2，有　G=2mr　 　　　 ②
根据题意有　　R+r=L ③
由以上各式解得T=2πL
答：双星系统运动的周期为2πL．
【点评】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．

4．（2015秋•重庆校级月考）如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为mA、mB．
（1）求B的周期和速率．
（2）A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用mA、mB表示）（　　）

【考点】万有引力定律及其应用．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律在天体运动中的应用专题．
【分析】双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力．由于两星球的加速度不同，必须采用隔离法运用牛顿定律分别对两星球研究，并通过数学变形求解．
【解答】解：（1）双星是稳定的结构，故公转周期相同，故B的周期也为T．
设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为ω．
由牛顿运动定律：
对A：FA=m1ω2r1
对B：FB=m2ω2r2 FA=FB
设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2，由上述各式得：

故（其中vA=v）
解得：vB=
（2）由于，故 ①
恒星AB间万有引力为：F=G；
将①式代入得到：F= ②
A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则有： ③
由②③联立解得：m′=
答：（1）B的周期为T，速率为．
（2）A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，m′为．
【点评】对于天体运动问题关键要建立物理模型．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线．

5．（2015春•重庆期末）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．
（1）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小；
（2）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球同步通信卫星的轨道半径．
【考点】万有引力定律及其应用；牛顿第二定律．菁优网版权所有
【专题】电磁感应——功能问题．
【分析】1、根据角速度与周期的关系，地球同步卫星绕地球运行的角速度大小为．
2、根据万有引力提供向心力，地球表面的物体受到的重力等于万有引力，解二方程即可得出r．
【解答】解：（1）地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动的周期与地球的自转周期相同，均为T．
根据角速度与周期的关系，地球同步卫星绕地球运行的角速度大小为．
（2）设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G，地球同步通信卫星的轨道半径为r，
则根据万有引力定律和牛顿第二定律有
对于质量为m0的物体放在地球表面上，根据万有引力定律有
联立上述两式可解得
答：（1）求地球同步通信卫星绕地球运行的角速度大小为；
（2）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球同步通信卫星的轨道半径为．
【点评】对万有引力与天体的运动问题，一定要知道两个关系：①星球表面的物体受到的重力等于万有引力，②做匀速圆周运动的物体需要的向心力由万有引力提供．熟练掌握这两个关系可以解决一切天体运动的问题．

6．（2015春•抚顺期末）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．求两星球做圆周运动的周期．

【考点】万有引力定律及其应用．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律的应用专题．
【分析】该题属于双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．代入公式即可解答．
【解答】解：A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等．且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期．
则有：mω2r=Mω2R
又由已知：r+R=L
解得：

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得
答：两星球做圆周运动的周期：
【点评】该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．

7．（2015春•澄城县期末）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀速圆周运动，求：
（1）卫星的线速度；
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期．
【考点】万有引力定律及其应用．菁优网版权所有
【专题】万有引力定律的应用专题．
【分析】（1）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力求出卫星的线速度．
（2）根据求出周期的大小．
【解答】解：（1）对于卫星，由万有引力提供向心力，得：

质量为m′的物体在地球表面所受的重力等于万有引力大小，即：

解得：
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为：
代入数据得：
答：（1）卫星的线速度为；
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为．
【点评】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．

第11页