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2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 已知z=2+i（其中i为虚数单位），则z¯= ．
2. 已知集合A=-1,2，集合B=1,3，则A∩B= ．
3. 不等式x-1x<0的解集为 ．
4. 若tanα=3，则tanα+π4= ．
5. 设函数fx=x3的反函数为f-1x，则f-127= ．
6. 在x3+1x12的展开式中，则含1x4项的系数为 ．
7. 若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m的值为 ．
8. 已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 ．
9. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）
10. 在△ABC中，∠A=90∘，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→⋅CP→的最小值为 ．
11. 已知P1x1,y1，P2x2,y2两点均在双曲线Γ:x2a2-y2=1a>0的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 ．
12. 已知函数y=fx为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈(0,1]时，fx=lnx，若将方程fx=x+1的正实数根从小到大依次记为x1 ，x2，x3，…，xn，则limn→∞xn+1-xn= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
1. 下列函数定义域为R的是（ ）
A.y=x-12 B.y=x-1 C.y=x13 D.y=x12
2. 若a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>bc
3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.12
4. 已知等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ）
A.若S2022>S2021 ，则数列an是递增数列
B.若T2022>T2021 ，则数列an是递增数列
C.若数列Sn是递增数列，则a2022≥a2021
D.若数列Tn是递增数列，则a2022≥a2021
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
1. 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA1=4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
2. 已知在数列an中，a2=1，其前n项和为Sn．
（1）若an是等比数列，S2=3，求limn→∞Sn；
（2）若an是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
3. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1 m，计算面积精确到0.01 m2）
（1）若∠ADE=20∘，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
4. 已知椭圆Γ:x2a2+y2=1a>1，A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l:x=a上，且C在第一象限．
（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π6，求Γ的标准方程；
（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；
（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求CD的最小值．
5. 已知函数fx的定义域为R，现有两种对fx变换的操作：φ变换：fx-fx-t；ω变换：∣fx+t-fx∣，其中t为大于0的常数．
（1）设fx=2x，t＝1，gx为fx做φ变换后的结果，解方程：gx=2；
（2）设fx=x2，hx为fx做ω变换后的结果，解不等式：fx≥hx；
（3）设fx在-∞,0上单调递增，fx先做φ变换后得到ux，ux再做ω变换后得到h1x；fx先做ω变换后得到vx，vx再做φ变换后得到h2x．若h1x=h2x恒成立，证明：函数fx在R上单调递增．
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