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题 目： 留数在计算积分中的应用 学 院： 数学院 专 业： 信息与计算科学 姓 名： 指导教师： 完成日期： - 21 -摘要留数是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由柯西于年提出. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等. 本文将分别梳理留数定理的相关概念及其在计算积分上的应用.给出孤立奇点的定义和分类. 接着给出函数零点与极点的关系，留数定理的相关定义与定理及其求法. 本文的核心内容是留数定理在计算积分上的应用. 关键词：孤立奇点；留数；留数定理；积分； AbstractResidue is an important concept in the complex variable function theory. The concept of residue is put forward first by Cauchy in 1825. As a result of the function of the Laurent expansion during integral leaving only so called residue. It has important application in many issues, such as definite integral computation, function zeros and poles number calculation, will be launched as part of the meromorphic function fraction, the entire function as an infinite product, stability theory, the asymptotic estimate, etc. This article will combing the related concepts of residue theorem and its application, the definition and classification of isolated singularity will be given. The next section will be give the relationship between function zeros and poles, and relevant definition and theorem of residue and its calculation methods. The core content of this article is the applications of the residue theorem integral calculation.Keywords: isolated singularities; residue; residue theorem; integral;目录序言1第1章基本定理21.1 孤立奇点21.2 孤立奇点的分类21.3 解析函数在无穷远点的性态51.4 函数的零点与极点的关系61.5 留数定理61.6 留数的计算7第2章 留数计算在积分中的应用102.1 型如的积分102.2 型如的积分112.3 型如的积分132.4 应用多值函数来计算实变函数的积分14第3章 总结17参考文献18致谢19序言留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由柯西于年提出. 如果是解析函数的孤立奇点，把在处的洛朗展式中一次幂项的系数称为在处的留数. 记作 ，即. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项 ，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理 论,渐近估计等. 本文将从两大部分分别梳理留数的相关概念及其应用.在第1章的基本概念部分中，将给出孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 我们把不解析的点称做奇点，函数点不解析，但在的某个去心领域 内处处解析，则称为的孤立奇点.根据洛朗展式的不同形式又将其分为可去奇点、极点和本性奇点. 本文将讨论无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着将介绍留数定义和留数定理及留数的4种计算规则. 留数定理：是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线. 设函数在内除去有孤立奇点 ，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析.那么我们有.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如，.最后将通过对 和的计算简单的了解应用多值函数来计算实变函数的积分.第1章基本定理本章将首先讨论留数相关的基本定理. 讨论孤立奇点,孤立奇点的分类，无穷远点，极点与零点的关系，这是对留数定理及留数的计算是必要的准备. 接着开始对留数的讨论，给出留数定理，留数的计算. 首先将从孤立奇点开始.1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义:若函数点不解析，但在的某个去心领域 内处处解析，则称为的孤立奇点.例如,是函数 的孤立奇点. 和都是的孤立奇点. 但并不是所有的奇点都是孤立奇点. 如和负实轴上的点都是函数 的奇点.但它们不是孤立奇点.下面我们看一下函数在 内的洛朗展式 , . 1.2 孤立奇点的分类根据式，可将孤立奇点分为如下几类.1.2.1可去奇点当中时，则称孤立奇点为的可去奇点，即. 此时，式的和函数在点解析. 当时，；当 时. 但由于 ，所以不论在有无定义. 若令，则在 内有. 于是在点解析. 这就是孤立奇点被称可去奇点的原因. 例如，为可去奇点. 这是由于在的洛朗级数.中不含负幂项，若约定函数在处的值为. 则函数 在处解析.定理1.1 设函数在 内解析，那么是的可去极点的必要与充分条件是：存在着极限 其中是一个复数.定理1.2 在定理1.1的假设条件下，是的可去极点的必要与充分条件是：存在着某一正数，使得在 内有界.1.2.2 极点如果只有有限个（至少一个）整数，使得，那么我们说是函数的极点. 如果式只含有有限多个的负幂项，且关于的最高次幂项为 ，即 其中，. 称孤立奇点为的阶极点. 令.则式可表示为 ，其中在 内解析，且. 反之，若式成立，则称是的阶极点. 按照或，我们也说是的单极点或重极点.定理1.3 设函数在 内解析，那么是的极点的必要与充分条件是 定理1.5 是函数的阶极点的充要条件是 .其中，在点解析，且.例如，分别是的一阶极点和二阶极点.1.2.3 本性奇点在式中如果有无穷多个的负幂项，则称孤立奇点为的本性奇点. 例如,是本性奇点，这是由于在的去心领域的洛朗级数+中含有无穷多个的负幂项. 不难发现， 当沿负实轴趋于时，有. 当沿正实轴趋于时，有 .故不存在，也不为.定理1.6 设函数在 内解析，那么是的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无限的极限.定理1.7 设函数在 内解析，那么是内一定有收敛于的序列，使得 .定理1.8 设函数在 内解析，那么是的本性奇点的必要与充分条件是：对任何复数，至多有一个例外，在内，一定有一个收敛于的序列，使得 .1.3 解析函数在无穷远点的性态设函数在区域内解析，那么无穷远点称为的孤立奇点. 在这区域内，有洛朗级数展式：. 其中由相似的公式确定.令，按照，我们得到在 内解析的函数 ，其洛朗级数展式是：. 如果是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点. 这样， 如果当时，那么是函数的可去奇点. 如果只有有限个（至少一个）整数，使得, 那么是的极点. 设对于正数，；而当时，那么是的（m阶）极点. 按照或，我们也说是的单极点或m重极点.如果有无穷个整数，使得，那么是的本性奇点.定理1.8 设函数在 内解析，那么是的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是： 存在着有限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限.定理1.9 设函数在 内解析，那么是的可去奇点的必要与充分条件是： 存在着某一数， 使得在 内有界1.4 函数的零点与极点的关系如果函数在点解析且 则称为的零点；若能表示成. 其中在解析，且，为正整数，则为的极零点. 例如，与是 的2级零点和1级零点由此我们有下面的定理：定理1.10 设函数在解析，则为的m级零点的充要条件是，.例如，是 的1级零点. 因为，.函数的零点与极点有下面的关系：定理1.11 是的m极极点的充要条件是是的m级零点.例如，是 的1级极点，是 的1级零点.1.5 留数定理留数定义 设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展式中一次幂项的系数称为在处的留数. 记作，即.显然，留数就是 在处的值，其中为解析函数的的去心领域内绕的闭曲线. 关于留数我们有如下定理：定理1.12（留数定理） 设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线. 设函数在内除去有孤立奇点，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析.那么我们有. 这里沿的积分是关于区域的正向取的.证 以内每一个孤立奇点为心，做圆，使以它以边界的闭圆盘上每一点都在内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.从中除去以这些为边界的闭圆盘得以区域，其边界是以及在及其边界所组成的闭区域上，解析.因此根据柯西定理，.这里沿的积分是按关于区域的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的.根据留数的定义可推出.1.6 留数的计算在本段中，我们讲述在几种常见的情形下如何计算留数.先考虑一阶极点的情形. 设是函数一个一阶极点. 这就是说，在去掉中心的某一圆盘内，.其中在这圆盘内包括在解析，其泰勒级数展式是：， 而且 . 显然，在的洛朗级数中，的系数等于. 因此.如果容易求解出展式，那么由此可得 ；否则要采用其它方程求留数.如果在上述去掉中心的圆盘内，. 其中及在这圆盘内包括在解析，是 的一阶零点，并且在这圆盘内没有其它零点，那么是的一阶极点，因而有规则1 如果是的一阶极点，则. 规则2 设，和在都解析，如果，则为的一阶极点，并且. 例 函数 有两个一阶极点，这时 .因此 ，.其次，我们考虑高阶极点的情形，设是函数的一个阶极点. 这就是说，在去掉中心的某一圆盘内，.其中在这圆盘内包括在解析，而且. 在这圆盘内，有展式. 由此可见. 因此问题成了求解的泰勒展式的系数.显然，. 因此，我们还可有以下规则规则3 如果是的一阶极点，则. 例 函数 在有三阶极点.因此 .由有，也可以由下列公式求得：.下面给出函数在无穷远点处的留数规则4 . 第2章 留数计算在积分中的应用在本章中，我们将讲述留数计算积分的应用. 在数学分析以及实际问题中，往往要求一些定积分或反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数，有的即便可以求出原函数，计算也往往比较复杂.利用留数定理，要计算某些类型的定积分或反常积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数.我们只考虑几种特殊类型的积分，并且指出怎样计算这些类型的积分的问题化为计算留数的问题，重点讨论几种单值函数.2.1 型如的积分被积函数为与的有理函数. 令，那么,，. 从而，所求积分化为沿正向单位圆的积分. 其中在曲线上为的有理函数，且在单位圆上分母不为零. 所以，满足留数定理的条件，根据留数定理，得所求的积分值为 .其中 为包含的孤立奇点例 2.1 计算积分. 其中常数.令，那么 ，而且当从增加到时，按反时针方向绕圆 一周. 因此. 于是应用留数定理，只须计算 在内极点处的留数，就可求出.积分中被积函数有两个极点：及. 显然，. 因此被积函数在内只有一个极点，而它在这点的留数是 . 于是求得 .例2.2 计算积分 ， 令 ，则 ，当有变到时，依反时针方向绕圆一周，从而有：其中 ， 是被积函数的一阶极点，显然，. 故被积函数的两个极点中只有在内，而有留数定理得：2.2 型如的积分令，. 比至少高两次. 在实轴上无零点. 在上半平面内的极点为，则有.例 2.3 计算积分. 令，选择积分路径，则在内只有一个一阶极点对于，显然有 .例 2.4 计算积分. 显然，该积分收敛，应用留数定理来计算它比较简单. 为此，考虑函数这函数有两个二阶极点，在上半平面的一个是作以为心、为半径的圆盘. 考虑着一圆盘在上平面的部分，设其边界为. 取，那么包含在的内区域. 沿取 的积分，我们有. 其中表示上的圆弧部分，沿它的积分是按辐角增加的方向取的.现在估计左边第二个积分. 我们有 . 因此.在式中令趋于，就得到. 从而.2.3 型如的积分是真分数，在实轴上无奇点，则.其中. 定理2.1 设是闭区 ,上连续的复变函数，并且设是以为心、为半径的圆弧在这闭区域上的一段. 如果当在闭区域上时，. 那么我们有. 例 2.5 计算积分 . 取，我们有. 函数 在 上除去有一阶极点 外，在其每一点解析. 取 . 于是我们有. 其中的意义及沿它的积分的方向同由定理取 ，那么在这定理中所设各条件显然成立. 因此在在令趋于，就得到 ；从而由，可见积分收敛，并且 .中在 上时可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，并且当在 上时，成立.对于例2.5还可以有如下的做法：对任意均有.令，则在内只有一个一阶极点.2.4 应用多值函数来计算实变函数的积分下面我们再讨论多值函数来计算某些实变函数的积分.应用多值函数来计算实变函数的积分，需要对多值函数的某些解析分支应用留数定理. 对此，先要在复平面上取适当的割线，使得在得到的区域内可以把多值函数分成解析分支. 在此，本文仅作简单讨论.例2.6 计算积分. 其中.考虑多值函数 . 在平面上取正实轴作割线. 得一区域，并且在这区域内除去. 在最后所得到区域内，这函数可以分成解析分支；取在割线上沿取实值的解析分支，并且用 表示它. 显然它在有一阶极点.把 沿着如下的一条闭合曲线积分：首先沿着正实轴的上沿从到 ；其次按反时针方向，沿以为心、为半径的圆. 在的内区域有唯一极点. 又由于在正实轴下沿，我们有. 现在我们估计中 第三个积分. 我们有.因此 . 类似可证明 .在中令趋近于，趋进于，我们就可看出中的积分收敛，并且 ，因此 .例2.7 计算积分. 考虑多值解析函数 . 在复平面上取正实轴作割线，得一区域. 在这一区域内除去，在最后所得区域内，可把 分成解析函数分支；取在割线上沿实值的一分支，并用 表示它. 显然，它在-1有三阶极点.作闭合曲线 . 于是 的极点在及之间. 因而， 其中沿 的积分是按例2.4中同样的方向取的.另一方面，在正实轴下沿，. 因此 由于 ，我们有 ,于是与例2.6一样，. 结合及，并且我们取时的极限. 由于 存在，可见中的积分存在，并且我们有. 现在求上式右边的留数，在有泰勒展式，而在的展式恰好是上一展式的平方，其中含项的系数是 . 因此 . 把这一结果代入，并比较两边的虚部就得到 .第3章 总结本文通过两大部分分别梳理了留数的相关概念及其应用. 在第1章的基本概念部分中，给出了孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 根据洛朗展式中的不同范围又可分为可去奇点、极点和本性奇点，讨论了无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着介绍了留数定义，留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由柯西于年提出. 如果是解析函数的孤立奇点，把在处的洛朗展式中一次幂项的系数称为在处的留数. 记作 ，即. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项，因此称为留数. 留数定理： ，留数的4种计算规则.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如，的积分计算，最后通过对 和的计算简单的了解了应用多值函数来计算实变函数的积分. 而本文的主要内容是留数在计算积分上的应用，其中重点是应用单值解析函数计算积分. 除本文介绍的之外，留数还应用在将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.参考文献1 余家荣.复变函数M. 北京:高等教育出版社,2007.2 张鸿艳.复变函数与积分变换M. 北京:化学工业出版社,2010.3 钟玉泉.复变函数论M. 北京:高等教育出版社,2007.4 路线.复变函数与积分变换M. 北京:科学出版社,2010.5 杨降龙，杨帆.复变函数与积分变换M. 北京:科学出版社,2011.6 李汉龙，繆淑贤.复变函数M. 北京：国防工业出版社，2011.7 孙清华，孙昊. 复变函数 内容、方法与技巧M. 武汉：华中科技大学出版社，2003.8 祝同江.工程数学复变函数M.北京：电子工业大学出版社，20009.9 李庆忠.复变函数M. 北京：科学出版社，2000.10 孙清华，孙昊. 复变函数疑难分析与解题方法M. 武汉：华中科技大学出版社，2010.致谢首先非常感谢辽宁大学给了我这么好的一个继续深造的机会，通过四年的计算数学学习，使我不仅获得了很多知识，而且实际工作的能力也有很大的提升. 在此特别感谢我的毕业论文指导导师赵胜芝老师，在论文撰写期间，导师给予了我很大的帮助和指导、孜孜不倦地审阅和改进意见，使我受益匪浅，顺利地完成论文.同时感谢各位授课老师，在我大学期间，正是你们的教诲使我能够顺利完成学业，你们的潜移默化使我在这四年多的学习生涯中积累了一笔宝贵的财富，这将使我在今后的学习工作中受益终生. 感谢我的大学同学、感谢我的家人和朋友，在我求学的过程中，给予我莫大的支持和帮助，没有你们就没有我今天的收获和成果.本论文撰写过程中，参考并引用了许多作者的文献，他们的研究成果给了我极大的帮助和启迪，在此谨表示衷心的感谢! 最后向在百忙之中抽出时间对本论文进行评审及评阅的各位专家表示衷心的感谢! 陆林 2013年5月 于沈阳目 录目 录第一章 总 论1一、项目概述1二、可行性研究报告编制依据和范围2三、项目主要经济技术指标3四、*国家森林公园概况3第二章 项目背景及必要性8一、项目背景8二、项目建设的必要性与可行性10第三章 项目选址分析13一、项目选址13二、项目城市概况13三、经济发展概况14四、公共设施依托条件及施工条件17第四章 需求分析与建设规模18一、*国家森林公园现状与存在问题分析18二、*国家森林公园日容量预测19三、*国家森林公园景区厕所需求面积分析20四、*国家森林公园景区厕所建设规模的确定20第五章 项目建设方案21一、景区厕所工程建设方案21二、景区引水上山工程建设方案27三、基础设施工程建设方案32第六章 环境保护与劳动卫生安全34一、环境保护34二、劳动卫生与安全35第七章 节约能源36一、节能的相关法律及设计规范36二、节约资源措施37第八章 项目实施进度与管理39一、项目实施进度39二、项目管理40第九章 工程招标44一、招标依据及原则44二、项目招标范围及内容45第十章投资估算及资金筹措48一、固定资产投资估算依据48二、投资估算资金筹措方案48第十一章 项目研究结论与建议53一、项目建成后可达到的预期目标53二、结论53三、建议53