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排列组合问题的解题方法
一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑.
例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．
解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有=48(个)；②含5不含0，共有 =72(个)；③含0也含5，共有＝48(个)；④不合0也不含5，共有＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).
解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有种方法；第二步；排首位，有种方法；第三步：排中间两位，有种方法．所以符合条件的四位数共有=192(个)．
二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列.
例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？
解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有种，甲、乙二人的排列有种，共有·=240种.
三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可.
例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个.
解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有种.
四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.
例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？
解：6个人的全排列有种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2÷=240种.
五、分排问题“直排法”：n个元素分成m（m＜n）排，即为n个元素的全排列.
例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.
解：6个人中选3个人排在前排有种，剩下3人排在后排有种，故共有==720种.
六、分组与分配问题的解法
例6、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.
解：⑴此为平均分组问题，共有分法；⑵此为非平均分组问题，共有分法；⑶先分组，再排序，共有种分法；⑷先分组，再排序，分法；⑸共有分法.
【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.
七、综合问题的解法：对排列组合的综合问题，由于限制条件较多而使问题较为复杂.解此类问题时，应注意解题的基本策略与方法，抓住问题的本质，采用恰当方法求解.
1、分类分步法：解排列组合的综合问题，应遵循“按元素的性质进行分类，按事情的发展过程进行分步”的原则，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.
例7、6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？
解：按元素甲分类：①甲在排尾，此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起，有种排法；②甲不在排尾，而甲又不在排头，则甲有种排法，乙不在排尾也有种排法，其它4人有种排法，共有＋=504种.
2、排除法：对含有否定词的问题，也可从总体中把不符合条件的排法除去，此时应注意不能多除，也不能少除.
例如：在例8中，6个人的全排列有种，甲在排头的排法有种，乙在排尾的排法有种，甲在排头且乙在排尾的排法有种，故共有－－＋=504种.
3、集合思想
例8、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百位，数字5不在个位，共有多少个这样的五位数？
解：设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排法}，B={3在百位上的排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有：
card（M）－card（A）－card（B）－card（C）＋card（A∩B）＋card（B∩C）＋card（C∩A）－card（A∩B∩C）=个.
4、图示（表）法：对于某些综合问题，如暂无思路求解，可考虑回归课本，用树图、框图或图表法求解.
例9、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？
解：（树图法）如图，

共有9种不同的选法.
例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.
解：⑴男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有2·=72种；
⑵甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，××甲××乙，因甲乙可交换位置，故共有3××=144种.
例11、9人组成的蓝球队中，有7人会打卫，3人会打锋，现选5人，按3卫2锋组队出场，有多少种不同的组队方法？
人数
6人只会卫
2人只会锋
1人既卫又锋
结果
不
同
选
法
3
2

2
2
1（锋）

3
1
1（卫）

解：9个人中7人会卫3人会锋，故有1人既会卫也会锋，则只会卫的有6人，只会锋的有2人，见下表：

故共有＋＋=900种方法.

6、二氧化碳气体有什么特点？5、至多、至少问题间接法：对于含有 “至多”、“至少”的组合问题，分类讨论十分麻烦，若用间接法处理，可使问题简化.

答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。例12、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这10个名额的不同分配方法有多少种？

5、垃圾的回收利用有哪些好处？②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机各一台的不同选法有 种？
解：①（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它们视作排成一排的10相同的球，要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔方法都对应一种名额的分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进5块隔板，共有=126种放法，故共有126种分配方法.
②（排除法）在被取出的3台中，不含甲型或不含乙型的取法分别为与种，故符合题意的取法有－－=70种.
6、角色转换法：对元素可重复的排列组合问题，若将元素与位置互换，则可化为相异元素的问题求解.

25、意大利的科学家伽利略发明了望远镜，天文学家的“第三只眼”是天文望远镜，可以分为光学望远镜和射电望远镜两种。例13、有2个A，3个B，4个C共9个字母排成一排，有多少种排法？

5、月球在圆缺变化过程中出现的各种形状叫作月相。月相变化是由于月球公转而发生的。它其实是人们从地球上看到的月球被太阳照亮的部分。解：将字母作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有

答：烧饭时米变成了饭；写字时纸上留下了字迹；下雨后路上的积水慢慢地变成水蒸气消失在空中；岩石风化变成沙子等。种不同的排法.
7、分组与分配问题的解法

6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。例14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.
解：⑴此为平均分组问题，共有分法；⑵此为非平均分组问题，共有分法；⑶先分组，再排序，共有种分法；⑷先分组，再排序，分法；⑸共有分法.

答：这个垃圾场不仅要能填埋垃圾，而且要能防止周围环境和地下水的污染。【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.
8、方程思想

答：①可以节约能源；②减少对环境的污染；③降低成本。例15、球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分。欲将此十球中的4球击入袋中，且总分不低于5分，则击球方法有 种？
解：设击入黄球x个，红球y个，则有，且（x，y），解得

2、你知道哪些昆虫？，∴或或或，对应每组解的击球方法数分别为，，，，∴不同的击球方法数为＋＋＋=195种.
对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标准与方式的基础上，遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类，二是按事情发生的过程进行分步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性和“步”与“步”间的连续性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力、准确的计数能力和灵活正确运用基础知识的能力.
例16、7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少种旅游方案？
解：（排除法）7个人去7个地方共有种可能.①若甲、乙、丙、丁都去各自不能去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有种；②若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能去的地方旅游，有种，4人中剩下的一人有种，其余的人去剩下的地方有种，共有=72种；③若甲、乙、丙、丁中有2人去各自不能去的地方旅游，有种，余下的5人去5个不同的地方有种，但其中又包括了有条件的4人中的两人（不妨设为甲乙）同时去各自不能去的地方有种和这两人中有一人去各自不能去的地方有种，故共有·（－－）=468种；④若甲、乙、丙、丁中有1人去各自不能去的地方旅游，有种，而余下的6个人的旅游方案仍与③的想法一致，共有种.
故满足条件的不同旅游方案共有－（6＋72＋468＋1704）=2790种.
例17、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.
解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），
3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下

的三个空位中再选2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有种排法；②第一个学校的3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法（如图），

剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选，所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定位子，此时有种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.
试题集粹：
1、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数组成一元二次方程，其中有实根的方程共有 个.
2、将6名运动员分成4组，由5名教练员分成4组分别辅导，不同的分配方法有 种.
3、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同排法共有 种.
4、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排有 种.
5、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答) .
6、某小组12位同学毕业前夕要留影，要求排成前5后7两排，组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排且不相邻，则共有排法种数有 种.
7、5个人有相应的5个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检测指示灯和检测时的手指按扭.5个人中某人把手指按在键扭上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色.现在这5人把手指按在5个指纹档案的按扭上去检测，规定一个人只能在一个档案上去检测，且两个人不能在同一档案上去检测，此时指示灯全部出现红色的情况共有 种.
8、如图，某城市开发旅游资源，现开发出A、B、C、D、E、F六个旅游景点.该城市某旅行社根据游览景点次序不同而制定团体旅游方案，因为A景点离火车站最近，根据团体来的时间，决定最先或最后旅游.对于同一交通线路上的B、C，可按先远后近或先近后远的方式方式游览，其余不作要求.则可制定不同的旅游方案 种.
参考答案：⑴18；⑵15600；⑶90；⑷252；⑸40；⑹2903040；⑺44；⑻96.