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时间序列平滑预测法
1、第四章时间序列平滑预报法n第一节时间序列概述n第二节移动平均法n第三节指数平滑法n第四节差分指数平滑法n第五节自适应滤波法n要求把握以下内容：概念部分：n1.时间序列n2.时间序列预报法n3.时间序列可分为哪些类型n4.经济时间序列的改变受到哪些因素的影响n计算部分：n5.二次移动平均法、二次指数平滑法大类具体方法解释条件专家意见汇总法(CH2)头脑风暴法(CH2)利用来自信息源的当相关历史数据主观数据很少或根本不存Delphi法定性分析(CH2)在时。历史类推法远景方案论述法直观法趋势外推法(CH5)移动平均法(CH4)只利用被预
2、测变量当被预报变量的的历史数据找出运历史数据显示出指数平滑法(CH4)时间序列动模式某种运动模式时季节指数法(CH4)Markov预报法(CH12)自回来模型(CH5)回来模型(CH3)计量经济学模型假设被预报变量和被预报变量和被因果优势指标法解释变量间存在某认为影响它的变种关系量的历史数据都相关模型存在投入产出模型第一节时间序列概述n回来分析预报方法主要讨论不同变量之间的线性相关关系，必需找到影响预报目标改变的主要因素，才能建立预报模型。但是，经济现象是错综冗杂的，有时要找到影响预报目标改变的主要因素相当困难；有时即使找到了主要因
3、素，由于缺乏必要的统计资料，也不能运用回来分析预报方法，这时可以用时间序列预报法。回本章名目n本章将介绍几种分析时间序列的方法，这些分析主要是用来描述事物随时间进展改变的规律，并对变量的将来值提供合适的预报。n如今时间序列分析已经用在国民经济宏观掌握、区域综合进展规划、企业经营管理、市场潜量预报、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾难预报、环境污染掌握、生态平衡、天文学和海洋学等方面。一、时间序列及其分类n时间序列(timeseries)：是指一个变量的观测值按时间顺序排列而成的序列。常表示为X1,X2,...,Xt,..
4、.,Xn，为肯定时间段内相等Xi间隔点上记录的预报变量的数值。它反映了现象动态改变的过程和特点，是讨论事物进展趋势、规律以及进行预报的根据。时间序列数据在自然、经济及社会等领域都是很常见的。如：每年的GDP、每天的证券市场指数、每月的物价指数等。n时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：Y=Y(t)。2021年2月一些省市的工业增加值省/市北京天津辽宁上海江苏浙江湖北湖南广东重庆四川陕西工业增加值/亿元126153.9232.2292.5684.3345.2153118.5642.957.2176.9104.4不是时间序列时间序列
5、的分类时间序列〔按观测值的表现形式〕肯定数时间序列相对数时间序列平均数时间序列时期序列时点序列n时间序列按其指标不同，可分为肯定数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。n肯定数时间序列是基本序列。可分为时期序列和时点序列两种。n时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内进展过程的总量指标所构成的序列。如各个年度的国民生产总值。n时点序列是指由反映某种社会经济现象在肯定时点上的进展状况的指标所构成的序列。如各个年末的人口总数。举例说明：表4-1国内生产总值等时间序列年度20002021202120212021国内生产总89
6、468.197314.8105172.3117390.2136875.9值〔亿元〕年末总人口126743127627128453129227129988〔万人〕第一产业贡66.056.559.668.461.8献率〔％〕房屋平均销21122170225023592714售价格〔元/平方米〕国内生产总值、年末总人口数是肯定数时间序列，其中国内生产总值就是时期序列，年末总人口数是时点序列；第一产业奉献率是相对数时间序列；房屋平均销售价格是平均数时间序列。第十章时间序列分析编制时间序列的原则：保证序列中各期指标数值的可比性。(一)时期长短
7、一致(二)总体范围一致(三)指标的经济内容统一(四)计算方法统一(五)计算价格和计量单位可比二、时间序列的组成因素与模型n时间序列预报的一个最基本的假设就是影响着过去和如今时间序列形态的因素将继续以同样的方式作用于将来。所以，时间序列预报的一个重要目标就是识别这些因素，并将其从时间序列中分别出来。时间序列的组成因素长期趋势〔Trend〕因素季节变动〔Seasonal〕因素循环波动〔Cyclical〕因素不规则〔随机〕波动〔Irregular〕因素经济时间序列的改变受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四种因素的影响。n〔1〕
8、长期趋势因素〔T〕n经济现象受某种根本性因素的影响，在一个较长时间内其进展方向表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。n它反映了经济现象的主要变动趋势。n长期趋势变动是时间t的函数，长期趋势变动通常用T表示，T=T〔t〕。〔2〕季节变动因素〔S〕是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。如，农产品加工、节假日食品供应等。〔3〕循环波动因素〔C〕是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动，即循环波动是具有肯定周期和振幅的变动。〔4〕不规则变动因素〔I〕不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形
9、成的不规则变动。如战争、自然灾难、政策方针的变动。含有长期趋势因素含有季节变动因素〔Trendcomponent〕〔Seasonalcomponent〕显示了一个变量较长时期变量在一年中规则的上升和的改变趋势下降，并且每年如此时间变量在数年的时间内呈规则改变，时间通常是2~10年含有循环变动因素含有不规则变动因素〔Cyclicalcomponent〕〔Irregularcomponent〕不能归因于其他三种成分的时间序列的改变时间坐标若不是季度，就是年往往，一个时间序列，是由四种因素〔T、S、C、I〕综合作用的结果。这四种因素对时间
10、序列改变的影响有两种基本假设→乘积形式：X=TSCI和的形式：X=T+S+C+I例如：商品房/小汽车在若干年内的季度销售量统计三、时间序列预报法n时间序列预报法，分析时间序列随时间的改变趋势，外推预报目标的将来值。这样，就把影响预报目标改变的一切因素由“时间”综合起来描述了。n主要根据：连贯性原理。局限性：转折点的预报措施：定性与定量相结合第二节移动平均法假如某公司1985到2021的销售额如右图所示。从时间序列图我们的直观印象是长期趋势不明显，我们很难推断出这个序列是否的确存在着长期渐渐向上或渐渐向下的趋势。这时，移动平均法和指数
11、平滑法可以用来对时间序列进行平滑以描述序列的趋势。回本章名目n移动平均法有简洁移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。分别介绍如下：一、简洁移动平均法〔SingleMovingAverage〕简洁移动平均法是将最近的N期数据加以平均，作为下一期的预报值。当时间序列的变动趋势比较平稳近似水平常，可以用简洁移动平均法进行分析。简洁移动平均法对各元素给的权重都相等。1?(1)t周期观测值M预报值Xt?1?Mt?(Xt?Xt?1?...?Xt?N?1)tN1X12X23X3以当前期的一次移动平均值，作为下4X4M4一期的预报值。XM?
12、555X5?特例：6X6M6X6?7X7M7X7以时间序列的算术平均值XXM?N?t888X8作为下一期的预报值9X9M9X?N?1以时间序列当前期的值X9t10X10M10X?作为下一期的预报值10?11X11M11X11................例4.1某市汽车配件销售公司某年1月—12月的化油器销售量〔只〕的统计数据如表第二行所示，试用一次移动平均法，预报下一年一月的销售量。解：分别取N=3和N=5，预报公式1X?(N?3)?M(1)(3)?(X?X?X)t?1t3tt?1t?21X?(N?5)?M(1)(5)?(X?X
13、?X?X?X)t?1t5tt?1t?2t?3t?4月份12345678910111213　Xt423358434445527429426502480384427446　?Xt?1(　N?3)　　　419?Xt?1(　N?5)　　　448月份12345678910111213　Xt423358434445527429426502480384427446　?　Xt?1(N?3)　　　405412469467461452469455430419?　Xt?1(N?5)　　　　　437439452466473444444448下个月的预报销售
14、量——419or448？N的选取在有用上，一般用对过去数据预报的均方误差S来作为选取N的准则。1122N=3S??(X?X?)?32049t?4tt1122N=5S??(X?X?)?1591.867t?6tt计算结果说明：N=5时，S较小，所以选取N=5。预报下年一月的化油器销售量为448只。月份12345678910111213　Xt423358434445527429426502480384427446　?　Xt?1(N?3)　　　405412469467461452469455430419?　Xt?1(N?5)　　　　　437
15、439452466473444444448N的性质1〕N的修匀程度；2〕N的大小对销售量改变趋势的反映程度；3〕N=周期变动的周期时，可消除周期改变的影响。一次移动平均法应用时应留意1〕一次移动平均法一般只适应于平稳模式，当被预报的变量的基本模式发生改变时，一次移动平均法的适应性比较差。2〕一次移动平均法一般只适用于下一时期的预报，即第t+1期的值。3〕一次移动平均法预报时只考虑最近N期的数据，而且各个数据的权重相等，把现实简洁化了。加权移动平均法虽然弥补了这一缺乏，但是预报仍旧存在滞后性。二、加权移动平均法加权移动平均的原理是，时
16、间序列过去各期的数据信息对预报将来趋势值的作用是不一样的。除了以N为周期的周期性改变外，远离预报期的观测值的影响力相对较低，故应给予较低的权重。基本思想：对近期数据给以较大的权重。???????(1)1Xt2Xt?1...NXt?N?1Xt?1?Mt??1??2?...??N例如更看重最近发生的N?3??3??2??1事实1233X?2X?1XX?M(1)?tt?1t?2t?1t1?2?3三、趋势〔二次〕移动平均法〔DoubleMovingAverage〕简洁移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够精确反映实
17、际状况。但当时间序列出现直线增加或削减的变动趋势时，用简洁移动平均法和加权移动平均法来预报就会出现滞后偏差，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均。构造二次移动平均数X?X?...?XM(1)?tt?1t?N?1tNM(1)?M(1)?...?M(1)M(2)?tt?1t?N?1tNn设时间序列?yt?从t时期开始具有直线趋势，且认为将来时期也按此直线趋势改变，则可设直线趋势预报模型为：?nyt?T?at?btT,T=1，2，……式中：nt——当前时期数nT——当前时期至预报期的时期数nat——对应于当前时期的线性方程的截距系数n
18、bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数n平滑系数的计算公式为;(1)(2)at?2Mt?Mt2b?(M(1)?M(2))tN?1ttn依据上式就可以通过一次移动平均数和二次移动平均数求出线性预报模型的参数，建立线性趋势预报模型。例4.2已知某产品前15个月的销售量下表所示。试预报下个月的产品销售量。时间序号t123456789101112131415销售量Xt10158202116182022242026272929有明显的线预报步骤：性趋势，不n选取N宜用一次移n作一次移动平均序列动平均法预n作二次移动平均序列测。利用二n建立
19、预报模型次移动平均n进行预报模型进行预报。〔1〕N的选取：用对过去数据预报的均方误差S来作为选取N的准则。取N=3.〔2〕作一次移动平均序列1M(1)(3)?(X?X?X)t3tt?1t?2时间序号t123456789101112131415销售量Xt10158202116182022242026272929(1)Mt(3)11.014.312.715.314.718.020.022.022.023.324.327.328.33)作二次移动平均序列M(1)?M(1)?M(1)M(2)(3)?tt?1t?2t3时间序号t1234567
20、89101112131415销售量Xt10158202116182022242026272929(1)Mt(3)11.014.312.715.314.718.020.022.022.023.324.327.328.3(2)Mt(3)12.613.814.416.817.22021.822.423.825.226.2〔4〕建立预报模型?Xt?T?at?btT(1)(1)(2)(1)(2)at?Mt?(Mt?Mt)?2Mt?Mt(1)(2)bt?2(Mt?Mt)(N?1)当前期的序号为15，将第15期的一次、二次移动平均值代入上式，得(
21、1)(2)a15?2M15?M15?2?28.3?26.2?30.422b?(M(1)?M(2))?(28.3?26.2)?2.115N?115152得线性预报模型为?X15?T?30.4?2.1T〔5〕预报求下个月的销售量预报值。下个月的周期序号为16，T=1，于是，?万台X15?1?a15?b15?1?32.5()n移动平均法存在的一些问题〔1〕加大移动平均法的期数〔即加大N值〕会使平滑波动效果更好，但会使预报值对时间序列数据的实际变动更不敏感；〔2〕移动平均值并不总是很好地反映出趋势，由于是平均值，预报值总是停留在过去的水平上
22、，从而不能预报将来的波动性；〔3〕移动平均法还需要有大量过去数据的记录，假如缺少历史数据，移动平均法就无法使用。第三节指数平滑法移动平均法具有简便易行的优点，但受N的大小影响较大，对于早期的历史资料较少考虑或根本不加以利用。指数平滑法改良了这一缺点，指数平滑法则不舍弃过去的观测值，但是仅给予渐渐减弱的影响程度，即随着观测期的远离，给予渐渐收敛为零的权数。由于它充分利用了历史资料，又考虑到各期数据的重要性，是目前应用较为广泛的预报方法之一。回本章名目指数平滑法n指数平滑法依据平滑次数不同，n可分为：n一次指数平滑法n二次指数平滑法n三
23、次指数平滑法一、一次指数平滑法一次指数平滑法的基本公式是：St?aYt?(1?a)St?1?Yt?1?StS式中，St为时间t的平滑值；t?1为时间t-1的平滑值；Yt为时间t的实际值；?为时间t的预报值；Yta为加权系数，取值范围为[0,1]；加权系数a的选择n在进行指数平滑时，ɑ的大小规定了在新预报值中新数据和原预报值所占的比重。ɑ值越大，新数据所占的比重就愈大，原预报值所占的比重就愈小，反之亦然。因此a值应依据时间序列的性质在0~1间选择：1、假如时间序列波动不大，比较平稳，则应取小一点，如0.1~0.3，以削减修正幅度，使预
24、测模型能包含较长时间序列的信息；2、假如时间序列具有快速且明显的变动倾向，则应取大一点，如0.6~0.8，使预报模型灵敏度高一些，以便快速跟上数据的改变值。实际中可多项选择几个?值进行试算，选择使预报误差小的?值。初始值S0确实定初始值是由预报者估计或指定的。当时间序列的数据较多，比方在20个以上时，可选用第一期数据为初始值，假如时间序列的数据较少，在20个以下时，初始值对以后的预报值影响很大，以最初几期实际值的平均值作为初始值。例4－4：某市1994～2021年某种电器销售额如表，试预报2021年该电器销售额。〔教材P92例4－4〕分
25、别取实际销售额一次平滑值预报值预报值预报值年份t(1)?XtSt?=0.2?=0.5?=0.8=0.2(1)S0=51?=0.5(1)1994150S1=50.80515151?=0.8S(1)=1995252251.0450.8050.5050.20X?X(1)(1)121996347S3=51.0451.2551.64S?50.2302S(1)=1997451450.3950.2349.1347.93?51(1)1998549S5=50.1150.3950.0650.39(1)1999648S6=49.6950.1149.534
26、9.28?(1)X1?S0?51(1)2000751S7=49.9549.6948.7748.26(1)?(1)2021840S8=47.9649.9549.88X50t?.415?St(1)2021948S9=47.9644.9442.09(1)47.97
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