2021年江西高考文数真题及解析.doc

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2021年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
5. 若满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
6. （ ）
A. B. C. D.
7. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
12. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，若，则_________．
14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
20. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，☉C的圆心为，半径为1．
（1）写出☉C的一个参数方程;
（2）过点作☉C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4—5:不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式解集;
（2）若，求a的取值范围．

2021年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 答案解析
一、选择题:
1. A
解析：
由题意可得：，则.
故选A.
2. C
解析：
由题意可得：.
故选C.
3. A
解析：
由于，所以命题为真命题；
由于，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选A．
4. C
解析：
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选C．
5. C
解析：
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.
故选C.
6. D
解析：
由题意，
.
故选D.
7. B
解析：
设“区间随机取1个数” ，
“取到的数小于”，所以．
故选：B．
8. C
解析：
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选C．
9. B
解析：
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选B
10. D
解析：

如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选D
11. A
解析：
设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选A．
12. D
解析：
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选D
二、填空题：
13.
答案：
解析：
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为.
14.
答案：
解析：
由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线距离为.
故答案为
15.
答案：
解析：
由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为.
16.③④
解析：
选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.
故答案为：③④.
三、解答题．
（一）必考题：
17.
答案：（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.
解析：
（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.
18.
答案：（1）证明见解析；（2）．
解析：
（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，，则，即，解得，所以．因为底面，故四棱锥的体积为．
19.
答案：（1），；（2）证明见解析.
解析：
因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
20.
答案：（1）；（2）最大值为.
解析：
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
21.
答案：(1)答案见解析；(2).
解析：
(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为.
（二）选考题:
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
答案：（1），（为参数）；（2）或.
解析：
（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
[选修4—5:不等式选讲]
23.
答案：（1）.（2）.
解析：
（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，
所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，
，故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.

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