2015年广东高考（文科）数学试题及答案.pdf

第 1 页（共 10 页）2015 年广东省高考数学试卷（文科）年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）（文科）1（5 分）（2015广东）若集合 M=1，1，N=2，1，0则 MN=（）A01 B0 C1 D1，1 2（5 分）（2015广东）已知 i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A2i B2i C2 D2 3（5 分）（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=x+sin2x By=x2cosx Cy=2x+Dy=x2+sinx 4（5 分）（2015广东）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+3y 的最大值为（）A2 B5 C8 D10 5（5 分）（2015广东）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a=2，c=2，cosA=且 bc，则 b=（）A3 B2 C2 D 6（5 分）（2015广东）若直线 l1和 l2 是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（）Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 7（5 分）（2015广东）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为（）A0.4 B0.6 C0.8 D1 8（5 分）（2015广东）已知椭圆+=1（m0）的左焦点为 F1（4，0），则 m=（）A2 B3 C4 D9 9（5 分）（2015广东）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，=（1，2），=（2，1）则=（）A5 B4 C3 D2 10（5 分）（2015广东）若集合 E=（p，q，r，s）|0ps4，0qs4，0rs4 且 p，q，r，sN，F=（t，u，v，w）|0tu4，0vw4 且 t，u，v，wN，用 card（X）表示集合 X 中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（）A200 B150 C100 D50 二、填空题（共二、填空题（共 3 小题，考生作答小题，考生作答 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分）（一）必做题（分）（一）必做题（1113 题）题）11（5 分）（2015广东）不等式x23x+40 的解集为（用区间表示）12（5 分）（2015广东）已知样本数据 x1，x2，xn的均值=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，2xn+1 的均值为 13（5 分）（2015广东）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a=5+2，c=52，则 b=坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 14（5 分）（2015广东）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为（cos+sin）=2，曲线 C2的参数方程为（t 为参数），则 C1与 C2交点的直角坐标为 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 15（2015广东）如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D若 AB=4CE=2，则 AD=三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）16（12 分）（2015广东）已知 tan=2（1）求 tan（+）的值；（2）求 的值 17（12 分）（2015广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220.240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图 （1）求直方图中 x 的值；第 2 页（共 10 页）（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？18（14 分）（2015广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）证明：BC平面 PDA；（2）证明：BCPD；（3）求点 C 到平面 PDA 的距离 19（14 分）（2015广东）设数列 an的前 n 项和为 Sn，nN*已知 a1=1，a2=，a3=，且当 n2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（1）求 a4的值；（2）证明：an+1 an为等比数列；（3）求数列an的通项公式 20（14 分）（2015广东）已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+y26x+5=0 相交于不同的两点 A，B（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 21（14 分）（2015广东）设 a 为实数，函数 f（x）=（xa）2+|xa|a（a1）（1）若 f（0）1，求 a 的取值范围；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）当 a2 时，讨论 f（x）+在区间（0，+）内的零点个数 第 3 页（共 10 页）2015 年广东省高考数学试卷（文科）年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）（文科）1（5 分）（2015广东）若集合 M=1，1，N=2，1，0则 MN=（）A01 B0 C1 D1，1【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】进行交集的运算即可【解答】解：MN=1，12，1，0=1 故选：C【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算 2（5 分）（2015广东）已知 i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A2i B2i C2 D2【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】利用完全平方式展开化简即可【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i1=2i；故选：A【点评】本题考查了复数的运算；注意 i2=1 3（5 分）（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=x+sin2x By=x2cosx Cy=2x+Dy=x2+sinx【考点】函数奇偶性的判断菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是 R，对于 A，x+sin（2x）=（x+sin2x）；是奇函数；对于 B，（x）2cos（x）=x2cosx；是偶函数；对于 C，是偶函数；对于 D，（x）2+sin（x）=x2sinxx2+sinx，x2sinx（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断 f（x）与 f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数 4（5 分）（2015广东）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+3y 的最大值为（）A2 B5 C8 D10【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由 z=2x+3y，得 y=，平移直线 y=，由图象可知当直线 y=经过点 B 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大 由，解得，即 B（4，1）此时 z 的最大值为 z=24+3（1）=83=5，故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 5（5 分）（2015广东）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a=2，c=2，cosA=且 bc，则 b=（）A3 B2 C2 D【考点】正弦定理菁优网版权所有【专题】计算题；解三角形【分析】运用余弦定理：a2=b2+c22bccosA，解关于 b 的方程，结合 bc，即可得到 b=2 第 4 页（共 10 页）【解答】解：a=2，c=2，cosA=且 bc，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即有 4=b2+124b，解得 b=2 或 4，由 bc，可得 b=2 故选：C【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题 6（5 分）（2015广东）若直线 l1和 l2 是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（）Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】可以画出图形来说明 l 与 l1，l2的位置关系，从而可判断出 A，B，C 是错误的，而对于 D，可假设不正确，这样 l 便和 l1，l2都不相交，这样可退出和 l1，l2异面矛盾，这样便说明 D 正确【解答】解：Al 与 l1，l2可以相交，如图：该选项错误；Bl 可以和 l1，l2中的一个平行，如上图，该选项错误；Cl 可以和 l1，l2都相交，如下图：，该选项错误；D“l 至少与 l1，l2中的一条相交”正确，假如 l 和 l1，l2都不相交；l 和 l1，l2都共面；l 和 l1，l2都平行；l1l2，l1和 l2共面，这样便不符合已知的 l1和 l2异面；该选项正确 故选 D【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确 7（5 分）（2015广东）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为（）A0.4 B0.6 C0.8 D1【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从 5 件产品任取 2 件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可【解答】解：这是一个古典概型，从 5 件产品中任取 2 件的取法为；基本事件总数为 10；设“选的 2 件产品中恰有一件次品”为事件 A，则 A 包含的基本事件个数为=6；P（A）=0.6 故选：B【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理 8（5 分）（2015广东）已知椭圆+=1（m0）的左焦点为 F1（4，0），则 m=（）A2 B3 C4 D9【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆+=1（m0）的左焦点为 F1（4，0），可得 25m2=16，即可求出 m【解答】解：椭圆+=1（m0）的左焦点为 F1（4，0），25m2=16，m0，m=3，故选：B【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础 第 5 页（共 10 页）9（5 分）（2015广东）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，=（1，2），=（2，1）则=（）A5 B4 C3 D2【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，=（3，1）=32+（1）1=5 故选：A【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题 10（5 分）（2015广东）若集合 E=（p，q，r，s）|0ps4，0qs4，0rs4 且 p，q，r，sN，F=（t，u，v，w）|0tu4，0vw4 且 t，u，v，wN，用 card（X）表示集合 X 中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（）A200 B150 C100 D50【考点】排列、组合及简单计数问题；子集与交集、并集运算的转换；Venn 图表达集合的关系及运算菁优网版权所有【专题】开放型；集合；排列组合【分析】对于集合 E，s=4 时，p，q，r 从 0，1，2，3 任取一数都有 4 种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有 444=64 个，再讨论 s=3，2，1 的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合 E 的元素个数，而对于集合 F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合 E，F 元素个数相加即可【解答】解：（1）s=4 时，p，q，r 的取值的排列情况有 444=64 种；s=3 时，p，q，r 的取值的排列情况有 333=27 种；s=2 时，有 222=8 种；s=1 时，有 111=1 种；card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4 时：若 w=4，t，v 的取值的排列情况有 44=16 种；若 w=3，t，v 的取值的排列情况有 43=12 种；若 w=2，有 42=8 种；若 w=1，有 41=4 种；u=3 时：若 w=4，t，v 的取值的排列情况有 34=12 种；若 w=3，t，v 的取值的排列情况有 33=9 种；若 w=2，有 32=6 种；若 w=1，有 31=3 种；u=2 时：若 w=4，t，v 的取值的排列情况有 24=8 种；若 w=3，有 23=6 种；若 w=2，有 22=4 种；若 w=1，有 21=2 种；u=1 时：若 w=4，t，v 的取值的排列情况有 14=4 种；若 w=3，有 13=3 种；若 w=2，有 12=2 种；若 w=1，有 11=1 种；card（F）=100；card（E）+card（F）=200 故选 A【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏 二、填空题（共二、填空题（共 3 小题，考生作答小题，考生作答 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分）（一）必做题（分）（一）必做题（1113 题）题）11（5 分）（2015广东）不等式x23x+40 的解集为（4，1）（用区间表示）【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之【解答】解：原不等式等价于 x2+3x40，所以（x+4）（x1）0，所以4x1；所以不等式的解集为（4，1）；故答案为：（4，1）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题 12（5 分）（2015广东）已知样本数据 x1，x2，xn的均值=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，2xn+1 的均值为11【考点】众数、中位数、平均数菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：数据 x1，x2，xn的平均数为均值=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，2xn+1 的均值为：=52+1=11；故答案为：11【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题 13（5 分）（2015广东）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a=5+2，c=52，则 b=1【考点】等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解 b【解答】解：三个正数 a，b，c 成等比数列，b2=ac，a=5+2，c=52，=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题 第 6 页（共 10 页）坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 14（5 分）（2015广东）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为（cos+sin）=2，曲线 C2的参数方程为（t 为参数），则 C1与 C2交点的直角坐标为（2，4）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程【分析】曲线 C1的极坐标方程为（cos+sin）=2，把代入可得直角坐标方程曲线 C2的参数方程为（t 为参数），化为普通方程：y2=8x联立解出即可【解答】解：曲线 C1的极坐标方程为（cos+sin）=2，化为直角坐标方程：x+y+2=0 曲线 C2的参数方程为（t 为参数），化为普通方程：y2=8x 联立，解得，则 C1与 C2交点的直角坐标为（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 15（2015广东）如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D若 AB=4CE=2，则 AD=3 【考点】圆的切线的判定定理的证明菁优网版权所有【专题】选作题；开放型；推理和证明【分析】连接 OC，则 OCDE，可得，由切割线定理可得 CE2=BEAE，求出 BE，即可得出结论【解答】解：连接 OC，则 OCDE，ADDE，ADOC，由切割线定理可得 CE2=BEAE，12=BE（BE+4），BE=2，OE=4，AD=3 故答案为：3 【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）16（12 分）（2015广东）已知 tan=2（1）求 tan（+）的值；（2）求 的值【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可（2）利用二倍角公式化简求解即可【解答】解：tan=2（1）tan（+）=3；（2）=1【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力 17（12 分）（2015广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220.240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图 第 7 页（共 10 页）（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中位数为 a，解方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5 可得；（3）可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得 x=0.0075，直方图中 x 的值为 0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，（0.002+0.0095+0.011）20=0.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为 a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5 可得 a=224，月平均用电量的中位数为 224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有 0.012520100=25，月平均用电量为240，260）的用户有 0.007520100=15，月平均用电量为260，280）的用户有 0.00520100=10，月平均用电量为280，300）的用户有 0.002520100=5，抽取比例为=，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取 25=5 户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题 18（14 分）（2015广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）证明：BC平面 PDA；（2）证明：BCPD；（3）求点 C 到平面 PDA 的距离 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用四边形 ABCD 是长方形，可得 BCAD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出 BC平面 PDC，即可证明 BCPD；（3）利用等体积法，求点 C 到平面 PDA 的距离【解答】（1）证明：因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BCAD，因为 BC平面 PDA，AD平面 PDA，所以 BC平面 PDA；（2）证明：因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BCCD，因为平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD=CD，BC面 ABCD，所以 BC平面 PDC，因为 PD平面 PDC，所以 BCPD；（3）解：取 CD 的中点 E，连接 AE 和 PE，因为 PD=PC，所以 PECD，在 RtPED 中，PE=因为平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD=CD，PE平面 PDC，所以 PE平面 ABCD 由（2）知：BC平面 PDC，由（1）知：BCAD，所以 AD平面 PDC，因为 PD平面 PDC，所以 ADPD 设点 C 到平面 PDA 的距离为 h 因为 VCPDA=VPACD，所以，所以 h=，所以点 C 到平面 PDA 的距离是 第 8 页（共 10 页）【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题 19（14 分）（2015广东）设数列 an的前 n 项和为 Sn，nN*已知 a1=1，a2=，a3=，且当 n2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（1）求 a4的值；（2）证明：an+1 an为等比数列；（3）求数列an的通项公式【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）直接在数列递推式中取 n=2，求得；（2）由 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（n2），变形得到 4an+2+an=4an+1（n2），进一步得到，由此可得数列是以为首项，公比为 的等比数列；（3）由是以为首项，公比为 的等比数列，可得进一步得到，说明是以为首项，4 为公差的等差数列，由此可得数列an的通项公式【解答】（1）解：当 n=2 时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（n2），4Sn+24Sn+1+SnSn1=4Sn+14Sn（n2），即 4an+2+an=4an+1（n2），4an+2+an=4an+1=数列是以=1 为首项，公比为 的等比数列；（3）解：由（2）知，是以为首项，公比为 的等比数列，即，是以为首项，4 为公差的等差数列，即，数列an的通项公式是【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题 20（14 分）（2015广东）已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+y26x+5=0 相交于不同的两点 A，B（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过将圆 C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 l 的方程为 y=kx，通过联立直线 l 与圆 C1的方程，利用根的判别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线 L 与圆 C1的方程，利用根的判别式=0 及轨迹 C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【解答】解：（1）圆 C1：x2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3）2+y2=4，圆 C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线 l 的方程为 y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去 y 可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）50，可得 k2 由韦达定理，可得 x1+x2=，第 9 页（共 10 页）线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为，其中k，线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为：（x）2+y2=，其中 x3；（3）结论：当 k（，），时，直线 L：y=k（x4）与曲线 C 只有一个交点 理由如下：联立方程组，消去 y，可得：（1+k2）x2（3+8k2）x+16k2=0，令=（3+8k2）24（1+k2）16k2=0，解得 k=，又轨迹 C 的端点（，）与点（4，0）决定的直线斜率为，当直线 L：y=k（x4）与曲线 C 只有一个交点时，k 的取值范围为（，），【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题 21（14 分）（2015广东）设 a 为实数，函数 f（x）=（xa）2+|xa|a（a1）（1）若 f（0）1，求 a 的取值范围；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）当 a2 时，讨论 f（x）+在区间（0，+）内的零点个数【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】开放型；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）利用 f（0）1，得到|a|+a10，对 a 分类讨论求解不等式的解集即可（2）化简函数 f（x）的解析式，通过当 xa 时，当 xa 时，利用二次函数 f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可（3）化简 F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过 a 的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数【解答】解：（1）若 f（0）1，即：a2+|a|a（a1）1可得|a|+a10，当 a0 时，a，可得 a0，当 a0 时，|a|+a10，恒成立 综上 a a 的取值范围：；（2）函数 f（x）=，当 xa 时，函数 f（x）的对称轴为：x=a+a，y=f（x）在（，a）时是减函数，当 xa 时，函数 f（x）的对称轴为：x=a a，y=f（x）在（a，+）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，当 xa 时，=，所以，函数 F（x）在（0，a）上是减函数 当 xa 时，因为 a2，所以，F（x）=，所以，函数 F（x）在（a，+）上是增函数 F（a）=aa2+当 a=2 时，F（2）=0，此时 F（x）有一个零点，当 a2 时，F（a）=aa2+，F（a）=12a=所以 F（ah）在（2，+）上是减函数，所以 F（a），即 F（a）0，当 x0 且 x0 时，F（x）+；当 x+时，F（x）+，所以函数 F（x）有两个零点 综上所述，当 a=2 时，F（x）有一个零点，a2 时 F（x）有两个零点【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用 第 10 页（共 10 页）