2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版ⅱ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 13 页）2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）设全集 U=xN+|x6，集合 A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4 B1，5 C2，4 D2，5 2（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|2x3 Bx|x2 Cx|x2 或 x3 Dx|x3 3（5 分）已知 sin=，则 cos（2）=（）A B C D 4（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）5（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 6（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 7（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 xy+1=0，则（）Aa=1，b=2 Ba=1，b=2 Ca=1，b=2 Da=1，b=2 8（5 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）A B C D 9（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 10（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若=3，则 k=（）A1 B C D2 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 是第二象限的角，tan=，则 cos=14（5 分）（x+）9展开式中 x3的系数是 （用数字作答）15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 第 2 页（共 13 页）18（12 分）已知an是各项均为正数的等比数列 a1+a2=2（），a3+a4+a5=64+）（）求an的通项公式；（）设 bn=（an+）2，求数列bn的前 n 项和 Tn 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 20（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 第 3 页（共 13 页）21（12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围 22（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且BD 的中点为 M（1，3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 第 4 页（共 13 页）2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）设全集 U=xN+|x6，集合 A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4 B1，5 C2，4 D2，5 【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由全集 U=xN+|x6，可得 U=1，2，3，4，5，然后根据集合混合运算的法则即可求解【解答】解：A=1，3，B=3，5，AB=1，3，5，U=xN+|x6=1，2，3，4，5，U（AB）=2，4，故选：C【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算 2（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|2x3 Bx|x2 Cx|x2 或 x3 Dx|x3 【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题的方法是：要使不等式小于 0 即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论 x 的值即可得到解集【解答】解：，得到（x3）（x+2）0 即 x30 且 x+20 解得：x3 且 x2 所以无解；或 x30 且 x+20，解得2x3，所以不等式的解集为2x3 故选：A【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题 3（5 分）已知 sin=，则 cos（2）=（）A B C D 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式求得 cos（2a）=cos2a 进而根据二倍角公式把 sin 的值代入即可求得答案【解答】解：sina=，cos（2a）=cos2a=（12sin2a）=故选：B【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式考查了学生对三角函数基础公式的记忆 4（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出 x，再将 x，y 互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：解出 y，3、标：标出定第 5 页（共 13 页）义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得 x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又 x1，x10；ln（x1）R在反函数中 xR，故选：D【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（y）；（2）交换 x=（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）5（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 m 值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点，即为 B（1，1），当 x=1，y=1 时 zmax=3 故选：C 【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题 6（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28 故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质 7（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 xy+1=0，则（）Aa=1，b=2 Ba=1，b=2 Ca=1，b=2 Da=1，b=2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】由 y=x2+ax+b，知 y=2x+a，再由曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 xy+1=0，求出 a 和 b【解答】解：y=x2+ax+b，y=2x+a，y|x=1=2+a，第 6 页（共 13 页）曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 yb=（2+a）（x1），曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 xy+1=0，a=1，b=2 故选：B【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答 8（5 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）A B C D 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由图，过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连接 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连BF，由题设条件证出ABF 即所求线面角由数据求出其正弦值【解答】解：过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连接 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC，E 为 BC 中点，BCAE，SABC，BC面 SAE，BCAF，AFSE，AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 2，AE=，AS=3，SE=2，AF=，sinABF=故选：D 【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角 9（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从 3 个信封中选一个放 1，2，有=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6 种放法，共有 361=18 故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列 10（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则第 7 页（共 13 页）=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD 为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线，则 AB：AC=BD：CD 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由于点 D、B1显然满足要求，猜想 B1D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为 1，连接 B1D，并在 B1D 上任取一点 P，因为=（1，1，1），所以设 P（a，a，a），其中 0a1 作 PE平面 A1D，垂足为 E，再作 EFA1D1，垂足为 F，则 PF 是点 P 到直线 A1D1的距离 所以 PF=；同理点 P 到直线 AB、CC1的距离也是 所以 B1D 上任一点与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个 故选：D 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若=3，则 k=（）A1 B C D2 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得 y1和 y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x，根据韦达定理表示出 y1+y2和 y1y2，进而根据y1和 y2关系求得 k【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=3y2，第 8 页（共 13 页），设，b=t，x2+4y24t2=0，设直线 AB 方程为，代入中消去 x，可得，解得，故选：B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 是第二象限的角，tan=，则 cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【分析】根据，以及 sin2+cos2=1 可求出答案【解答】解：=，2sin=cos 又sin2+cos2=1，是第二象限的角 故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识 14（5 分）（x+）9展开式中 x3的系数是84（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项 Tr+1，因为题目要求展开式中 x3的系数，所以只要使 x 的指数等于 3 就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目【解答】解：写出（x+）9通项，要求展开式中 x3的系数 令 92r=3 得 r=3，C93=84 故答案为：84【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式它是经常出现的一个客观题 15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=2 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x2+（62p）x+3=0，进而根据，可知 M 为 A、B 的中点，可得 p 的关系式，解方程即可求得 p【解答】解：设直线 AB：，代入 y2=2px 得 3x2+（62p）x+3=0，又，即 M 为 A、B 的中点，xB+（）=2，即 xB=2+，得 p2+4P12=0，解得 p=2，p=6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质属基础题 第 9 页（共 13 页）16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=3 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形 MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【解答】解法一：ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为，小圆 N 中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB，NE=，同理可得，在直角三角形 ONE 中，NE=，ON=3，MN=3 故填：3 解法二：如下图：设 AB 的中点为 C，则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E，因为 OM=ON=3，故小圆半径 NB 为 C 为 AB 中点，故 CB=2；所以 NC=，ONC 为直角三角形，NE 为ONC 斜边上的高，OC=MN=2EN=2CN=2=3 故填：3【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】先由 cosADC=确定角 ADC 的范围，因为BAD=ADCB 所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案【解答】解：由 cosADC=0，则ADC，又由知 BADC 可得 B，由 sinB=，可得 cosB=，又由 cosADC=，可得 sinADC=从而 sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=由正弦定理得，第 10 页（共 13 页）所以 AD=【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化 18（12 分）已知an是各项均为正数的等比数列 a1+a2=2（），a3+a4+a5=64+）（）求an的通项公式；（）设 bn=（an+）2，求数列bn的前 n 项和 Tn 【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项 a1与公比 q 的方程，然后求解即可（2）由 bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解 答】解：（1）设 正 等 比 数 列 an首 项 为 a1，公 比 为 q，由 题 意 得：an=2n1（6 分）（2）bn的前 n 项和 Tn=（12 分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线，即证 DE 与异面直线 AB1与 CD 垂直相交即可；（2）将 AB1平移到 DG，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，作 HKAC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1AC1B1的平面角，在三角形 B1KH中求出此角即可【解答】解：（1）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故 DEBF，DEAB1 作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点 又由底面 ABC面 AA1B1B连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线（2）因为 DGAB1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45 第 11 页（共 13 页）设 AB=2，则 AB1=，DG=，CG=，AC=作 B1HA1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C又作 HKAC1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1AC1B1的平面角 B1H=，C1H=，AC1=，HK=tanB1KH=，二面角 A1AC1B1的大小为 arctan 【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处 20（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1，T2，T3 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p（）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，根据电路图，可得 B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案【解答】解：（）根据题意，记电流能通过 Ti为事件 Ai，i=1、2、3、4，A 表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得 A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1p）3=10.999=0.001，计算可得，p=0.9；（）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，有 B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，则 P（B）=P（A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3）=0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9=0.9891【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算 21（12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围 【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于 0 即可（2）已知 f（x）在区间（0，）上是减函数，即 f（x）0 在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可 第 12 页（共 13 页）【解答】解：（）当 a=3 时，f（x）=x2+3x+1lnx 解 f（x）0，即：2x23x+10 函数 f（x）的单调递增区间是 （）f（x）=2x+a，f（x）在上为减函数，x时2x+a0 恒成立 即 a2x+恒成立 设，则 x时，4，g（x）0，g（x）在上递减，g（x）g（）=3，a3【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强 22（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且BD 的中点为 M（1，3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a，b 的关系式即求得离心率（）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含 a 的代数式表示，即可求得 a，则 A 点坐标可得（1，0），由于 A 在 x 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得【解答】解：（）由题设知，l 的方程为：y=x+2，代入 C 的方程，并化简，得（b2a2）x24a2xa2b24a2=0，设 B（x1，y1），D（x2，y2），则，由 M（1，3）为 BD 的中点知 故，即 b2=3a2，故，C 的离心率（）由知，C 的方程为：3x2y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），故不妨设 x1a，x2a，|BF|FD|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8 又|BF|FD|=17，故 5a2+4a+8=17 解得 a=1，或（舍去），故=6，连接 MA，则由 A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD，且 MAx 轴，第 13 页（共 13 页）因此以 M 为圆心，MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点，且在点 A 处与 x 轴相切，所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力