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2012年全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案
2012全国各地高考数学试题分类汇编
（函数与导数）
1. （2012辽宁）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B.
2.（2012安徽理）（本小题满分13分）K]
设
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
【解析】（I）设；则
①当时，在上是增函数
得：当时，的最小值为
②当时，
当且仅当时，的最小值为
（II）
由题意得：
3.(2012安徽文)（本小题满分12分）
设定义在（0，+）上的函数
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。
【解析】（I）
当且仅当时，的最小值为
（II）由题意得： ①
②
由①②得：
4．(2012北京理)（（本小题共13分）
已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx
(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，
解：（1）由为公共切点可得：
，则，，
，则，，
①
又，，
，即，代入①式可得：．
（2），设
则，令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：
当时，最大值为；当时，最大值为
5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证：。
【解析】（1）∵，
∴
（2）由（1）知,由柯西不等式得（lby lfx）
6. (2012福建理)（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
解：（Ⅰ）
由题意得：
得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为
令；则
切线与曲线只有一个公共点只有一个根
，且
（1）当时，
得：当且仅当时，
由的任意性，不符合条件（lby lfx）
（2）当时，令
①当时，
当且仅当时，在上单调递增
只有一个根
②当时，
得：，又
存在两个数使，
得：又
存在使，与条件不符。
③当时，同理可证，与条件不符
从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点
7. (2012广东理)（本小题满分14分）
设，集合，，．
（1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。
解．（1）由有
，即 有
又
当时，恒成立。B=R
当时，，
当时，即
1）当时，方程有两个不同的根
其中，
且 （显然）
2）当时，
3）当时， （显然）
， （，显然）
综合上述：当时，，
当时，
当时，
（2），由 有
当时，
1
+
0
—
0
+
函数在内的极值点为或
当时，
（）
而
，即
（）
同理 （）
而
，即，故
+
0
—
+
函数在内的极值点为
当时，，而
， 函数在内的无极值点
综合上述： 当时，函数在内的极值点为或；
当时，函数在内的极值点为
当时，函数在内的无极值点
8. （2012广东理）(本小题满分14分)
已知函数f(x)=1+，求：
（1）当x为何值时，函数f(x)取得极大值;
（2）作出函数f(x)的草图，并写出分析过程.
解：（1）函数的定义域为（-∞，-3）∪（-3，+∞）
对函数f(x)求导得：f(x)=
令f(x)=0，得x=3
因为x∈（-∞，-3）时，f(x)<0; x∈(-3,3)时，f(x)>0；
x∈（-3，+∞）时，f(x)<0
所以x=3时，函数f(x)取得极大值.
（２）．对f(x)=求导得：f(x)=
令f(x)=0，得x=6. 列表分析：
x
（-∞，-3）
(-3,3)
3
(3,6)
6
（6，+∞）
f(x)
-
+
0
-
-
-
f(x)
-
-
-
-
0
+
f(x)
↘
↗
4
↘
↘
X=-3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线
计算点的函数值：f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=-
草图:
9．（2012广东文） （本小题满分14分）
设，集合，，．
(1) 求集合（用区间表示）；
(2) 求函数在内的极值点．
解：（1）集合B解集：令
(1):当时，即：，B的解集为：
此时
（2）当
此时，集合B的二次不等式为：
，
，此时，B的解集为：
故：
（3）当即
此时方程的两个根分别为：
很明显，
故此时的
综上所述：
当
当时，
当，
(2) 极值点，即导函数的值为0的点。
即
此时方程的两个根为：
（ⅰ）当
故当
分子做差比较：
所以
又
分子做差比较法：
，
故,故此时时的根取不到，
（ⅱ）
当时，，此时，极值点取不到x=1极值点为(,
（ⅲ）
当，,极值点为： 和
总上所述：
当 有1个
当时，有1个极值点为(,
当，有2个极值点分别为为： 和
10．（2012湖南文）（本小题满分13分）已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）若对一切x∈R，1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数的图象上取定两点，，
记直线AB的斜率为k，证明：存在，使成立．
解：（Ⅰ）．令得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故当时，取最小值．
于是对一切x∈R，1恒成立，当且仅当． ①
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故当时，取最大值．
因此，当且仅当时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为．
（Ⅱ）由题意知，．
令，则
，
．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故当时， ，即．
从而，，
又，，所以，．
因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，
所以存在存在，使，即成立．
11．（2012湖北理）（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设，为正有理数. 若，则；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当为正有理数时，有求导公式.
解析：（Ⅰ），令，解得.
当时，，所以在内是减函数；
当 时，，所以在内是增函数.
故函数在处取得最小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ①
若，中有一个为0，则成立；
若，均不为0，又，可得，于是
在①中令，，可得，
即，亦即.
综上，对，，为正有理数且，总有. ②
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数.
若，则. ③
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，有，③成立.
（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，
且，则.
当时，已知为非负实数，为正有理数，
且，此时，即，于是
=.
因，由归纳假设可得
，
从而.
又因，由②得
，
从而.
故当时，③成立.
由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.
说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.
12．（2012湖南理）（本小题满分13分）已知函数，其中a≠0．
（Ⅰ）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数的图像上取定两点，，
记直线AB的斜率为k．问：是否存在，使成立？
若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾．
又，故．
而令，得
当时，单调递减；
当时，单调递增．
故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
． ①
令则
当时，单调递增；
当时，单调递减．
故当时，取最大值．因此，当且仅当，
即时，①式成立．
综上所述，的取值集合为．
（Ⅱ）由题意知，
令则
令，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
故当时，即
从而，
又所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在，使得．又单调递增，
故这样的是唯一的，且．
故当且仅当时， ．
综上所述，存在，使成立，且的取值范围为
．
13.（2012江苏卷）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.
(1)求a和b的值；
(2)设函数的导函数，求的极值点;
(3)设，其中，求函数的零点个数
解.(1)由题设知，且
解得
(2)由（1）知，因为
所以的根为,于是函数的极值点只能是1或-2
当时,;当时, ,故-2是的极值点.
当或时, ,故1不是的极值点.
所以的极值点是-2.
(3)令,则,先讨论关于的方程根的情况,
当时,由(2)可知，的两个不同根为1和-2，注意到是奇函数，所以
的两个不同根为-1和2.
当时，因为
所以-2，-1,1,2都不是的根.由(1)知
① 当时,,于是是单调增函数,从而 ,此时
无实根,同理, 在上无实根.
② 当时, ,于是是单调增函数,又,
的图像不间断,所以在内有唯一实根.
同理, 在(-2,-1)内有唯一实根.
③ 当时,,故是单调减函数,又
的图像不间断, 所以在内有唯一实根.
由上可知:当时,有两个不同的实根满足;
当时，有三个不同的实根满足
现考虑的零点.
（ⅰ）当时，有两个不同的根满足
而有三个不同的实根，有两个不同的实根，故有5个零点.
（ⅱ）当时，有三个不同的根,满足
而有三个不同的根,故有9个零点.综上可知,当时，函数有5个零点; 当时，函数有9个零点..
14. （2012江西文）（本小题满分14分）
已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.
（1）求a的取值范围；
（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。
【解析】（1），，因为在[0,1]上单调递减则令即解得
（2）
15. （2012辽宁） （本小题满分12分）设
，曲线与直线在点相切.
（1）求的值；
（2）证明：当时，
【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.
【解析】（1）由的图像过点，代入得
由在处的切线斜率为，又，得…3分
（2）（证法一）由均值不等式，当时，，故
记，则
，令，则当时，
（lby lfx）
因此在内是减函数，又由，得，所以
因此在内是减函数，又由，得，
于是当时， …12分
（证法二）
由（1）知，由均值不等式，当时，，故
令，则，故，即，由此得，当时，，记，则当时，
因此在内是减函数，又由，得，即
16. （2012辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集为
（1）求的值
（2）若恒成立，求的取值范围
【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题.
【解析】（1）由得，又的解集为，所以
当时，不合题意
当时，，得,
（2）记，则，
所以，因此
17.（2012辽宁文）(本小题满分12分)
设，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ）
(Ⅱ)当时
【答案与解析】
证明:(1)记，
,则当时,
又g(0)=1,所以
所以
（2）记.由(1)得
令.则当时
因此在内是减函数,又由g(0)=1,得所以
所以在内是减函数,又得,
于是当时,.
18.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知，不等式的解集为.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。
【答案与解析】
解(1)由得,
又的解集为,
所以当时,不合题意.
当时,,得.
(2)记,则
所以,因此
19.（2012全国卷理）（本小题满分12分）
已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值。
解（1）
令得：
得：
在上单调递增
得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
20.（2012全国卷理）（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围。
解（1）当时，
或或
或
（2）原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
21.(2012山东理) (本小题满分13分)
已知函数 （k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设,其中为f(x)的导函数，证明：对任意.
解析：由可得，而，即，解得；
（Ⅱ），令可得，
当时，；当时，。
于是在区间内为增函数；在内为减函数。
简证（Ⅲ），
当时， ，.
当时，要证。
只需证，然后构造函数即可证明。
22． (2012山东文) (本小题满分13分)
已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.[来
解：(I)，
由已知，，∴.
(II)由(I)知，.
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.
当时，＞1，且，∴.
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值.
所以.
综上，对任意，.
23．（2012上海理）已知函数.
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数
的反函数.（8分）
解：（1）由，得.
由得. ……3分
因为，所以，.
由得. ……6分
（2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此
. ……10分
由单调性可得.
因为，所以所求反函数是，. ……14分
24. （2012上海文）已知函数.
①若，求的取值范围；
②如果是以为周期的偶函数，且当时，有，求函数
的反函数.
答案：①
②
25.（2012四川理）(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由.
解：（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为
(2)由（1）知f(n)=,则
即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥
当,
>2n3+1
当n=0,1,2时，显然
故当a=时，对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是.
（3）由（1）知，则，
下面证明：
首先证明：当0<x<1时，
设函数
当
故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min=g
所以，当0<x<1时，g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<ak<1(),因此，从而
26．（2012四川文）(本小题满分14分)
已知a为正实数，n为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点A，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距．
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由．
解：（Ⅰ）令，得，则．由知，点处的切线方程为．令，得，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则成立的充要条件是，
即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1得到．
当，n≥1时，．当n=0时，．
故时，对所有都成立．
所以满足条件的a的最小值为3．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知．
下面证明：．
首先证明：当时，，
设函数，，则．
当时，；当时，．
故在上的最小值，
所以当时，，即得．
由知，因此，从而
．
27.(2012天津理)（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明.
解：（1）的定义域为
，由，得
当变化时变化时，，的不好情况如下表：
因此，在处
-
0
+
极小值
取得最小值，故由题意所以
（2）当时，取，有，故不合题意.
当时,令,即
令得
①当时, 在上恒成立,因此在上单调递减,从而对于任意的,总有,即在上恒成立.故符合题意.
②当时, ,对于
故在内单调递增,因此,当取时,
,即不成立.
故不合题意.
(3)证明:当时,不等式左边右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取得,从而
所以有
综上
28.（2012天津文）（本小题满分14分）
已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
解(1),由得
当变化时,的变化情况如下表:
0
-
0
+
极大值
极小值
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)由(1)知在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在区间
(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当,解得.
所以,的取值范围为.
（3）时，，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。
①当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者，由知，当时，
故，所以，而在上单调递增，因此，
所以在上的最小值为.
②当时,且,
下面比较的大小.
由在上单调递增,有
又由,
从而
所以
综上,函数在区间上的最小值为.
29．（2012浙江理）(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解：(Ⅰ)(ⅰ)．
当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵，∴令．
当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．
∴所求a＋b的取值范围为：．
30. (2012浙江文)（本题满分15分）已知函数
⑴求的单调区间
⑵证明：当时，
解： 由题意得
当时，恒成立，此时的单调递增区间为
当时，此时函数的
单调递增区间为和单调递减区间为
由于故
当时，
当时，
设于是
0
1
—
0
+
1
减
极小值
增
1
所以，所以当时，
故
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