2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（）A3 B6 C8 D10 2（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 3（5 分）下面是关于复数 z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1 Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 5（5 分）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则 a1+a10=（）A7 B5 C5 D7 6（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）第 2 页（共 16 页）A6 B9 C12 D18 8（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点B，|AB|=4，则 C 的实轴长为（）A B C4 D8 9（5 分）已知 0，函数 f（x）=sin（x+）在区间，上单调递减，则实数 的取值范围是（）A B C D（0，2 10（5 分）已知函数 f（x）=，则 y=f（x）的图象大致为（）A B C D 11（5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（）A B C D 12（5 分）设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2 B C1+ln2 D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）已知向量夹角为 45，且，则=14（5 分）设 x，y 满足约束条件：；则 z=x2y 的取值范围为 15（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 16（5 分）数列an满足 an+1+（1）nan=2n1，则an的前 60 项和为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+asinCbc=0（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为；求 b，c 第 3 页（共 16 页）18（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角 A1BDC1的大小 20（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 21（12 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b 的最大值 第 4 页（共 16 页）四、请考生在第四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号写清题号 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD 23选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，）（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 24已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页）2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（）A3 B6 C8 D10 【考点】12：元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x，y 进行赋值得出 B 中所有元素，即可得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5 时，y=1，2，3，4，x=4 时，y=1，2，3，x=3 时，y=1，2，x=2 时，y=1 综上知，B 中的元素个数为 10 个 故选：D【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数 2（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6 种选法；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 故不同的安排方案共有 261=12 种 故选：A【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题 3（5 分）下面是关于复数 z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1 Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 z=1i，知，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z=1i，p3：z 的共轭复数为1+i，第 6 页（共 16 页）p4：z 的虚部为1，故选：C【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P 为直线 x=上一点 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 5（5 分）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则 a1+a10=（）A7 B5 C5 D7 【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 a4+a7=2，及 a5a6=a4a7=8 可求 a4，a7，进而可求公比 q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8 a4=4，a7=2 或 a4=2，a7=4 当 a4=4，a7=2 时，a1=8，a10=1，a1+a10=7 当 a4=2，a7=4 时，q3=2，则 a10=8，a1=1 a1+a10=7 综上可得，a1+a10=7 故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力 第 7 页（共 16 页）6（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，an中最大的数，B 为 a1，a2，an中最小的数 故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B9 C12 D18 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3；底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体积为 V=633=9 故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力 8（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点B，|AB|=4，则 C 的实轴长为（）第 8 页（共 16 页）A B C4 D8 【考点】KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设等轴双曲线 C：x2y2=a2（a0），y2=16x 的准线 l：x=4，由 C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，能求出 C 的实轴长【解答】解：设等轴双曲线 C：x2y2=a2（a0），y2=16x 的准线 l：x=4，C 与抛物线 y2=16x 的准线 l：x=4 交于 A，B 两点，A（4，2），B（4，2），将 A 点坐标代入双曲线方程得=4，a=2，2a=4 故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化 9（5 分）已知 0，函数 f（x）=sin（x+）在区间，上单调递减，则实数 的取值范围是（）A B C D（0，2 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】法一：通过特殊值=2、=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果 法二：可以通过角的范围，直接推导 的范围即可【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）法二：，得：故选：A【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力 10（5 分）已知函数 f（x）=，则 y=f（x）的图象大致为（）A B C D 【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】考虑函数 f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除 A，C，由 f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设 则 g（x）=g（x）在（1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数 g（x）g（0）=0 f（x）=0 得：x0 或1x0 均有 f（x）0 排除 A，C，第 9 页（共 16 页）又 f（x）=中，能排除 D 故选：B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题 11（5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（）A B C D 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 OO1，进而求出底面 ABC 上的高 SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABC CO1=，OO1=，高 SD=2OO1=，ABC 是边长为 1 的正三角形，SABC=，V三棱锥 SABC=故选：C 【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离 12（5 分）设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2 B C1+ln2 D 【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于函数与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线 y=x 的距离为的最小值，设 g（x）=，利用导数可求函数 g（x）的单调性，进而可求 g（x）的最小值，即可求【解答】解：函数与函数 y=ln（2x）互为反函数，图象关于 y=x 对称，函数上的点到直线 y=x 的距离为，设 g（x）=（x0），则，由0 可得 xln2，由0 可得 0 xln2，函数 g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当 x=ln2 时，函数 g（x）min=1ln2，第 10 页（共 16 页），由图象关于 y=x 对称得：|PQ|最小值为 故选：B【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）已知向量夹角为 45，且，则=3 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分 析】由 已 知 可 得，=，代 入|2|=可求【解答】解：，=1=|2|=解得 故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法 14（5 分）设 x，y 满足约束条件：；则 z=x2y 的取值范围为 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 z=x2y 可得，y=，则表示直线x2yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求 z 的最大与最小值，从而可求 z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由 z=x2y 可得，y=，则表示直线 x2yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小 结合函数的图形可知，当直线 x2yz=0 平移到 B 时，截距最大，z 最小；当直线 x2yz=0 平移到A 时，截距最小，z 最大 由可得 B（1，2），由可得 A（3，0）Zmax=3，Zmin=3 则 z=x2y3，3 故答案为：3，3 【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案 15（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正第 11 页（共 16 页）常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过 1000 小时”当且仅当“超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时，元件 3 正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 设 A=超过 1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常，B=超过 1000 小时时，元件 3 正常 C=该部件的使用寿命超过 1000 小时 则 P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题 16（5 分）数列an满足 an+1+（1）nan=2n1，则an的前 60 项和为1830 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列【分析】由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，利用数列的结构特征，求出an的前 60 项和【解答】解：an+1+（1）n an=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列 an的前 60 项和为 152+（158+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前 n 项和，属中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+asinCbc=0（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为；求 b，c 【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到 sin（A30）=即可求出 A 的值；（2）若 a=2，由ABC 的面积为，求得 bc=4，再利用余弦定理可得 b+c=4，结合求得 b 和 c 的值【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinCbc=0，即 sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinAcosA=1 sin（A30）=第 12 页（共 16 页）A30=30 A=60；（2）若 a=2，ABC 的面积=，bc=4 再利用余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bcbc=（b+c）234=4，b+c=4 结合求得 b=c=2【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题 18（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】（1）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数；（2）（i）X 可取 60，70，80，计算相应的概率，即可得到 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进 17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论【解答】解：（1）当 n16 时，y=16（105）=80；当 n15 时，y=5n5（16n）=10n80，得：（2）（i）X 可取 60，70，80，当日需求量 n=14 时，X=60，n=15 时，X=70，其他情况 X=80，P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=10.10.2=0.7，X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 EX=600.1+700.2+800.7=76 DX=1620.1+620.2+420.7=44（ii）购进 17 枝时，当天的利润的期望为 y=（14535）0.1+（15525）0.2+（16515）0.16+1750.54=76.4 76.476，应购进 17 枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角 A1BDC1的大小 第 13 页（共 16 页）【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】（1）证明 DC1BC，只需证明 DC1面 BCD，即证明 DC1DC，DC1BD；（2）证明 BC面 ACC1A1，可得 BCAC 取 A1B1的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，C1H，可得点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角，由此可求二面角 A1BDC1的大小【解答】（1）证明：在 RtDAC 中，AD=AC，ADC=45 同理：A1DC1=45，CDC1=90 DC1DC，DC1BD DCBD=D DC1面 BCD BC面 BCD DC1BC（2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1=C1，BC面 ACC1A1，AC面 ACC1A1，BCAC 取 A1B1的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，OH A1C1=B1C1，C1OA1B1，面 A1B1C1面 A1BD，面 A1B1C1面 A1BD=A1B1，C1O面 A1BD 而 BD面 A1BD BDC1O，OHBD，C1OOH=O，BD面 C1OHC1HBD，点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角 设 AC=a，则，sinC1DO=C1DO=30 即二面角 A1BDC1的大小为 30 【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题 20（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离，由ABD 的面积 SABD=，知=，由此能求出圆 F 的方程（2）由 对 称 性 设，则点 A，B 关 于 点 F 对 称 得：，得：，由此能求出坐标原点到 m，n 距离的比值 第 14 页（共 16 页）【解答】解：（1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离，ABD 的面积 SABD=，=，解得 p=2，所以 F 坐标为（0，1），圆 F 的方程为 x2+（y1）2=8（2）由题设，则，A，B，F 三点在同一直线 m 上，又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称 由点 A，B 关于点 F 对称得：得：，直线，切点 直线 坐标原点到 m，n 距离的比值为【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 21（12 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b 的最大值 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想【分析】（1）对函数 f（x）求导，再令自变量为 1，求出 f（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 0 即可得到参数 a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f（1）ex1f（0）x+f（x）=f（1）ex1f（0）+x 令 x=1 得：f（0）=1 f（x）=f（1）ex1x+令 x=0，得 f（0）=f（1）e1=1 解得 f（1）=e 故函数的解析式为 f（x）=exx+令 g（x）=f（x）=ex1+x g（x）=ex+10，由此知 y=g（x）在 xR 上单调递增 当 x0 时，f（x）f（0）=0；当 x0 时，有 f（x）f（0）=0 得：函数 f（x）=exx+的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）（2）f（x）（a+1）xb0 得 h（x）=ex（a+1）当 a+10 时，h（x）0y=h（x）在 xR 上单调递增，x时，h（x）与 h（x）0矛盾 当 a+10 时，h（x）0 xln（a+1），h（x）0 xln（a+1）得：当 x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）（a+1）ln（a+1）b0，即（a+1）（a+1）ln（a+1）b（a+1）b（a+1）2（a+1）2ln（a+1），（a+10）令 F（x）=x2x2lnx（x0），则 F（x）=x（12lnx）F（x）00 x 当 x=时，F（x）max=即当 a=时，（a+1）b 的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题第 15 页（共 16 页）中要赋值求出 f（1），易因为没有将 f（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错 四、请考生在第四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号写清题号 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD 【考点】N4：相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】14：证明题【分析】（1）根据 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DEBC，证明四边形 ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得BCDGBD【解答】证明：（1）D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点 DFBC，AD=DB ABCF，四边形 BDFC 是平行四边形 CFBD，CF=BD CFAD，CF=AD 四边形 ADCF 是平行四边形 AF=CD，BC=AF，CD=BC（2）由（1）知，所以 所以BGD=DBC 因为 GFBC，所以BDG=ADF=DBC=BDC 所以BCDGBD 【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题 23选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，）（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）确定点 A，B，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出 P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解答】解：（1）点 A，B，C，D 的极坐标为 第 16 页（共 16 页）点 A，B，C，D 的直角坐标为（2）设 P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2 sin20，1 t32，52【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题 24已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式【分析】不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求 原命题等价于2xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，可得 x1；，可得 x；，可得 x4 取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4（2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x 在1，2上恒成立 故当 1x2 时，2x 的最大值为21=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为3，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题