2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）设集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=（）A4，8 B0，2，6 C0，2，6，10 D0，2，4，6，8，10 2（5 分）若 z=4+3i，则=（）A1 B1 C+i Di 3（5 分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30 B45 C60 D120 4（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 5（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A B C D 6（5 分）若 tan=，则 cos2=（）A B C D 7（5 分）已知 a=，b=，c=，则（）Abac Babc Cbca Dcab 8（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（）A3 B4 C5 D6 9（5 分）在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，则 sinA=（）A B C D 10（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面第 2 页（共 16 页）体的表面积为（）A18+36 B54+18 C90 D81 11（5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A4 B C6 D 12（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+3y5 的最小值为 14（5 分）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少向右平移 个单位长度得到 15（5 分）已知直线 l：xy+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C，D 两点则|CD|=16（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ex1x，则曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分）17（12 分）已知各项都为正数的数列an满足 a1=1，an2（2an+11）an2an+1=0（1）求 a2，a3；（2）求an的通项公式 第 3 页（共 16 页）18（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646 参考公式：相关系数 r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（）证明 MN平面 PAB；（）求四面体 NBCM 的体积 20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 第 4 页（共 16 页）21（12 分）设函数 f（x）=lnxx+1（1）讨论 f（x）的单调性；（2）证明当 x（1，+）时，1x；（3）设 c1，证明当 x（0，1）时，1+（c1）xcx 请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何证明选：几何证明选讲讲 22（10 分）如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OGCD 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2（1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页）2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）设集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=（）A4，8 B0，2，6 C0，2，6，10 D0，2，4，6，8，10 【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合【分析】根据全集 A 求出 B 的补集即可【解答】解：集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=0，2，6，10 故选：C【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题 2（5 分）若 z=4+3i，则=（）A1 B1 C+i Di 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【解答】解：z=4+3i，则=i 故选：D【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 3（5 分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30 B45 C60 D120 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解：，；又 0ABC180；ABC=30 故选：A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角 4（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（）第 6 页（共 16 页）A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确 B七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确 D平均最高气温高于 20的月份有 7，8 两个月，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键 5（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A B C D 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计【分析】列举出从 M，I，N 中任取一个字母，再从 1，2，3，4，5 中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案【解答】解：从 M，I，N 中任取一个字母，再从 1，2，3，4，5 中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共 15 种 其中只有一个是小敏的密码前两位 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 故选：C【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题 6（5 分）若 tan=，则 cos2=（）A B C D 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将 tan的值代入计算即可求出值【解答】解：tan=，cos2=2cos21=1=1=故选：D【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键 7（5 分）已知 a=，b=，c=，则（）Abac Babc Cbca Dcab 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】b=，c=，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而得到答案 第 7 页（共 16 页）【解答】解：a=，b=，c=，综上可得：bac，故选：A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档 8（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（）A3 B4 C5 D6 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值，当 s=20时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题 9（5 分）在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，则 sinA=（）A B C D 【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出 AB，AC，再由三角形面积公式，可得 sinA【解答】解：在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，AB=BC，由余弦定理得：AC=BC，故BCBC=ABACsinA=BCBCsinA，sinA=，故选：D 第 8 页（共 16 页）【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键 10（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36 B54+18 C90 D81 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：36=18，侧面的面积为：（33+3）2=18+18，故棱柱的表面积为：182+18+18=54+18 故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 11（5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A4 B C6 D 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10 故三角形 ABC 的内切圆半径 r=2，又由 AA1=3，故直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，此时 V 的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键 12（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a），分别令 x=c，x=0，可第 9 页（共 16 页）得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0），A（a，0），B（a，0），设直线 AE 的方程为 y=k（x+a），令 x=c，可得 M（c，k（ac），令 x=0，可得 E（0，ka），设 OE 的中点为 H，可得 H（0，），由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为 a=3c，可得 e=另解：由AMFAEO，可得=，由BOHBFM，可得=，即有=即 a=3c，可得 e=故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+3y5 的最小值为10 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即 A（1，1）化目标函数 z=2x+3y5 为 由图可知，当直线过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2（1）+3（1）5=10 故答案为：10 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14（5 分）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少向右平移个单位长度得到 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质【分析】令 f（x）=2sinx，则 f（x）=2in（x），依题意可得 2sin（x）=2sin（x），由=2k（kZ），可得答案 第 10 页（共 16 页）【解答】解：y=sinxcosx=2sin（x），令 f（x）=2sinx，则 f（x）=2in（x）（0），依题意可得 2sin（x）=2sin（x），故=2k（kZ），即=2k+（kZ），当 k=0 时，正数 min=，故答案为：【点评】本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（x+）（A0，0）的图象，得到=2k（kZ）是关键，属于中档题 15（5 分）已知直线 l：xy+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C，D 两点则|CD|=4 【考点】J8：直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d=3，|AB|=2=2，直线 l：xy+6=0 直线 l 的倾斜角为 30，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，|CD|=4 故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础 16（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ex1x，则曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用【分析】由已知函数的奇偶性结合 x0 时的解析式求出 x0 时的解析式，求出导函数，得到 f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ex1x，设 x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则 f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2 曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 y2=2（x1）即 y=2x 故答案为：y=2x【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分）17（12 分）已知各项都为正数的数列an满足 a1=1，an2（2an+11）an2an+1=0（1）求 a2，a3；（2）求an的通项公式 【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令 n=1 可得 a12（2a21）a12a2=0，将 a1=1 代入第 11 页（共 16 页）可得 a2的值，进而令 n=2 可得 a22（2a31）a22a3=0，将 a2=代入计算可得 a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将 an2（2an+11）an2an+1=0 变形可得（an2an+1）（an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1或 an=an+1，结合数列各项为正可得 an=2an+1，结合等比数列的性质可得an是首项为a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，当 n=1 时，有 a12（2a21）a12a2=0，而 a1=1，则有 1（2a21）2a2=0，解可得 a2=，当 n=2 时，有 a22（2a31）a22a3=0，又由 a2=，解可得 a3=，故 a2=，a3=；（2）根据题意，an2（2an+11）an2an+1=0，变形可得（an2an+1）（an+1）=0，即有 an=2an+1或 an=1，又由数列an各项都为正数，则有 an=2an+1，故数列an是首项为 a1=1，公比为的等比数列，则 an=1（）n1=（）n1，故 an=（）n1【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到 an与 an+1的关系 18（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646 参考公式：相关系数 r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计【分析】（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：第 12 页（共 16 页）r=0.993，0.9930.75，故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（2）=0.103，=1.3310.10340.92，y 关于 t 的回归方程=0.10t+0.92，2016 年对应的 t 值为 9，故=0.109+0.92=1.82，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（）证明 MN平面 PAB；（）求四面体 NBCM 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行菁优网版权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】（）取 BC 中点 E，连结 EN，EM，得 NE 是PBC 的中位线，推导出四边形 ABEM 是平行四边形，由此能证明 MN平面 PAB（）取 AC 中点 F，连结 NF，NF 是PAC 的中位线，推导出 NF面 ABCD，延长 BC 至 G，使得CG=AM，连结 GM，则四边形 AGCM 是平行四边形，由此能求出四面体 NBCM 的体积【解答】证明：（）取 BC 中点 E，连结 EN，EM，N 为 PC 的中点，NE 是PBC 的中位线 NEPB，又ADBC，BEAD，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，BE=BC=AM=2，四边形 ABEM 是平行四边形，EMAB，平面 NEM平面 PAB，MN平面 NEM，MN平面 PAB 解：（）取 AC 中点 F，连结 NF，NF 是PAC 的中位线，NFPA，NF=2，又PA面 ABCD，NF面 ABCD，如图，延长 BC 至 G，使得 CG=AM，连结 GM，AMCG，四边形 AGCM 是平行四边形，AC=MG=3，又ME=3，EC=CG=2，MEG 的高 h=，SBCM=2，四面体 NBCM 的体积 VNBCM=第 13 页（共 16 页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明 ARFQ；（）利用PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接 RF，PF，由 AP=AF，BQ=BF 及 APBQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R 是 PQ 的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，ARFQ（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=，SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，SABF=|FN|y1y2|，PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即 N（1，0）设 AB 中点为 M（x，y），由得=2（x1x2），又=，=，即 y2=x1 AB 中点轨迹方程为 y2=x1 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题 21（12 分）设函数 f（x）=lnxx+1（1）讨论 f（x）的单调性；（2）证明当 x（1，+）时，1x；（3）设 c1，证明当 x（0，1）时，1+（c1）xcx 第 14 页（共 16 页）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）求出导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证 lnxx1xlnx运用（1）的单调性可得 lnxx1，设 F（x）=xlnxx+1，x1，求出单调性，即可得到 x1xlnx 成立；（3）设 G（x）=1+（c1）xcx，求 G（x）的二次导数，判断 G（x）的单调性，进而证明原不等式【解答】解：（1）函数 f（x）=lnxx+1 的导数为 f（x）=1，由 f（x）0，可得 0 x1；由 f（x）0，可得 x1 即有 f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+）；（2）证明：当 x（1，+）时，1x，即为 lnxx1xlnx 由（1）可得 f（x）=lnxx+1 在（1，+）递减，可得 f（x）f（1）=0，即有 lnxx1；设 F（x）=xlnxx+1，x1，F（x）=1+lnx1=lnx，当 x1 时，F（x）0，可得 F（x）递增，即有 F（x）F（1）=0，即有 xlnxx1，则原不等式成立；（3）证明：设 G（x）=1+（c1）xcx，则需要证明：当 x（0，1）时，G（x）0（c1）；G（x）=c1cxlnc，G（x）=（lnc）2cx0，G（x）在（0，1）单调递减，而 G（0）=c1lnc，G（1）=c1clnc，由（1）中 f（x）的单调性，可得 G（0）=c1lnc0，由（2）可得 G（1）=c1clnc=c（1lnc）10，t（0，1），使得 G（t）=0，即 x（0，t）时，G（x）0，x（t，1）时，G（x）0；即 G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，x（0，1）时 G（x）0 成立，不等式得证；即 c1，当 x（0，1）时，1+（c1）xcx【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何证明选：几何证明选讲讲 22（10 分）如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OGCD 【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明【分析】（1）连接 PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD 的度数；（2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上，即可得证【解答】（1）解：连接 PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O 中的中点为 P，可得4=5，在EBC 中，1=2+3，又D=3+4，2=5，第 15 页（共 16 页）即有2=4，则D=1，则四点 E，C，D，F 共圆，可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有 3PCD=180，可得PCD=60；（2）证明：由 C，D，E，F 共圆，由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 可得 G 为圆心，即有 GC=GD，则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦，则 OGCD 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2（1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标 另外：设 P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1，即有椭圆 C1：+y2=1；曲线 C2的极坐标方程为 sin（+）=2，即有（sin+cos）=2，由 x=cos，y=sin，可得 x+y4=0，即有 C2的直角坐标方程为直线 x+y4=0；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值 设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立可得 4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216（3t23）=0，解得 t=2，显然 t=2 时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=，此时 4x212x+9=0，解得 x=，第 16 页（共 16 页）即为 P（，）另解：设 P（cos，sin），由 P 到直线的距离为 d=，当 sin（+）=1 时，|PQ|的最小值为，此时可取=，即有 P（，）【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式 f（x）6 的解集（2）由 f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x|+|x|，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式 f（x）6 的解集为x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x|+2|x|+a3，|x|+|x|，当 a3 时，成立，当 a3 时，|x|+|x|a1|0，（a1）2（3a）2，解得 2a3，a 的取值范围是2，+）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用