gps高程拟合方法及其精度研究测绘大学论文.doc

辽宁工程技术大学成人教育学院毕业设计（论文）

GPS高程拟合方法及其精度研究

目录
摘要 - 1 -
Abstract - 2 -
0 前言 - 3 -
1 GPS高程测量 - 6 -
1.1高程系统及其相互关系 - 6 -
1.1.1大地水准面与正高 - 6 -
1.1.2似大地水准面与正常高 - 8 -
1.1.3参考椭球面与大地高 - 8 -
1.1.4不同高程系统间的关系 - 9 -
1.2高程测量原理 - 9 -
1.2.1一般高程测量 - 9 -
1.2.2 GPS高程测量 - 10 -
1.3 GPS高程精度 - 11 -
1.3.1 GPS定位中的误差源 - 11 -
1.3.2消除或削弱误差的方法 - 12 -
1.3.3 GPS高程精度评定 - 13 -
2基于数学模型的GPS高程转换方法 - 16 -
2.1等值线图示法 - 16 -
2.2狭长带状区域线性拟合法 - 16 -
2.2.1多项式曲线拟合法 - 17 -
2.2.2正交函数曲线拟合法 - 19 -
2.2.3 Akima曲线拟合法 - 22 -
2.3曲面拟合法 - 24 -
2.3.1多项式曲面拟合法 - 24 -
2.3.2平面及平面相关拟合法 - 26 -
2.3.3多面函数曲面拟合法 - 26 -
2.4地球重力场模型拟合法 - 28 -
2.5地球重力场结合GPS水准拟合法 - 29 -
3 基于BP神经网络的GPS高程转换方法 - 30 -
3.1引言 - 30 -
3.2神经网络的基本原理 - 31 -
3.2.1人工神经元网络的基本概念 - 31 -
3.2.2简化的神经元数学模型 - 32 -
3.2.3人工神经网络的基本特征 - 33 -
3.3神经网络的BP算法 - 33 -
3.3.1 BP网络算法的思路 - 34 -
3.3.2 BP算法的数学描述 - 34 -
3.4 BP网络算法的计算机实现 - 36 -
3.5 BP网络结构分析 - 37 -
3.5.1初始权重的设置 - 37 -
3.5.2激活函数 - 37 -
4 GPS拟合实例应用分析 - 39 -
4.1 GPS高程拟合方法的选择 - 40 -
4.2 GPS高程拟合的神经网络模型 - 41 -
4.2.1神经网络学习样本 - 41 -
4.2.2网络的拓扑结构 - 41 -
4.2.3 BP网络模型试验研究 - 42 -
4.3实验对比结果 - 46 -
4.4结果分析 - 47 -
5结论 - 49 -
5.1总结 - 49 -
5.2展望 - 50 -
致谢 - 51 -
参考文献 - 52 -

- 53 -

摘要

GPS高程拟合是GPS研究领域的一个热点。提高GPS的定位精度以及GPS高程转换精度，可以得到较高精度的GPS水准高程。实践证明根据实际情况选择正确的转换方法获得的GPS水准高程的精度可以广泛地应用到工程、变形监测等各个方面中去，这将拓宽GPS的应用领域，真正的实现GPS的三维优越性。使备受青睐的GPS有更好的应用前景。本文系统的研究了GPS高程拟合原理，分析了各种拟合模型，论述了影响 GPS高程的误差源和改正方法，以及精度评定的标准。
论文首先探讨了高程测量的基本原理，其中分别介绍了经典水准测量、GPS高程测量。并分析了在施测过程中造成GPS高程的误差的原因，及精度评定标准。其次分析和探讨了GPS高程转换的方法，将其分为四种类型:线性拟合模型、平面拟合模型、地球重力场模型拟合法、地球重力模型与GPS水准相结合法。并介绍了有关参考椭球面与大地高、大地水准面与正高、似大地水准面与正常高的概念。然后详细的论述了BP神经网络的基本原理，及在GPS高程拟合中的应用。最后用BP神经网络拟合法以及多项式曲线拟合法两种方法对同一组数据进行拟合、对比与分析。

关键词：GPS高程;GPS高程拟合;精度分析;BP神经网络

Abstract

GPS height fitting is a hot research field of GPS. Improve GPS Positioning precision and accuracy of GPS height conversion, it can get the high precision GPS leveling elevation. The practice has proved according to the actual situation of choosing the correct method of conversion of GPS leveling accuracy can be widely elevation of applied to engineering, deformation monitoring, etc, this will be widened to application field of GPS, really realize the superiority of GPS 3d, Make choice of GPS have better prospect. The paper studies the elevation of GPS system, analyzes the fitting the principle of fitting model, the influence GPS height of the error sources and its correct method, And introduces precision evaluation standard.
Thesis discussed the basic principle of elevation measurement. At first it introduces classic level measurement and GPS height measurement . Analyzes the process of GPS height measurement errors caused by the reasons, and precision evaluation standard. Then analyzes and discusses the method of transformation of GPS height, which is divided into four types: linear fitting model, plane fitting model, earth gravity model fitting method, the gravity model in combination with GPS leveling. And introduces reference ellipsoid and geodetic height , geoid and orthometric, like the geoid and normal height. After that we discusses in detail the basic principles of BP neural network, and the application in GPS height fitting. Last with BP neural network and the polynomial curve-fitting method of two fitting the same date, contrast results, and analysis precision.

Key words：GPS height; GPS height fitting; analysis precision; BP neural network.

0 前言
全球卫星定位系统(GPS)是由美国计划自1973年起步，1978年首次发射卫星，1994年完成24颗中等高度圆轨道(MEO)卫星组网，历时16年建成，整个系统由空间部分、控制部分、和用户部分组成，它能在全球范围内，向任意多用户提供高精度的、全天候的、连续的、实时的三维测速、三维定位和授时[1]。正是由于GPS系统定位精度高，不受天气、气候、昼夜影响，使它在军事、地学研究、交通运输等诸多领域得到了广泛的应用与研究，它的建立使导航技术以及定位技术产生了根本性变革。全球定位系统在测绘领域广泛应用，对经典的测绘技术产生了不小的影响，把测绘技术带入了一个崭新的时代，可以说是人类测绘史上的一次深刻的技术革命。
GPS定位技术在各个方面得到了广泛的应用，尤其在测绘领域，在此领域中GPS定位技术主要表现在建立各级平面控制网方面，它集数据采集、处理、传输、分析于一体，GPS定位技术的主要成就在于GPS平面坐标的应用上，而GPS高程并没有得到很好的应用，因为在日常中所采用的高程系统通常是正常高系统，它是以似大地水准面为基准面的高程系统，而GPS高程则是大地高，大地高是以参考椭球面为基准面。由于参考面的不同，GPS高程不能直接应用于工程及各个领域中。相对于传统测量高程的方法，GPS高程既有优点也有缺点，优点是实时，快速，需要较少的人力，缺点是不能直接应用于实际应用中。但随着社会的高速发展，测量技术的日益进步，软件的更新，GPS高程也受到了越来越多的关注，“高程现代化” [2]的概念近年来被人们所熟知，它主要由以美国大地测量局为代表所提出的关于测定高程理念的一种思想。“高程现代化”的核心思想就是在测量高程时，采用GPS测量高程，而不是传统的经典精密水准测量。这种思想的提出为GPS高程测量提供了发展空间。传统的测量方法费时、费力、费钱。而GPS高程测量将节省大量的时间、人力、经费。所以提高GPS的精度，转换GPS高程为正常高成了目前研究GPS高程的热点[3]。
GPS高程转换是指由GPS所测得的大地高转换为正常高。国内外在GPS高程转换的方法上做出了比较成熟研究成果。本文就是在国内外研究的基础上对GPS高程转换及GPS高程转换后的精度进行探讨。GPS高程转换的方法以及在转换时所用的拟合模型都是影响GPS高程.精度的因素。GPS高程精度主要取决与实际施测方法和高程拟合方法，如果想要得到高精度的GPS高程，必须每一个环节都要认真对待，测量大地高时要保证测量的精度，避免或减小误差的出现，高程拟合时要选择正确的拟合模型，使拟合后的成果能够符合工程应用的精度要求。这样才能保证GPS转换后的高程精度。在GPS高程拟合时处理大量的数据使不能快速及时准确的得出正常高，运用MATLAB软件帮助我们快速准确的拟合GPS高程，在以后的应用中将更为广泛。
1992年国家测绘局制定了我国第一部《全球定位系统GPS测量规范》，其中将GPS控制网分为A一E五个级别。所以说GPS定位技术完全可以进行传统的一，二，三，四等平面控制测量。然而虽然;可以解算GPS相对定位的基线向量，从中得出高精度的大地高，但是由于受到种种限制我们在将大地高转换为正常高的过程中，使得得到的大地高的精度并不高。这使GPS的应用受到了限制。
研究GPS高程的目的可以分为两个方面，一个是如何在实施GPS高程测量过程中提高GPS高程精度，二是在得到GPS高程数据后，如何对GPS高程进行数据处理，精确求定GPS点的正常高，这点也是我们研究GPS高程的意义所在。由于GPS测量得到的高程是以WGS一84椭球为参考面的大地高，大地高不具备物理意义，我国所采用的高程是正常高系统，正常高是以似大地水准面为参考面，大地高和正常高之间存在着高程异常值否，所以就要把GPS测量的大地高和正常高做出转换才能进行实际应用，在转换过程中求出高程异常值，然后根据拟合模型求出所有GPS点的正常高，本文所研究的就是如何在拟合GPS高程点时能更迅速，更准确的求出相应的正常高。
研究GPS高程的意义在于研究GPS高程在测量过程中的精度究竟与哪些因素有关，如何提高GPS高程测量的精度，在数据处理过程中，将大地高转换为正常高又与那些因素相关，得到的正常高能否在实际应用得到广泛的应用，怎样才能真正的体现GPS测量的三维优越性。这是本课题讨论的重点。对于GPS高程的应用与精度分析的研究不仅有着其重要的理论意义，更重要的是具有非常重要的现实意义，并且有着广阔的应用前景。
本文主要研究GPS高程的拟合和精度分析。在实际应用中如何实现GPS提供精确三维坐标的优越性，如何才能提高GPS高程测量的精度。其中研究重点在如何实现转换GPS高程为正常高，计算高程异常值的方法。全文共分为五个章节，各个章节的主要内容如下:
(1) “摘要”。简述了GPS的产生及其在社会领域中的重要地位，GPS高程相对于传统经典水准测量有哪些优缺点，以及用来GPS高程拟合国内外常用的方法。
(2) “GPS高程测量”。这个章节主要介绍GPS高程测量的原理及一般高程测量方法，以及GPS高程测量的相关问题。其中包括水准面、大地水准面、似大地水准面的定义;大地高系统、正高系统、正常高系统的定义;影响GPS高程测量精度的因素以及GPS高程的精度评定指标等。
(3) “GPS高程转换的方法”。本章节主要介绍了应用中用到的转换方法，其中归纳为五类转换方法:线状拟合模型、平面拟合模型、曲面拟合模型、重力场拟和法及BP神经网络法，前四类方法是基于数学模型的拟合法，其中又可细分为几种具体方法，BP神经网络法是新兴的转换方法，因此做了比较详细的分析与论述。并分别介绍了各个拟合方法的优缺点和它们各自的适用范围，最后介绍了在地形复杂地带应适用分区拟合的方法。
(5) “GPS高程转换实例分析”，本章节以宿淮铁路为例子，对其中的部分GPS数据进行了处理，且使用了多项式曲线拟合法和BP神经网络法对其进行拟合，根据两种方法对数据的拟合结果以及拟合成果精度的分析，得出了BP神经网络拟合法精度优于多项式曲线拟合的结论。
(6) “总结和展望”。对论文进行了总结，以及要进一步解决的相关问题。

1 GPS高程测量
在采用传统地面观测技术确定地面点位置时，通常是分别独立确定平面位置和高程的，这是由于两个方面的原因，第一在两者的参考基准不一样，在测量中平面坐标是以参考椭球面为基准，高程则是以似大地水准面为基准，第二个原因是由于两者观测的方法也不相同，在测量平面坐标时通常采用测角量边的方法，高程一般是通过水准测量和三角高程测量来确定。参考基准与测量方法的不同决定了分别施测平面坐标与高程。
上面所述我国采用的高程是以似大地水准面为基准面的正常高系统，当使用GPS测量时，测出的三维坐标是以参考椭球为基准面的，即大地高。大地高不能直接用于实际应用中，这就需要转换大地高为正常高，如果可以计算出点位上的大地高和正常高的高程异常，那么利用公式即可以求出大地高，所以求出高程异常就成为关键。本章介绍与高程相关的概念，以及传统的高程测量方法和GPS测量的原理。
1.1高程系统及其相互关系
地面点一般会有三个量值表达其空间位置信息。其中高程就是其中一个量值，它和平面坐标组合在一起表达了点的位置。水准原点和高程基准面是高程系统必不可少的两个因素。高程基准面是地球点高程的统一基准面，不同的高程系统会有不一样的高程基准面，但通常采用大地水准面作为高程基准面。我国在1957年确定青岛验潮站为我国基本验潮站，以该站收集的均50年至1956年的潮汐资料，推算的黄海平均海水面作为我国的高程起算面，并在青岛市观象山建立了水准原点。水准原点到验潮站平均海水高程为72.289m。这个高程系统称为“1956年黄海高程系统”。80年代初，国家又根据青岛验潮站1953年至1979年中取19年的潮汐资料，推算出新的国家基准面作为高程零点，由此测得青岛水准原点高程为72.2604m，将这个高程准面作为全国高程的起算面，称为“1985国家高程基准”。
1.1.1大地水准面与正高
重力等位面是重力位为常数的面，重力等位面有无数多个，在某一点，重力值g与两相邻大地水准面w和w+dw间的距离dh之间具有下列关系:
(1一l)
从公式中可以看出，邻近的等位面不一定平行，这是由于重力等位面上点的重力值不一定相等造成的，大地水准面是无数重力等位面中的其中一个，通常把其看作是与平均海水面一致的重力等位面。它和参考椭球面不同，它具有物理意义。
大地水准面[29]是一个复杂的曲面，这是由于地球内部质量分布不均造成的，由于地球内部分布密度的差异造成了大地水准面的起伏。大地水准面是一个闭合曲面，其大致形状近似为旋转椭球。大地水准面的差距是大地水准面与参考椭球面的距离，通常用符号N表示，如图1一1所示:

图1一1 似大地水准面与参考椭球面
以大地水准面为参考面的高程系统被称为正高系统。地面上一点的正高是从沿着过此点的重力线到大地水准面的距离。如图1一2所示。正高的定义中采用了一些几何概念，但实际上它是一种物理高程系统。由图可以看出，垂线并不是一条直线，这是由于重力内在变化所造成的，因此物理等位面并不平行。正高用符号表示。

图1一2 大地高和正高
参考椭球面和大地水准面之间的数学关系如下式，其几何关系可以见图1一1
(1一2)
其中，N为大地水准面差距，H为大地高，为正高。
1.1.2似大地水准面与正常高
虽然正高系统具有明确的物理定义，却有其现实的困难，这就是测定平均重力值比较困难，由于沿垂线从地面点到大地水准面之间的重力值是变化的，所以求出平均重力值如就成为必须的工作，但是正由于此，对求地面点的正高产生了阻碍。为了避免求平均重力值，就产生了正常高的概念[29]，这个概念的提出很好的解决了这个问题，其方法就是用平均正常重力值来代替，由于平均正常重力值是可以精确计算的，所以正常高相比正高容易计算。正常高是以似大地水准面为基准面的高程系统。其中似大地水准面是从地面点沿正常重力线量取正常高所得端点构成的封闭曲线，似大地水准面严格说不是水准面，但接近于水准面，通常情况下只是用于计算的辅助面。并且在海洋上的似大地水准面是与大地水准面重合的。似大地水准面与大地水准面的差值为正常高与正高之差。正高与正常高的差值大小，与点位的高程和地球内部的质量分布有关系。高程异常是沿该点的正常重力线，似大地水准面和参考椭球面之间的距离。用符号否表示。如图1一3所示。

图1一3 似大地水准面和参考椭球面
正常高是墓地面点沿该点的正常重力线到似大地水准面的距离，符号表示为。与的关系为
(1一3)
1.1.3参考椭球面与大地高
参考椭球面是为了数学计算而采用的与地球大小、形状接近的椭球体表面。参考椭球面是测量、计算的基准面。它是大地高的参考面。大地高[29]是某地面点沿通过该点的参考椭球面法线至参考椭球面的距离。用符号H表示。大地高本身没有任何物理意义，参考椭球面并不唯一，不同的参考椭球面决定了不同的大地高。GPS高程是以WGS一84参考椭球面为基准面的大地高。
1.1.4不同高程系统间的关系
大地高、正高和正常高之间的相互关系总结如下:
(1一4)
(1一5)

1.2高程测量原理
高程测量是测量中的重要工作。确定出地面点的高程正是高程测量的任务。不同的测量仪器和不同的施测方法决定了高程测量方法的不同，通常我们所采用的测量方法有:几何水准测量、三角高程测量、重力高程测量以及GPS高程测量等。其中几何水准测量是测量地面点高程最主要的方法。
1.2.1一般高程测量
1.几何水准测量
水准测量时利用水准仪的视准线，其实是条水平视线确定两点间的高差，根据已知点的高程，利用公式求出位置点高程的过程[24]。如图2.4所示。已知地面A点高程凡，欲求未知点B点的高程。安置水准仪在A、B之间，并且在A、两点处分别各放置一个水准尺，在A、B读取水准尺的读数a和b。则A、B两点间的高差为:
(1一6)
如果按照水准测量的前进方向，把已知高程点A作为后视，待求点B作为前视，先后在两尺上读取读数，得到后视读数a和前视读数为b，则B点高程为。

图1一4 传统水准测量
2.三角高程测量
测量未知点位于起伏较大的地区及较高建筑物上时，通常采用三角高程测量[3]的方法。三角高程测量的基本思想是根据由测站的照准点所观测的竖直角和两点间的水平距离来计算两点之间的高差[3]。这种方法简单，且不受地形条件的制，因此在广泛地应用于测定大地控制点高程中。如图1一5所示，设A，B为地面上高度不同的两点。己知A点高程H，，自A点观测B点的竖直角为a，为两点间的水平距离，i为仪器高，u为规标高，则A、B两点间的高差为:
(1一7)

图1一5 三角高程测量
3.重力高程测量
重力法重点是要求出大地水准面的非线性变化部分。需要测区内有相关的重力资料。即在使用重力高程测量[27]时要是用地形数字模型和地球重力场模型。但在一般情况下，测区内测点位高程时并没有可供利用的重力场资料，所以重力高程测量在工程中往往不被使用，而是在科学研究中作为研究对象。
1.2.2 GPS高程测量
GPS的定位原理就是利用空间测距交会定点原理，测出人们所需的三维坐标，其中GPS高程测量是利用全球定位系统(GPS)测量技术直接测定地面点的大地高，或间接确定地面点的正常高的方法。
GPS提供的高程属于大地高，若要求出地面点高程(正常高)需要经过一些中间步骤。由于两个基准面之间存在着高程异常，我们要求出这点的高程异常值，即椭球面至大地水准面之间的高差，表达.式为:
(1一8)
式中为正常高，H为大地高，为高程异常。
1.3 GPS高程精度
由于本论文主要研究的是GPS高程拟合和精度分析，所以要在整个过程中对GPS定位精度以及转换精度进行控制。影响GPS的高程点的因素是参与GPS高程转换的数据质量以及GPS高程转换时所采取的方法。
在提高GPS精度的时候就要从这两方面出发，一个是已知数据的精度，二是构造的函数模型，这两方面影响GPS精度，已知数据的精度会影响构造的函数模型，如果单方面的只追求已知数据的精度而忽略了构造函数模型，同样也会影响到高程转换精度。从两方面来讲，可以得出“抗差”和“模型参数优选”相辅相成、缺一不可，因为粗差的探测与修正要基于较好的函数模型，反之参数的优选也依赖于某个较好的随机模型。两者共同影响着GPS拟合后的高程精度。因此我们要从两方面着手控制好GPS拟合后的水准精度。
也就是既要在GPS施测过程中控制GPS所测得的高程数据的精度，并次用高精度的联测已知水准点，且在转换过程中根据实际条件优选参数模型使GPS高程更好的拟合，得到正常高。本章节探讨的是如何减小GPS定位中的误差方法。由于原始数据的精度直接影响到了后面的一系列的数据精度，如果不能很好的控制GPS定位中的误差，也就不能很好的进行后面的数据处理工作，更谈不上得到精确的正常高，所以GPS定位精度的探讨是非常必要的，而且是非常关键的。要控制GPS定位误差的出现，首先我们要明确实际施测中GPS的误差源。尽量避免对GPS数据的干扰。
1.3.1 GPS定位中的误差源
GPS定位中的各种误差，按性质可分为系统误差和随机误差两大类。GP定位中出现的各种误差从误差源来讲大体分为下列三类[28]:
1.与卫星有关的误差
(1)卫星星历误差
由卫星星历所给出的卫星位置与卫星实际位置之差称为卫星星历误差。星历误差的大小主要取决于卫星定轨系统的质量。
(2)卫星钟的钟误差
卫星上虽然使用了高精度的原子钟，但是它们不可避免地存在误差，这种误差即包含系统性的误差，也包含着随机误差。系统误差比随机误差的值大，可以通过检验和比对来确定并通过模型来加以改正。
(3)相对论效应
相对论效应是指由于卫星钟和接收机钟所处的状态不同而引起的两台钟之间产生相对钟误差的现象。
2.与信号传播有关的误差
与信号传播有关的误差有电离层延迟、、对流层延迟以及多路径误差。多路径误差是由于经某些物体表面反射后到达接收机的信号如果与直接来自卫星的信号叠加干扰后进入接收机，就将使测量值产生的系统误差。多路径误差取决于测站周围的环境、接收机的性能以及观测时间的长短。
3.与接收机有关的误差
与接收机有关的误差有接收机钟的钟误差、接收机的位置误差以及接收机的测量噪声。其中接收机的测量噪声通常忽略不计。
1.3.2消除或削弱误差的方法
上述的各项误差对GPS测量影响是不能忽视的。它们会降低GPS观测值的精度，因此有必要对其影响进行消除和削弱。其中采用的主要的方法[18]有以下几种:
1.建立误差改正模型
这些误差改正模型既可以是通过对差的特性、机制以及产生的原因进行研究分析、推倒而建立起来的理论公式，也可以是通过对大量观测数据的分析、拟合而建立起来的经验公式，有时则是同时采用两种方法建立的综合模型。如果每个误差改正模型都是十分完善和严密的，模型中所需的数据都是准确无误的，在这种理想的情况下，经过各误差模型的改正后，会将包含在观测值中的系统误差消除掉，而只留下偶然误差。但是由于改正模型本身的误差及改正模型中所需的各种参数的误差，所以还会有一部分偏差无法消除。这些偏差一般要比偶然误差要大，这些偏差将会严重影响GPS定位精度。
2.求差法
仔细分析误差对观测值或平差结果的影响，安排适当的观测纲要和数据处理方法，利用误差在观测值之间的相关性或在定位结果之间的相关性，通过求差来消除或大幅度地削弱其影响的方法称为求差法。
3.选择较好的硬件和较好的观测条件
有的误差，比如多路径误差，不能用上述方法来消除，所以消除此类误差的方法是在野外进行GPS野外测量时要尽量使测站周围视野开阔，远离大功率的无线电信号发射源，测站应远离信号反射物，这样就可以有效的控制得到的数据初步的精度。
1.3.3 GPS高程精度评定
在GPS高程可以通过两方面来评定其精度。一方面是内符合精度，另一方面是外符合精度。
1．内符精度[4]
在GPS高程拟合前已知水准点可以计算出高程异常值，拟合后经过公式计算可以得到拟合后的异常值。两个异常值的差值可以用下式(1一9)计算出所要求的内符合精度，若为拟合前的高程异常值，为拟合后的高程异常值，它们之间的差值为，GPS高程的内符合精度户的计算公式如下式所示。
(1一9)
式中n为参与计算的已知点数。
2．外符精度[4]
外符合精度和内符合精度的原理是一样的，只不过是用于计算异常值差值的已知数据不同，外符合精度利用的是参与检测点的高程异常值拟合前后的差值GPS水准的外符合精度M的计算公式如下所示:
(1一10)
式中n为参与检核的点数。内符合精度以及外符合精度从某种意义上来讲其实一种相对意义上的绝对精度评定。
3.GPS高程相对精度评定方法
前面所述的内符合精度以及外符合精度都是从点的统计角度出发，属于绝对精度评定，除了这两种绝对精度评定，GPS高程精度评定的方法还有两种相对精度评定。
(l)相对误差检核
若已知点到检测点的距离L，单位为公里，那么其相对误差检核就如表2一1所示，给出了利用距离L计算检核点残差的限值的计算方法，这种方法限定了GPS高程拟合的误差。

表1一1 水准限差
等级

允许残差
三等几何水准测量

四等几何水准测量

普通几何水准测量

(2)闭合差检核
把测区内的已知点连成闭合导线或这是水准到线的形式，计算己知点GP高程拟合后的数据的闭合差。这种方法叫做闭合差检核，拟合后相当于水准测量的等级是由表2一1中限定的误差来决定的。GPS高程不能直接应用到实际应用中，除了它和实际应用中的高程不属于同一高程系统外，另外就是精度问题，拟合后的精度由于某些原因不能够满足工程中的需要，其中GPS高程的精度和施测条件以及拟合过程都有很大的关系，其拟合后的高程精度一般没有传统水准测量的精度高，所以提高GPS高程精度就是实现GPS高程应用到实际中的一个重要环节。从GPS测量的理论原理以及拟合方法来讲，提高GPS精度的措施主要与以下几点:
(l)提高GPS测量精度
GPS测量出的大地高是后期拟合后得到正常高的源头数据，因此提高GP大地高的精度是最基础的要求，若GPS测出的高程就含有很大的误差，那么势必要影响到拟合后的高程精度，所以提高大地高的精度是提高拟合后高程精度的关键之一。提高大地高的精度主要有五个方面的措施。
l)减小卫星误差，其中包括卫星星历误差、卫星钟的钟误差、相对论效应。
2)减弱电离层延迟和对流层延迟。
3)避开建筑物和有大面积水域的地点，减小多路径效应误差。
4)选择良好的天气进行测量，接收优良的信号。
5)使用功能强的GPS接收机，消除接收误差。
(2)选用高精度已知点水准点
在拟合GPS高程时，需要联测若干已知水准点，已知点水准点的精度会跟随后期的计算影响到拟合数据的精度，因此选择高精度的联测水准点就是提高拟合高程精度的措施之一。且已知水准点要在测区内均匀的分布，这点是影响拟合精度的因素之一，若已知点分布均匀，那么后期拟合精度就会相对的高一些。所以在选择已知水准点的时候要遵循这个原则。
(3)提高GPS拟合精度
从GPS转换的过程来说，拟合GPS高程是主要的一步。那么拟合的精度就关系着正常高的精度。可以从以下几点提高拟合精度。
1)选择适当的转换方法，根据不同的地形和掌握的数据情况，可以在现有的拟合方法中选择拟合精度高的方法。
2)在测区面积比较大的时候，可以采用分区拟合的方法，把整个测区分成若干区域，分别对每个测区进行拟合，这时候就会提高拟合精度。

2基于数学模型的GPS高程转换方法
2.1等值线图示法
等值线图示法是最直接的求算高程异常值的方法。这种方法的核心思想就是内插的思想，绘制高程异常的等值线图，然后将采用内插法来确定未知点的高程异常值。具体操作十分的简单，在测区内制定分布均匀的GPS点，用水准测量的方法来测定这些点的水准高，根据公式求出这些点的高程异常，选择适当的比例尺，按照已知点的平面坐标展会在图纸内，对已知点标注出高程异常值，再确定等高距，绘制出高程异常值的等值线图。之后就可以内插出待测点的高程异常值。进而求出待测点的正常高。
这种方法只适用地形相对平坦的地方，在此种测区内采用这种方法拟合的高程精度可达到厘米级。如果测区的地形相对复杂内插出的高程异常值就不准确。而且这种内插法的精度往往取决于两个方面，这两个方面分别是测区内GPS点的分布密度和已知点大地高的精确度。首先GPS点的分布密度比较密集，那么内插精度就相对比较高，如果比较稀疏的时候，这时候就要借助于此测区的重力测量资料，提高内插精度。且还要注意GPS点间高程异常的非线性变化。另外就是水准点的精度。联测时尽量选取高精度的大地高，尽可能使得出的高程异常值准确，没有较大的误差，进而才能内插出待测点高精度的高程异常值。这种方法虽然简单易操作，但是有其弱点，就是精度不高，只有当对拟合精度要求不高的时候才使用此种方法(注:等值线法不需构造数学模型)。
2.2狭长带状区域线性拟合法
对于拟合高程常用的解析内插法[5]，这种方法的主要思想是把似大地水准面用数学曲面近似拟合。建立在所测区域内最为接近似大地水准面的数学模型。所建立的数学模型是有规律可循的。以此来计算测区内任一点的高程异常值。从而计算出正常高。这种方法计算出的高程异常值的精度是由所采用的数学面和似大地水准面的拟合程度所决定的。
解析内插法根据区域的GPS点分布可以选用不同的数学模型，因而在选择数学模型时，首先要考虑的就是GPS的分布情况。GPS的分布情况可分为带状和面状分布。若GPS点是呈线状布设，而且是以沿线似大地水准面为一条连续且光滑的曲线为前提的，这时可以采用相对于狭长带状区域的解析内插法，来内插出待定点的高程异常值，从而求出待定点的正常高。这种线状分布的内插原理是:测区内已知水准点，用GPS测出其GPS高程，计算出已知水准点的高程异常值，根据已知点的平面坐标和计算得出的高程异常值，构造出一个插值函数，这个函数是用来拟合GPS分布线上的似大地水准面的。用这个函数内插出位置点的高程异常值。下面是几种用来拟合线状分布的GPS高程的内插法。
2.2.1多项式曲线拟合法
多项式曲线拟合[14]是线状分布拟合的主要方法，就是把测区看做是一条曲线，多项式拟合顾名思义其插值函数是一个m次的代数多项式，若高程控制点的高程异常为，坐标为 (或，或或拟合坐标或或)间的函数关系为下式:
(2一l)
各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差为下式所示:
(2一2)
上式我们称之为离差。(2一1)中xi是拟合点到参考点()的直线距离，为设定的常数值。在一般情况下都认为就是测区内己知点x，y坐标的均值。
即:
(2一3)
多项式曲线拟合使用起来非常方便，但是它有自身的局限性，既是使用这种方法的时候，所测路线不能太长，要限制控制点到测点的距离不能太远，通常把距离控制在300米以内。这个要求是因为使用多项式曲线方法拟合似大地水准面，如果它拟合的范围太大，点位的高程异常变化就越复杂，削高补低的方法不能满足我们所要求的精度。若多项式阶数的增大，也会使拟合出的曲线振荡的更厉害，从而造成拟合的误差增大。这些造成了上述多项式曲线拟合的缺陷，但是在路线较短的情况下，这种方法有足够的精度来拟合GPS点的正常高程。
在式(2一1)中用m次多项式拟合似大地水准面，这个m的值如何取定，一般情况下如果测区不是很长，地形相对平坦，那么我们通常取m取为3。就是说次多项式为三次多项式。若测区比较长或者是测区地形比较复杂就要依情况而定，增加多项式的次数。提高拟合精度。依上述分析m的值主要是和测区长度以及测区的复杂程度有关。一种情况为控制点为n+l个，若所取的项数也为n+l项时，其方程组的矩阵可以写成以下式子:
(2一4)
是多项式的系数，若要求解待定点的高程异常值，先要确定多项式的系数，根据上式，用高斯消元法能求定出各项系数。那么多项式可以明确的确定出来，把待定点代入到(2一l)中求解出该点的高程异常值，从而求出该点正常高。
另一种情况是控制点为n+1个，可是所取的项数m<n+l项时，这种情况就比前一种情况复杂，因为这种情况中已知数大于未知个数。这时利用最小二乘法求解系数。限定离差的和为最小值，公式如下:
（2一5）
的原则下，解得(2一1)式中的待定系数。
具体过程是:
求出的平方和:
（2一6）
再分别对求偏导数，并令其等于0，得到: