2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求题目要求.1（5 分）设集合 M=0，1，2，N=x|x23x+20，则 MN=（）A1 B2 C0，1 D1，2 2（5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（）A5 B5 C4+i D4i 3（5 分）设向量，满足|+|=，|=，则 =（）A1 B2 C3 D5 4（5 分）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=（）A5 B C2 D1 5（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 6（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A B C D 7（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（）A4 B5 C6 D7 8（5 分）设曲线 y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（）A0 B1 C2 D3 9（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为（）A10 B8 C3 D2 10（5 分）设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A B C D 11（5 分）直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N 分 别 是 A1B1，A1C1的 中 点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（）A B C D 第 2 页（共 16 页）12（5 分）设函数 f（x）=sin，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.（第（第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须作答，第作答，第 22 题题第第 24 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答）13（5 分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为 15，则 a=14（5 分）函数 f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为 15（5 分）已知偶函数 f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若 f（x1）0，则 x 的取值范围是 16（5 分）设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17（12 分）已知数列an满足 a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 EACD 的体积 19（12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=第 3 页（共 16 页）20（12 分）设 F1，F2分别是 C：+=1（ab0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F1N|，求 a，b 21（12 分）已知函数 f（x）=exex2x（）讨论 f（x）的单调性；（）设 g（x）=f（2x）4bf（x），当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知 1.41421.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号清题号.【选修【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB2 【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为=2cos，0，（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y=x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标 第 4 页（共 16 页）六、解答题（共六、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分）24设函数 f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若 f（3）5，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页）2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求题目要求.1（5 分）设集合 M=0，1，2，N=x|x23x+20，则 MN=（）A1 B2 C0，1 D1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求出集合 N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（）A5 B5 C4+i D4i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】根据复数的几何意义求出 z2，即可得到结论【解答】解：z1=2+i 对应的点的坐标为（2，1），复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（2，1），则对应的复数，z2=2+i，则 z1z2=（2+i）（2+i）=i24=14=5，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础 3（5 分）设向量，满足|+|=，|=，则 =（）A1 B2 C3 D5 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：|+|=，|=，分别平方得+2 +=10，2 +=6，两式相减得 4 =106=4，即 =1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础 4（5 分）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=（）A5 B C2 D1 【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC 的值代入求出 sinB 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值，利用余弦定理求出 AC 的值即可【解答】解：钝角三角形 ABC 的面积是，AB=c=1，BC=a=，第 6 页（共 16 页）S=acsinB=，即 sinB=，当 B 为钝角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC=，当 B 为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则 AC=故选：B【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 5（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.75p=0.6，由此解得 p 的值【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.75p=0.6，解得 p=0.8，故选：A【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题 6（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A B C D 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为4，组合体体积是：322+224=34 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：326=54 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=故选：C【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 7（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（）第 7 页（共 16 页）A4 B5 C6 D7 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论【解答】解：若 x=t=2，则第一次循环，12 成立，则 M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22 成立，则 M=，S=2+5=7，k=3，此时 32 不成立，输出 S=7，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础 8（5 分）设曲线 y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（）A0 B1 C2 D3 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】52：导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义，即 f（x0）表示曲线 f（x）在 x=x0处的切线斜率，再代入计算【解答】解：，y（0）=a1=2，a=3 故选：D【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视 9（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为（）A10 B8 C3 D2 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线 y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点 C 时，直线 y=2xz 的截距最小，此时 z 最大 由，解得，即 C（5，2）代入目标函数 z=2xy，第 8 页（共 16 页）得 z=252=8 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 10（5 分）设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A B C D 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过 A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系得到 A，B 两点纵坐标的和与积，把OAB 的面积表示为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案【解答】解：由 y2=2px，得 2p=3，p=，则 F（，0）过 A，B 的直线方程为 y=（x），即 x=y+联立，得 4y212y9=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=3，y1y2=SOAB=SOAF+SOFB=|y1y2|=故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题 11（5 分）直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N 分 别 是 A1B1，A1C1的 中 点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（）A B C D 【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为 O，连结 ON，则 MN0B 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是ANO，BC=CA=CC1，设 BC=CA=CC1=2，CO=1，AO=，AN=，MB=，在ANO 中，由余弦定理可得：cosANO=故选：C 第 9 页（共 16 页）【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用 12（5 分）设函数 f（x）=sin，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】由题意可得，f（x0）=，且=k+，kZ，再由题意可得当 m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得 m2 m2+3，由此求得 m 的取值范围【解答】解：由题意可得，f（x0）=，即=k+，kz，即 x0=m 再由 x02+f（x0）2m2，即 x02+3m2，可得当 m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，m2 m2+3，m24 求得 m2，或 m2，故选：C【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.（第（第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须作答，第作答，第 22 题题第第 24 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答）13（5 分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为 15，则 a=【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x7的系数，再根据 x7的系数为 15，求得 a 的值【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=x10rar，令 10r=7，求得 r=3，可得 x7的系数为 a3=120a3=15，a=，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题 14（5 分）函数 f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为1 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f（x）=sinx，从而求得函数的最大值【解答】解：函数 f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）=sin（x+）+2sincos（x+）=sin（x+）cos+cos（x+）sin2sincos（x+）=sin（x+）coscos（x+）sin=sin（x+）=sinx，故函数 f（x）的最大值为 1，故答案为：1 第 10 页（共 16 页）【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题 15（5 分）已知偶函数 f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若 f（x1）0，则 x 的取值范围是（1，3）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f（|x1|）f（2），即可得到结论【解答】解：偶函数 f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式 f（x1）0 等价为 f（x1）f（2），即 f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为 f（|x1|）f（2）是解决本题的关键 16（5 分）设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0的取值范围是1，1 【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意画出图形如图：点 M（x0，1），要使圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则OMN 的最大值大于或等于 45时一定存在点 N，使得OMN=45，而当 MN 与圆相切时OMN 取得最大值，此时 MN=1，图中只有 M到 M之间的区域满足 MN1，x0的取值范围是1，1 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17（12 分）已知数列an满足 a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列【分析】（）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式 第 11 页（共 16 页）【解答】证明（）=3，0，数列an+是以首项为，公比为 3 的等比数列；an+=，即；（）由（）知，当 n2 时，3n13n3n1，=，当 n=1 时，成立，当 n2 时，+1+=对 nN+时，+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题 18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 EACD 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB，即可证明 PB平面 AEC；（）延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，说明CMD=60，是二面角的平面角，求出 CD，即可三棱锥 EACD 的体积【解答】（）证明：连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，O 为 BD 中点，E 为 PD 中点，EOPB，（2 分）EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC；（6 分）（）解：延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，CD平面 AMD，CDMD 二面角 DAEC 为 60，CMD=60，AP=1，AD=，ADP=30，PD=2，E 为 PD 的中点AE=1，DM=，CD=三棱锥 EACD 的体积为：=第 12 页（共 16 页）【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题 19（12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程（）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值【解答】解：（）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，=0.5，=4.30.54=2.3 y 关于 t 的线性回归方程为=0.5t+2.3；（）由（）知，b=0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元 将 2015 年的年份代号 t=9 代入=0.5t+2.3，得：=0.59+2.3=6.8，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题 20（12 分）设 F1，F2分别是 C：+=1（ab0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F1N|，求 a，b 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有 第 13 页（共 16 页）【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为，建立关于 a，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出 N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论【解答】解：（1）M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，M 的横坐标为 c，当 x=c 时，y=，即 M（c，），若直线 MN 的斜率为，即 tanMF1F2=，即 b2=a2c2，即 c2+a2=0，则，即 2e2+3e2=0 解得 e=或 e=2（舍去），即 e=（）由题意，原点 O 是 F1F2的中点，则直线 MF1与 y 轴的交点 D（0，2）是线段 MF1的中点，设 M（c，y），（y0），则，即，解得 y=，OD 是MF1F2的中位线，=4，即 b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即 设 N（x1，y1），由题意知 y10，则（c，2）=2（x1+c，y1）即，即 代入椭圆方程得，将 b2=4a 代入得，解得 a=7，b=【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度 21（12 分）已知函数 f（x）=exex2x（）讨论 f（x）的单调性；（）设 g（x）=f（2x）4bf（x），当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知 1.41421.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；第 14 页（共 16 页）对第（）问，先验证 g（0）=0，只需说明 g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“判断 g（x）0 是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻求 ln2，于是在 b=2 及 b2的情况下分别计算，最后可估计 ln2 的近似值【解答】解：（）由 f（x）得 f（x）=ex+ex2，即 f（x）0，当且仅当 ex=ex即 x=0 时，f（x）=0，函数 f（x）在 R 上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则 g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当 2b4，即 b2 时，g（x）0，当且仅当 x=0 时取等号，从而 g（x）在 R 上为增函数，而 g（0）=0，x0 时，g（x）0，符合题意 当b2 时，若x 满足2ex+ex2b2 即，得，此时，g（x）0，又由 g（0）=0 知，当时，g（x）0，不符合题意 综合、知，b2，得 b 的最大值为 2（）1.41421.4143，根据（）中 g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配 ln2，并利用的近似值，故将 ln即代入 g（x）的解析式中，得 当 b=2 时，由 g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由 g（x）0，得，得 所以 ln2 的近似值为 0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题 2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口 3本题的难点在于如何寻求 ln2，关键是根据第（2）问中 g（x）的解析式探究 b 的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的 请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号清题号.【选修【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB2 【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】17：选作题；5Q：立体几何【分析】（）连接 OE，OA，证明 OEBC，可得 E 是的中点，从而 BE=EC；（）利用切割线定理证明 PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得 ADDE=2PB2【解答】证明：（）连接 OE，OA，则OAE=OEA，OAP=90，第 15 页（共 16 页）PC=2PA，D 为 PC 的中点，PA=PD，PAD=PDA，PDA=CDE，OEA+CDE=OAE+PAD=90，OEBC，E 是的中点，BE=EC；（）PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PA2=PBPC，PC=2PA，PA=2PB，PD=2PB，PB=BD，BDDC=PB2PB，ADDE=BDDC，ADDE=2PB2 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为=2cos，0，（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y=x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标 【考点】QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用 cos2t+sin2t=1 进而得出参数方程（2）利用半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y=x+2 垂直，则直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等，即可得出直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标【解答】解：（1）由半圆 C 的极坐标方程为=2cos，0，即 2=2cos，可得 C 的普通方程为（x1）2+y2=1（0y1）可得 C 的参数方程为（t 为参数，0t）（2）设 D（1+cos t，sin t），由（1）知 C 是以 C（1，0）为圆心，1 为半径的上半圆，直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等，tant=，t=故 D 的直角坐标为，即（，）【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 六、解答题（共六、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分）24设函数 f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若 f（3）5，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有 第 16 页（共 16 页）【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（）由 a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f（x）2 成立（）由 f（3）=|3+|+|3a|5，分当 a3 时和当 0a3 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式 f（x）2 成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当 a3 时，不等式即 a+5，即 a25a+10，解得 3a 当 0a3 时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3 综上可得，a 的取值范围（，）【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题