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概率常见问题以及方法
一、基本古典概型问题
(1)古典概型公式:.
(2)古典概型的本质实际上是排列组合问题,所以上一节课总结的排列组合的方法及题型,在此问题中适用.
(3)常用正难则反的思路(对立事件).
例1.已知10件产品中有4件一等品,从中任取2件,则至少有1件一等品的概率为().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】任取2件,没有一等品的概率为,,故至少有一件一等品的概率为.
【答案】B
例2.某公司有9名工程师,张三是其中之一,从中任意抽调4人组成攻关小组,包括张三的概率是().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】选张三,再从其余的8个人中任意选3个即可,即为;故包括张三的概率为.
【答案】D
例3.将2个红球与1个白球随机地放人甲、乙、丙三个盒子中,则乙盒中至少有一个红球的概率为().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】方法一:可分为两类:
乙盒子中有1个红球:先从2个红球中选1个放入乙盒子,另外1个红球在甲、丙两个盒子中任选一个,白球在3个盒子中任意选择,即;
乙盒子中有2个红球:先将2个红球放入乙盒子,白球可以在3个盒子中任意选择,即;
所以,概率为.
方法二:剔除法.
乙盒中没有红球,则红球在甲丙两个盒子中任意选择,白球在3个盒子中任意选择,即,所以乙盒中至少有1个红球的概率为.
二、古典概型之骰子问题
(1)骰子问题必用穷举法.
(2)常与解析几何结合考查,一般需要转化为不等式求解.
例1若以连续掷两枚骰子分别得到的点数与作为点的坐标,则点落入圆内(不含圆周)的概率是().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】点落入圆内,即,则
、、、、、、、、、,共计10种,所以,落在圆内的概率.
【答案】D
例2若以连续两次掷色子得到的点数和作为点的坐标,则点落在直线和两坐标轴围成的三角形内的概率为().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】落在三角形内部,只需要即可,利用穷举法可知,点可以为:、、、、、、、、、共计10种,总共的不同可能点数为6×6=36(种).故所求概率为.
【答案】E
三、古典概型之几何体涂漆问题
将一个正方体六个面涂成红色,然后切成个小正方体,则
(1)3面红色的小正方体:8个,位于原正方体角上.
(2)2面红色的小正方体:个,位于原正方体棱上.
(3)1面红色的小正方体:个,位于原正方体面上(不在棱上的部分).
(4)没有红色的小正方体:个,位于原正方体内部.
例1.将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆,再将它锯成64个小正方体.从中任取3个,其中至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是( ).
(A)0.065 (B)0.578 (C)0.563 (D)0.482 (E)0.335
【解析】3面有红漆的小正方体位于大正方体的顶点上,有8个;任取3个至少1个三面是红漆的反面是任取3个没有1个三面是红漆,故所求概率为
.
【答案】E
例2.将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体,从这些小正立方体中随机抽取一个,所取到的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是( ).
(A)0.064 (B)0.216 (C)0.288 (D)0.352 (E)0.235
【解析】小立方体位于大正立方体的角上时,有3面为红色,数量为8个;小立方体位于大正立方体的棱上时,有2面为红色,数量为36个.故所求概率.
【答案】D
练习: 将一个表面漆有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体,其中,一点红色也没有的小正方体有3块,那么原来的长方体的表面积为( )平方厘米.
(A)32 (B)64 (C)78 (D)27 (E)18
【解析】没有红色的小正方体位于原来的长方体的内部,这三个小正方体一定是一字排开的,长宽高分别为1,1,3;所以,原长方体的长宽高应为3,3,5.
故表面积为2×3×3+4×5×3=78(平方厘米).
四、数字之和问题
例1.袋中有6只红球、4只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,则得分不大于6分的概率是().
(A) (B) (C) (D)
【解析】得分不大于6,分为三种情况:两红两黑,三黑一红,四黑;故得分不大于6的概率为
.
【答案】A
例2.若从原点出发的质点向轴的正向移动一个和两个坐标单{2甿甩率分别是和,则该质点移动3个坐标单位,到达的概率是().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】,故可分为三类:
先移动1个单位,再移动2个单位:;
先移动2个单位,再移动一个单位:;
三次移动1个单位:.
故到达的概率为.
【答案】B
五、袋中取球问题
袋中取球模型有3类:
(1)无放回取球模型.
设口袋中有个白球,个黑球,逐一取出若干个球,看后不再放回袋中,则恰好取了个白球,个黑球的概率是;
【拓展】抽签模型.
设口袋中有个白球,个黑球,逐一取出若干个球,看后不再放回袋中,则第次取到白球的概率为,与无关.
(2)一次取球模型.
设口袋中有个白球,个黑球,一次取出若干个球,则恰好取了个白球,个黑球的概率是;可见一次取球模型的概率与无放回取球相同.
(3)有放回取球模型.
设口袋中有个白球,个黑球,逐一取出若干个球,看后放回袋中,则恰好取了个白球,个黑球的概率是.
上述模型可理解为伯努利概型:口袋中有个白球,个黑球,从中任取一个球,将这个实验做次,出现了次白球,次黑球.
例1.袋中有5个白球和3个黑球,从中任取2个球,求:
(1)取得的两球同色的概率;
(2)取得的两球至少有一个是白球的概率.
【解析】从8个球中任取2个球的取法为,所以
(1)任取两球同色的取法为,所以,取两球同色的概率为.
(2)任取两球全是黑球的概率,所以,任取两球至少有一白球的概率为.
例2.小袋中有10个小球,其中有7个黑球,3个红球,从中任取2个小球,至少有一个是红球的概率为().
【解析】方法一:
恰好有1个红球的概率为;
恰好有2个红球的概率为;
所以至少有一个红球的概率是.
方法二:剔除法.
从10个小球中任取2个,全为黑球的概率为,
事件是“从10个球中任取2球,至少一个是红球”的对立事件,所以至少有一个红球的概率.
【答案】D
例3.在一个不透明的布袋中装有2个白球、个黄球和若干个黑球,它们只有颜色不同.则.
(1)从布袋中随机摸出一个球,摸到白球的概率是0.2;
(2)从布袋中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是0.3.
【解析】单独显然不充分,联立两个条件:
由条件(1):摸到白球的概率,,得,可知一共有10个球;
由条件(2):,得,可知黄球为3个;
故联立起来充分.
【答案】C
练习:某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成,连续3次输入错误密码,就会导致该装置永久关闭,一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】分为三类:
第一类:尝试一次即成功的概率为;
第二类:第一次尝试不成功,第二次尝试成功的概率为;
第三类:第一、二次尝试不成功,第三次尝试成功的概率为
由加法原理,能启动装置的概率为.
【快速得分法】抽签原理的应用(不放回的取球).
本题相当于有720个签,抽3个抽中正确密码即可,故概率为.
【答案】C
六、独立事件的概率
独立事件同时发生的概率公式:.
例1.档案馆在一个库房中安装了个烟火感应报警器,每个报警器遇到烟火成功报警的概率为.该库房遇烟火发出报警的概率达到0.999.
(1),;
(2),.
【解析】条件(1):均未报警的概率为,故报警概率为,条件(1)充分.
条件(2):均未报警的概率为,故报警概率为,故条件(2)充分.
【答案】D
例2.图7-9是一个简单的电路图,,,表示开关,随机闭合,,中的两个,灯泡发光的概率是().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】闭合两个开关,灯泡发光的情况为:或,共2种情况;闭合两个开关的所有可能情况为:或或,共3种情况.故概率为.
【答案】E
例3.在10道备选试题中,甲能答对8题,乙能答对6题.若某次考试从这10道备选题中随机抽出3道作为考题,至少答对2题才算合格,则甲、乙两人考试都合格的概率是().
(A) (B) (C) (D) (E)
【解析】甲考试合格的概率是;乙考试合格的概率是
甲、乙两人相互独立,所以他们考试都合格的概率为.
【答案】A
七、闯关问题
(1)闯关问题一般符合独立事件的概率公式:;
(2)闯关问题一般前几关满足题干要求后,后面的关就不用闯了,因此未必是每关都试一下成功不成功.所以要根据题意进行合理分类.
例1.在一次竞猜活动中,设有5关,如果连续通过2关就算闯关成功,小王通过每关的概率都是,他闯关成功的概率为().
.
众上所述,我们认为:我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难,但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验,在产品的质量和创意上多下工夫,使自己的产品能领导潮流,领导时尚。在它们还没有打入学校这个市场时,我们要巩固我们的学生市场,制作一些吸引学生,又有使学生能接受的价格,勇敢的面对它们的挑战,使自己立于不败之地。乙获胜:首次正面出现在第2,5,8,…次,概率为
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我们长期呆在校园里,对社会缺乏了解,在与生意合作伙伴应酬方面往往会遇上困难,更不用说商业上所需经历的一系列繁琐手续。他们我们可能会在工商局、税务局等部门的手续中迷失方向。对具体的市场开拓缺乏经验与相关的知识,缺乏从职业角度整合资源、实行管理的能力;丙获胜概率为.
【答案】D
八、伯努利概型
市场环境所提供的创业机会是客观的,但还必须具备自身的创业优势,才能使我们的创业项目成为可行。作为大学生的我们所具有的优势在于:(1)伯努利概型公式:.
(2)独立地做一系列的伯努利试验,直到第次试验时,事件才首次发生的概率为
关于DIY手工艺制品的消费调查.
例1.某乒乓球男子单打决赛在甲乙两选手间进行比赛用7局4胜制.已知每局比赛甲选手战胜乙选手的概率为0.7,则甲选手以战胜乙的概率为().
(A) (B) (C)
(二)大学生对DIY手工艺品消费态度分析(D) (E)以上选项均不正确
(二)创业弱势分析【解析】根据题意可知,一共打了五局,其中前四局中,甲胜3局,乙胜1局,第5局甲获胜;故甲选手以战胜乙的概率为.
1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社 2003年2月【答案】A
合计 50 100%例2.张三以卧姿射击10次,命中靶子7次的概率是.
标题:上海发出通知为大学生就业—鼓励自主创业,灵活就业 2004年3月17日(1)张三以卧姿打靶的命中率是0.2;
(2)张三以卧姿打耙的命中率是0.5.
2003年,全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元,比上年增长9.1%。【解析】条件(1)::,不充分.
条件(2):,充分.
【答案】B
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