2004年湖南高考文科数学真题及答案.doc

2004年湖南高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域为　　
A． B． C． D．或
2．（5分）设直线的倾斜角为，且，则，满足　　
A． B． C． D．
3．（5分）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
4．（5分）如果双曲线上一点到右焦点的距离等于，那么点到右准线的距离是　　
A． B．13 C．5 D．
5．（5分）把正方形沿对角线折起，当以，，，为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为　　
A． B． C． D．
6．（5分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是　　
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
7．（5分）若与在区间，上都是减函数，则的取值范围是　　
A． B．，， C．， D．
8．（5分）已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　
A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0
9．（5分）若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为　　
A．56 B．52 C．48 D．40
11．（5分）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于　　
A．4200元元 B．4400元元
C．4600元元 D．4800元元
12．（5分）设集合，，，，那么点，的充要条件是　　
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是　 　．
14．（4分）的展开式中的常数项为　 　（用数字作答）
15．（4分），是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为　 　．
16．（4分）若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是　 　．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知，求的值．
18．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点是的中点．
证明平面，平面；
求以为棱，与为面的二面角的正切值．

19．（12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
20．（12分）已知数列是首项为且公比不等于1的等比数列，是其前项的和，，，成等差数列．
证明，，成等比数列；
求和．
21．（12分）如图，已知曲线与曲线交于，，直线与曲线，分别交于，．
（Ⅰ）写出四边形的面积与的函数关系式；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的最大值．

22．（14分）如图，过抛物线的对称轴上任一点，作直线与抛物线交于，两点，点是点关于原点的对称点．
设点分有向线段所成的比为，证明：
（Ⅱ）设直线的方程是，过，两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程．

2004年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域为　　
A． B． C． D．或
【解答】解：，
或，
函数的定义域：或．
故选：．
2．（5分）设直线的倾斜角为，且，则，满足　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，，，，
故选：．
3．（5分）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由解得：，
则函数的反函数为，
恒成立
不等式中恒成立的是
故选：．
4．（5分）如果双曲线上一点到右焦点的距离等于，那么点到右准线的距离是　　
A． B．13 C．5 D．
【解答】解：由题意可知，，
点到左焦点的距离，
设点到右准线的距离是，
由双曲线的第二定义可知，
解得；
故选：．
5．（5分）把正方形沿对角线折起，当以，，，为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当平面平面时，三棱锥体积最大
取的中点，则平面，
故直线和平面所成的角为
，
．
故选：．

6．（5分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是　　
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；
第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选：．
7．（5分）若与在区间，上都是减函数，则的取值范围是　　
A． B．，， C．， D．
【解答】解：在区间，上是减函数，故对称轴；
在区间，上是减函数，只需，即，综上可得．
故选：．
8．（5分）已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　
A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0
【解答】解：，，

，最大值为 4，最小值为 0．
故选：．
9．（5分）若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0
根据函数在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，满足条件
故选：．
10．（5分）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为　　
A．56 B．52 C．48 D．40
【解答】解：如图，分两种情况，
①若取出的3个点在同一个表面上，
则取出的3个点组成的三角形，必然是直角三角形，
即有种情况，
②若取出的3个点在不在同一个表面上，
过每一条棱，有2个直角三角形，
如过的有与；
即其情况数目为；
综合可得，有个；
故选：．

11．（5分）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于　　
A．4200元元 B．4400元元
C．4600元元 D．4800元元
【解答】解：由题知：2004年农民收入；
2005年农民收入；
所以2008年农民收入
故选：．
12．（5分）设集合，，，，那么点，的充要条件是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：
，
，
，
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是　　．
【解答】解：，切线斜率为．所求直线方程为，即．
故答案为：．
14．（4分）的展开式中的常数项为　84　（用数字作答）
【解答】解：
令，，故的展开式中的常数项为
故答案为：84
15．（4分），是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为　2　．
【解答】解：设，
则，

所以，是一元二次方程的两根
判别式△故此方程有一个实根，
根据椭圆的对称性可知椭圆上存在2个点满足
故答案为2．
法二：（几何法）由椭圆的图形知，故这样的点只能有两个．
故答案为2．
16．（4分）若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是　　．
【解答】解：①当时，作出函数图象：
若直线与函数且的图象有两个公共点
由图象可知，
．
②：当时，作出函数图象：
若直线与函数且的图象有两个公共点
由图象可知，
此时无解．
综上：的取值范围是．
故答案为：

三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知，求的值．
【解答】解：由，得．
于是．
18．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点是的中点．
证明平面，平面；
求以为棱，与为面的二面角的正切值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，，
所以，
在中，由知．
同理，，所以平面．
因为．
所以、、共面．
又平面，所以平面．

（Ⅱ）解：作交于，由平面．
知平面．
作于，连接，则，即为二面角的平面角．
又是的中点，从而是的中点，．
所以．

19．（12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设、、分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
即
由①、③得
代入②得（C）（C）．
解得（C）或（舍去）．
将分别代入③、②可得
．
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是．
（Ⅱ）记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
20．（12分）已知数列是首项为且公比不等于1的等比数列，是其前项的和，，，成等差数列．
证明，，成等比数列；
求和．
【解答】（Ⅰ）证明：由，，成等差数列，得，
即．
变形得，
又公比不等于1，所以
由．．
得．
所以，，成等比数列．
（Ⅱ）解：．
即．①
①得：②．
①②得．
所以．
21．（12分）如图，已知曲线与曲线交于，，直线与曲线，分别交于，．
（Ⅰ）写出四边形的面积与的函数关系式；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由得交点、的坐标分别是，，，
即．
（Ⅱ）．令解得．
当，从而在区间上是增函数；
当，从而在区间上是减函数．
所以当时，有最大值为．
22．（14分）如图，过抛物线的对称轴上任一点，作直线与抛物线交于，两点，点是点关于原点的对称点．
设点分有向线段所成的比为，证明：
（Ⅱ）设直线的方程是，过，两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得．①
设、两点的坐标分别是，、，，则、是方程①的两根．
所以．
由点分有向线段所成的比为，
得．
又点是点关于原点的对称点，
故点的坐标是，从而．．
所以．
（Ⅱ）由得点、的坐标分别是、．
由得，
所以抛物线在点处切线的斜率为
设圆的方程是，
则
解之得．
所以圆的方程是，
即．
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