家家学网络名师小班辅导教案二次函数解析式.doc

第二讲
二次函数的解析式

中考规定

板块
考试规定
A级规定
B级规定
C级规定
二次函数
能根据实际情境了解二次函数的意义；会运用描点法画出二次函数的图像
能通过对实际问题中的情境分析拟定二次函数的表达式；能从函数图像上结识函数的性质；会拟定图像的顶点、对称轴和开口方向；会运用二次函数的图像求出二次方程的近似解
能用二次函数解决简朴的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题

知识点睛

一、二次函数的图像与系数关系
1. 决定抛物线的开口方向：
当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下
决定抛物线的开口大小：
越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大.
注：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反.
2. 和共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：）
当时，抛物线的对称轴为轴；
当同号时，对称轴在轴的左侧；
当异号时，对称轴在轴的右侧.
3. 的大小决定抛物线与轴交点的位置.（抛物线与轴的交点为）
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴.

二、二次函数的三种表达方式
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）双根式（交点式）：
2.如何设点：
⑴ 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.
⑵ 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．
⑶ 点关于的对称点为．
4.如何设解析式：
① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；
② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；
③ 已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.
④ 已知抛物线通过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）
注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表达．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

重、难点

1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。
2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。

例题精讲

一、二次函数图象分布与系数的关系

【例1】 ⑴（07济南）已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ）
第一、二、三象限 第一、二、四象限
第二、三、四象限 第一、三、四象限
⑵（07常州）若二次函数（为常数）的图象如下中图，则的值为（ ）

⑶（07南宁）已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.

【例2】 （09湖北黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤
其中所有对的结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤

【例3】 已知函数（）的图象，如图所示．求证：

【例4】 的图象如图所示．并设则（ ）
A． B．
C． D．不能拟定为正，为负或为

二、二次函数解析式的拟定

1.简朴的二次函数解析式的拟定

【例5】 已知一个二次函数过，，，，，三点，求二次函数的解析式.

【例6】 已知二次函数图象通过点，，，，，三点，求此二次函数解析式.

【例7】 已知二次函数过点，，且顶点为，.求函数解析式.

【例8】 求符合下列条件的解析式：
⑴ 通过点；
⑵ 与的图象开口大小相同，方向相反；
⑶ 当自变量的值由增长届时，函数值减少.

【例9】 已知二次函数的图象顶点在轴上，，且通过点点，求此二次函数的解析式．

【例10】 设二次函数，当时取得最大值为，并且它的图象在轴上截得的线段长为．求．

【例11】 已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、、．

2.在简朴综合题中二次函数解析式的拟定

【例12】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：
⑴ 二次函数的解析式；
⑵ 的值；
⑶ 该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标．

【例13】 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 上．
⑴ 求此二次函数的解析式；
⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线上移动到点时，图象与轴恰好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式．

【例14】 已知抛物线（其中）不通过第二象限．
⑴ 判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由；
⑵ 若通过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式．

【例15】 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且=．
⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 若抛物线通过、两点，证明此抛物线与轴必有两个交点；
⑶ 设⑵中的抛物线与轴的两个交点分别为、（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，若，求此抛物线的解析式．
（定义：在直角三角形中，的对边为，邻边为，则）

【例16】 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：．

家庭作业

【习题1】 ⑴ 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不通过（ ）
第一象限 第二象限　　　　第三象限 第四象限
⑵ 二次函数的图象的一部分如下右图所示，试求的取值范围.
⑶（2023天津）已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不通过（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

【习题2】 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的
负半轴，则m的取值范围是_________________.

【习题3】 （09嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有也许是（　　）

【习题4】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象也许为（ ）

【习题5】 已知一抛物线的形状与的形状相同.它的对称轴为，它与轴的两交点之间
的距离为，则此抛物线的解析式为_________.

【习题6】 已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求 函数解析式.

【习题7】 已知二次函数的对称轴为：，且通过点，、，，求二次函数的
解析式.

例题精讲

一、二次函数图象分布与系数的关系

【例17】 ⑴（07济南）已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ）
第一、二、三象限 第一、二、四象限
第二、三、四象限 第一、三、四象限
⑵（07常州）若二次函数（为常数）的图象如下中图，则的值为（ ）

⑶（07南宁）已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.

【解析】 ⑴ 通过图象可以看出：，，
∴，
∴一次函数 的图象不通过第一象限.
选．
⑵ 由图象可知且，
∴，故选．
⑶ 由图象可知，，，
∴
∴在第三象限．

【巩固】（09浙江台州）已知二次函数的与的部分相应值如下表：

…

…

…

…
则下列判断中对的的是（　 　）
A. 抛物线开口向上　　　　　　 B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 当时， D. 方程的正根在与之间
【解析】 D．

【例18】 （09湖北黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤
其中所有对的结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤

【解析】 C

【巩固】（08天门）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②；③；④，
其中对的结论的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【解析】 选C．

【例19】 已知函数（）的图象，如图所示．求证：

【解析】 方法一：
根据图象得：
①
又∵，∴
即：
∴②
由①②式得：
方法二：
根据图象得，当时，即，∴
由，得：
当时得
∴
即： ．

【例20】 的图象如图所示．并设则（ ）
A． B．
C． D．不能拟定为正，为负或为

【解析】 依题意得，，
∴，，，
又当时，，
当时，，
故
于是选C．

【附加题】二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围

【解析】 根据二次函数图象可知，
又此二次函数图象通过，
则有，，得，
于是
根据函数图象可知，
于是有．

【附加题】已知抛物线的一段图象如图所示．

⑴拟定、、的符号；
⑵求的取值范围．
【解析】 ⑴ 由抛物线开口向上，所以．又抛物线通过点，所以．由于抛物线的对称轴在轴的右侧，从而，结合便可知．
所以，，．
⑵ 设，由图象及⑴可知
，即
由于，
所以．

二、二次函数解析式的拟定

1.简朴的二次函数解析式的拟定

【例21】 已知一个二次函数过，，，，，三点，求二次函数的解析式.
【解析】 此题已知图象通过的三点坐标，因此可设成一般式.
设二次函数的解析式为：，
∵函数图象通过，，，，，三点，
∴，解此方程组，得：，
∴二次函数的解析式为：.

【例22】 已知二次函数图象通过点，，，，，三点，求此二次函数解析式.
【解析】 解法一：一般式
设此二次函数解析式为：，由已知得：，解得，
∴此二次函数的解析式为.
解法二：顶点式
∵抛物线通过，，，，
∴抛物线的对称轴为，
∴设抛物线的解析式为：，
将，，，代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为，化为一般式为：
解法三：对称点式
∵抛物线通过，，，，
∴设抛物线的解析式为：
将，代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为：，化为一般式为：

【例23】 已知二次函数过点，，且顶点为，.求函数解析式.
【解析】 设二次函数的解析式为：
∵二次函数过点，，
∴，即：
∴
∴二次函数的解析式为：
即：.

【巩固】已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式.
【解析】 设函数的解析式为：或
将代入和
解得，，
∴所求抛物线的解析式为或，
展开得或

【例24】 求符合下列条件的解析式：
⑴ 通过点；
⑵ 与的图象开口大小相同，方向相反；
⑶ 当自变量的值由增长届时，函数值减少.
【解析】 ⑴ 由于函数通过点，所以：，∴，∴
⑵ 由于所求函数与的图象开口大小相同，方向相反，所以：∴，∴.
⑶ 由题意知：，∴，∴.

【例25】 已知二次函数的图象顶点在轴上，，且通过点点，求此二次函数的解析式．
【解析】 经审题本题用“顶点”待定法简便．
由于，所以由此二次函数图象顶点在轴上得，即．
从而由得．
又此二次函数的图象通过点，
则有，得．
于是二次函数的解析式是．
．

【例26】 设二次函数，当时取得最大值为，并且它的图象在轴上截得的线段长为．求．
【解析】 由于对称轴为，且在轴上截得的线段长为，则图象可知，与轴的交点的横坐标为、，可设，从而得到，由或，解得．所以．

【巩固】设二次函数满足条件；，，且其图象在轴上所截得的线段长为．求这个二次函数的解析式．
【解析】 由，，得
即
因此．
设图象与轴的交点坐标为，，则
，
整理得，
则或．
所以，
或者．

【例27】 已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、、．
【解析】 由已知得、，故设另一抛物线为．又是等腰直角三角形，则点坐标为或，所以
可得或

【附加题】已知二次函数的系数、、都是整数，且，，则的值为多少？
【解析】 由已知，．由，且是整数，，得，．

【附加题】当时，求所有二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和．
【解析】 二次函数的解析式用两点式表达为，
则它与轴两交点为，，
所截线段长度为，
所以．

2.在简朴综合题中二次函数解析式的拟定

【例28】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：
⑴ 二次函数的解析式；
⑵ 的值；
⑶ 该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标．
【解析】 本题用“顶点”待定法简便．
⑴ 由于二次函数图象的顶点为，对称轴平行于轴，所以，可令此二次函数的解析式为
．
又点在二次函数的图象上，则有
，
得．
故所求的二次函数解析式为
．
⑵ 由题意知点在直线上，则．
得．
⑶ 根据题意有
，
即，
得或．
所以时，；时，．
故二次函数的图象与直线的另一交点的坐标为．

【例29】 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 上．
⑴ 求此二次函数的解析式；
⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线上移动到点时，图象与轴恰好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式．

【解析】 ⑴ 由已知条件，
∴所求二次函数的解析式为．
⑵ 设定点，，，
则所求二次函数形如，
又由已知，∴，
∴，
∴所求二次函数为．

【例30】 已知抛物线（其中）不通过第二象限．
⑴ 判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由；
⑵ 若通过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式．
【解析】 ⑴ 由于若，则抛物线开口向上，于是抛物线一定通过第二象限，所以当抛物线的图像不通过第二象限时，必有，又当时，，即抛物线与轴的交点为.由于抛物线不通过第二象限，所以，于是
，,
所以顶点在第一象限.
⑵ 由于点在抛物线上，所以，
所以.于是点的坐标为，点的坐标为.由于点在直线上，所以，所以.又由于直线通过点．所以，所以.抛物线的解析式为．

【例31】 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且=．
⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 若抛物线通过、两点，证明此抛物线与轴必有两个交点；
⑶ 设⑵中的抛物线与轴的两个交点分别为、（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，若，求此抛物线的解析式．
（定义：在直角三角形中，的对边为，邻边为，则）
【解析】 ⑴ 解方程组，可得，，
由勾股定理可知．
∴反比例函数的解析式为：．
⑵ 由⑴可知，，由抛物线通过这两点可知

∴
又∵．
∴此抛物线与轴必有两个交点．
⑶ 设该抛物线与轴的两个交点分别为，，，
则由韦达定理有：．
∵，∴，即．
∴，经检查均满足题意．
∴所求抛物线的解析式为或．

【巩固】如图，已知抛物线与轴交于点、，交轴负半轴于点，
点在点的右侧，，．
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 求的外接圆的面积；
⑶ 在抛物线上是否存在点，使得的面积为． 假如有，这样的点有几个；假如没有，请说明理由．

【解析】 ⑴ 设点，．
由于抛物线与轴交于、两点，点在点的右侧，且与轴负半轴交于点，∴．
由一元二次方程根系关系可得．
∵，，
∴，
∴，但显然不合题意，故．
∵，
∴，
∴，故该抛物线的解析式为．
⑵ 先根据条件求出的长为，故的外接圆的面积为．
⑶ 存在个满足条件的点分别是，，．

【例32】 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：．
【解析】 由题意有ｕ两个交点的横坐标分别是，
故．∴．
直线与轴交点的横坐标为，故．故．

【附加题】某学生为了通过描点作出函数的图象，先取自变量的个值满足
，且，再分别算出相应的值，列出表1．
表1

但由于粗心算错了其中的一个值，请指出算错的是哪一个值？对的的值是多少？并说明理由．
【解析】 设，且相应的函数值为，则

，
故(常数)．由给出的数据，可得

由此可见，是被算错的值，其对的值应为．

【附加题】已知二次函数，且方程与有相同的非零实根．
⑴ 求的值；
⑵ 若，解方程.
【解析】 ⑴ 设的两根为，且，则，
．
于是，的两根为、，且，即．
因此，．
⑵ 由⑴得．
又，则，
解之得或，
于是，的两组解为
或．

家庭作业

【习题8】 ⑴ 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不通过（ ）
第一象限 第二象限　　　　第三象限 第四象限
⑵ 二次函数的图象的一部分如下右图所示，试求的取值范围.
⑶（2023天津）已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不通过（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

【解析】 ⑴ ．
⑵ 由图象可知.
又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：，
∴.
又∵当时，
当时，，∴
∴
∴.
∴
∴，即
⑶ 通过图象可以看出：，，，∴，
∴一次函数 的图象不通过第二象限．选

【习题9】 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的
负半轴，则m的取值范围是_________________.
【解析】 考察函数图像与系数之间的关系。由于函数图像开口向上，所以
（m-2）＞0，又由于顶点在第三象限，所以函数对称轴在y轴左侧，所以2m＞0；由于函数图像又与y轴的负半轴相交，所以综上所述可得
∴2＜m＜3

【习题10】 （09嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有也许是（　　）

【解析】 考察系数与函数图像的关系。
A 选项：一次函数0＜a ＜1，二次函数a≥1；
B 选项：一次函数a= -1， 二次函数a= 1；
C 选项：一次函数 a= -1， 二次函数a= -1；
D 选项：一次函数 a = 1， 二次函数 a= -1.
所以选 C

【习题11】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象也许为（ ）

【解析】 考察函数图像与系数的关系。
选项A：一次函数的a＞0，b＜0；二次函数的a＞0，b＜0.
选项B：一次函数的a＜0，b＞0；二次函数的a＞0，b＞0.
选项C：一次函数的a＜0，b＜0；二次函数的a＜0，b＞0.
选项D：一次函数的a＞0，b＞0；二次函数的a＜0，b＜0.
答案选：A .

【习题12】 已知一抛物线的形状与的形状相同.它的对称轴为，它与轴的两交点之间
的距离为，则此抛物线的解析式为_________.
【解析】 设所求抛物线的解析式为.
∵所求抛物线的对称轴为，且它与轴的两交点之间的距离为，
∴它与轴的两交点的坐标为，和，.
∴.
又∵所求抛物线的形状与的形状相同，
∴，即：.
∴所求抛物线的解析式为：或.
即：或.

【习题13】 已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求 函数解析式.
【解析】 设函数的解析式为：或
将代入和
解得，，
∴所求抛物线的解析式为或，
展开得或

【习题14】 已知二次函数的对称轴为：，且通过点，、，，求二次函数的
解析式.
【解析】 根据二次函数图象的性质我们可以知道，图象与轴的两个交点关于对称轴对称.
解法一（设为交点式求解）：
∵二次函数的对称轴为：，且通过点，，.
∴二次函数与轴的另一个交点坐标是：，
∴二次函数的交点式为：
即：
又∵图象通过点，
∴，即：
∴.
∴二次函数的解析式为：
即：
解法二（设为顶点式求解）
由于抛物线的对称轴为，所以可设二次函数的解析式为：
又由于抛物线通过点，，，，所以有方程组：
即：
解方程组，得：
所以，所求函数的解析式为：
即：
解法三： （一般式求解）
根据题设可得：，解此方程组，得：
所以：二次函数为：.